《备考指南 理科数学》课件-第11章 第7讲

计数原理、概率、随机变量及其分布第十一章第7讲离散型随机变量及其分布列【考纲导学】1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个离散型随机变量的分布列．2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．栏目导航01课前基础诊断03课后感悟提升02课堂考点突破04配套训练课前基础诊断11．随机变量的有关概念如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序___________，这样的随机变量叫做离散型随机变量．一一列出≥

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3．常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布若随机变量X的分布列具有上表的形式，就称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为__________．X01P____p1－p

成功概率1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是(

)A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球C．取到白球的个数 D．取到的球的个数【答案】C2．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有(

)A．17个 B．18个C．19个 D．20个【答案】A【答案】D掌握离散型随机变量的分布列，须注意：(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．(

)(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．(

)(3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．(

)(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．(

)(5)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(

)(6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(

)【答案】(1)√

(2)√

(3)×

(4)√

(5)×

(6)√课堂考点突破2离散型随机变量分布列的性质【规律方法】(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的取值概率时，根据分布列，将所求范围内随机变量对应的取值概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．离散型随机变量的分布列

某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列．【规律方法】求离散型随机变量分布列的步骤(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2,3，…，n)；(2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．【跟踪训练】2．(2018年贵阳适应性考试)如图所示，A，B两点之间有6条网线连接，每条网线能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4，从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量，设这三条网线通过的最大信息量之和为ξ.(1)当ξ≥6时，则线路信息畅通，求线路信息畅通的概率；(2)求ξ的分布列．超几何分布

某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列．【规律方法】超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．【跟踪训练】3．PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区某年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)[25，35](35，45](45，55](55，65](65，75](75，85]频数311113(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记X表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求X的分布列．课后感悟提升33种方法——求分布列的三种方法(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列；(2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列；(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．1．(2017年新课标Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？(2)由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，所以只需考虑200≤n≤500.当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n.若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1200－2n.若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－300)－4n＝800－2n.所以EY＝2n×0.4＋(1200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.当200≤n＜300时，若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n.若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－300)－4n＝800－2n.所以EY＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．2．(2017年山东)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1