《备考指南 理科数学》课件-第6章 第3讲

数列第六章第3讲等比数列及其前n项和【考纲导学】1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．2．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．3．了解等比数列与指数函数的关系．栏目导航01课前基础诊断03课后感悟提升02课堂考点突破04配套训练课前基础诊断12

同一个公比q

等比中项a1qn－1

3．等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和．(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝____.(2)等比数列{an}的单调性：当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是____数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是____数列；当q＝1时，数列{an}是________．(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，其公比为____．(4)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为____．am·an

递增递减常数列qm

qn

2．(2018年齐齐哈尔模拟)在等比数列{an}中，已知a3＝3，a3＋a5＋a7＝21，则a5＝(

)A．6 B．9C．12 D．18【答案】A4．(2018年北京校级模拟)设等比数列{an}满足a2＝4，a3a4＝128，则a6＝________.【答案】64

5．(教材习题改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．【答案】27,811．特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况．2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比数列(例如，当公比q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列；当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列)，但等式(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)总成立．××××××课堂考点突破2等比数列的基本运算【考向分析】等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中、低档题．常见的考向：(1)求首项a1，公比q或项数n；(2)求通项公式或特定项；(3)求前n项和．【答案】(1)B

(2)B等比数列的判定与证明【规律方法】(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．【跟踪训练】1．已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．等比数列的性质及应用【规律方法】(1)在等比数列的基本运算问题中，一般利用通项公式与前n项和公式建立方程组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质“若m＋n＝p＋q，则有aman＝apaq”，可以减少运算量．(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质，例如Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列，公比为qk(Sk≠0)．【答案】(1)A

(2)C

课后感悟提升31．(2018年浙江)已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)，若a1＞1，则(

)A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4【答案】B【解析】a1，a2，a3，a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a1＞1，设公比为q，当q＞0时，a1＋a2＋a3＋a4＞a1＋a2＋a3，a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)不成立，即a1＞a3，a2＞a4或a1＜a3，a2＜a4不成立，排除A，D；当q＝－1时，a1＋a2＋a3＋a4＝0，ln(a1＋a2＋a3)＞0，a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)不成立，所以q≠－1；当q＜－1时，a1＋a2＋a3＋a4＜0，ln(a1＋a2＋a3)＞0，a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)不成立；当q∈(－1,0)时，a1＞a3＞0，a2＜a4＜0，a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)能够成立．故选B．3．(2018年新课标Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.4．(2017年新课标Ⅱ)已知等差数列{a