空间中直线、平面的垂直（第3课时）（分层作业）-2022-2023学年高二数学同步备课系列（人教A版2019选修第一册）（解析版）

1.4.1空间中直线、平面的垂直（第3课时）（分层作业）

（夯实基础+能力提升）

口【夯实基础】

一、单选题

I.（2021•浙江•高二期中）已知平面。的法向量为。=（2,3,-1）,平面£的法向量为。若a，/,

则上等于（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】C

【分析】根据eb=0求解即可.

【详解】由题知：a〃=2+0—&=0，4翠得〃=2.

故选：C

2.（2021.全国.高二期中）若直线直〃的方向向量分别为质=（2,T,7）,〃=则这两条直线（）

A.平行B.垂直C.异面垂直D.垂直相交

【答案】B

【分析】根据方向向量的位置关系判断直线的位置关系即可.

【详解】因为"〃=2xl+（-l）xl+（-l）xl=0,所以〃?1〃，所以/JL

故选:B.

3.（2021・北京海淀•高二期中）过点A（2,-5,l）且与向量。=（-3.2,1）垂直的向量（）

A.有且只有一个B.有无数个且共面

C.只有两个且方向相反D.有无数个且共线

【答案】B

【分析】以向量。=（-3,2,1）为法向量，且过点A（2,-5,1）的平面有且只有一个，设为平面。，则平面。中过

点A的向量都符合题意，从而得到结果.

【详解】由题意可知，以向量〃=（-3,2,1）为法向量，且过点人（2,-5,1）的平面有且只有一个，设为平面a,

则平面。内过点4（2,-5,1）的向最都与向品。=（-3,2,1）垂直，这样的向后•有无数个且共面，

故选：B.

4.（2021・湖北・武汉市第十四中学高二阶段练习）设a，〃是两条直线，°,8分别为直线a,〃的方向向量,

a，〃是两个平面，且。_1。，则“&J■尸''是％_L/>”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】C

【分析】根据题意，结合面面垂直的向量证明方法，即可求解.

【详解】由题意可得a，b分别是平面a，4的法向量，所以等价于a_L八

即”是,j_b”的充要条件.

故选：C.

5.（2022・全国•高二课时练习）若空间两直线乙与〃的方向向量分别为。=（4，W9）和。=（4也也），则两

直线乙与4垂直的充要条件为（）

A.a2=Ah2,%=X优（2eR）

B.存在实数&，使得〃=妙

C.44+%b2+ayby=0

D.〃力=±„b

【答案】C

【分析】由空间直线垂直时方向向量。6=0,即可确定充要条件.

【详解】由空间直线垂直的判定知：ab=afy+a2b2+a.b3=0.

当〃也+424+。也=。时，即£$=0,两直线4与1垂直.

而A、B、D说明《与乙平行.

故选：C

二、多选题

6.（2022.江苏宿迁•高二期中）给定下列命题，其中正确的命题是（）

A.若〃是平面。的法向量，且向量〃是平面。内的直线/的方向向量，则a.〃=0

UUU

B.若〃],%分别是不重合的两平面a•〃的法向量，则a〃万。q=0

C.若九亡分别是不重合的两平面。，厂的法向量，则a〃£=鼠〃2H〃仙%|

D.若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面•定不垂直

【答案】ACD

【分析】A选项，由线面垂直的定义可判断正确；

B选项，两平面平行，则它们的法向量平行；

C选项，两平面平行，则它们的法向量平行；

D选项，两平面垂直，则它们的法向量垂直.

【洋解】对于A选项，由线面垂直的定义若一条直线和一个平面内所有的直线都垂直，我们称直线和平面

垂直，所以a_L〃，,二0，A正确；

对于B选项，两平面平行，则它们的法向量平行，所以B错误；

对于C选项，两平面平行，则它们的法向量平行，・・・(，”,〃2)=0或万••・卜•丐卜何|.|后|，C正确；

对于D选项，两平面垂直=它们的法向量垂直，所以两个平面的法向量不垂直，则这两个平面•定不垂直,

D正确.

故选：ACD.

三、填空题

7.(2022・陕西•武功县普集高级中学高二期末(理))设“=(-2,2/)-=(6,-4,5)分别是平面。,《的法向量,

若a则实数，的值是.

【答案】4

【解析】根据“=(-2,2/)»=(6,-4,5)分别是平面。,"的法向最，且则有"心求解.

【详解】因为〃=(-2,2,/)»=(6,-4,5)分别是平面%"的法向量，且口，)

所以〃_Li；

所以-2x6+2x(T)+/x5=0

解得r=4

故答案为：4

【点睛】本题主要考查空间向量垂直，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

8.(2022・全国•高二课时练习)两条直线垂直的充要条件是•直线和平面垂直的充要条件是

;两个平面垂直的充要条件是.

【答案】它们的方向向量垂直直线的方向向量为平面的法向量它们的法向量垂直

【分析】根据直线的方向向量、平面的法向量、线线垂直的定义、线面垂直的定义和面面垂宜的定义即可

【详解】证明：设AB=4,AC=b,AD=c

则AC-A8=〃-a,CO=AQ-AC=c—48。=A。-A8=c—a

.ADA.BC.ABLCD

AD1BC.ABA.CD

c(b-a)=()ac=be

a(c-b)=Oac=ab

于是可得»J；

AC-BD=b■(c-a)=bc-b-a=0

.—80，BPAC±BD

11.（2021・全国•高二课时练习）如图，在空间直角坐标系Aryz中，底面ABC。为矩形，P（0,0,2）,C（x/3,l,0）.

（1）求证：BCLPB；

（2）求ACPB.

【答案】（1）证明见解析；（2）3.

【分析】3）根据题意求出向量BCP8的坐标，然后根据向量8c与08垂直证明3。_LP5；

（2）写出向量AC坐标，然后根据空间向量数量枳的坐标运算即可.求出答案.

【详解】（I）因为底面48CQ为矩形，C（V3,l,0）,所以A8=7IAQ=1,所以6使,0,0）,

又因为*0,0,2）,所以8C=（0,1,0）,P8=（石,0-2）,

所以BCPB=OXV5+1XO+（）X（-2）=（）,所以BC上PB，

所以BCJ.PB.

（2）因为A（0,0,0）,所以AC=（X/5,1,0）,

又因为P4=（力,0-2）,所以AC/4=J5XJ5+1X0+0X（_2）=3.

12.（2021•湖南•怀化五中高二期中）如图所示，在长方体A8CO-A4G。中，AD=\,A13=AA]=2,N、

M分另"AB、C。的中点.

（1）求证：NM〃平面AA。。；

（2）求证：NM_L平面

【分析】（1）以点。为坐标原点，DA.DC、。。所在直线分别为x、丁、z轴建立空间直角坐标系，利

用空间向量法可证得结论成立；

（2）求出平面AAM的一个法向量，利用空间向量法可证得结沦成立.

【详解】（1）以点。为坐标原点，OA、DC、。。所在直线分别为％、）'、z轴建立如下图所示的空间直

角坐标系，

则A（l,0,0）、M（0,1,1）,N（l,l,o）、4（122）、A（1,0,2）,

NM=（-l,0J）,易知平面AA。。的一个法向量为A=（0,1,0）,

NM/?/=-lx0+0xl+lx0=0，则NM±m»

明/仁平面4人。。|,故NM〃平面4A。。]；

⑵设平面的法向最为〃=(x,y,z),4四=(0.2,0),—

〃.堇=。，得,),=。

取x=-l,可得〃=(-1,0,1),

n-=0[-x+y-z=0

所以，NM=n，故2必_1_平面48也.

13.(2021•广西钦州一中高二期中(理))如图，在多面体A8CE底尸中，四边形4死产是梯形，四边形A8CO

为矩形，DEljlUABCD,AF//DE,AF=AD=DE=1,AB=亚.

⑴求证：8F7/平面COE；

(2)点G为线段CO的中点，求证4G_1面。8£.

【分析】(1)建立空间坐标系。一冲z,由线面垂直的判定定理可证AO_L面瓦)C,可知OA为面瓦>。的

iniuuiUI

法向量,又DA・BF=()，根据线面平行的判定定理即可证明结果;

IIUUUlimUlmUUID

(2)由(1)“J知O£AG=0，DBAG=0,可证OE_LAG,DBA.AG,再根据线面垂直的判定定理即

可证明结果.

⑴证明：如图，建立空间坐标系。一冲Z,则A(l,0,0),E(0,0,2).B=(LV2,0),尸。,。』)，勿、=(0,—0,1),

Z)E_L面ABC。，:.DErAD,且AO_LDC,

乂DEcDC=D,

UUU

A0_1_面EDC,/.™=(1.0,0)为面EDC的法向量，

UIWUIWUUUUUU

QOA8尸=0，/.DAYBF>

乂平面COE,

.•.M〃平面CDE.

E

uuo卜咚。］

(2)证明:由(1)可知,AG=。£=(0,0,2)。3=(1,也0)，

HUUUUUllliuUUID

/.DEAG=O^QBAG=O,

DEA.AG,DB1AG

又BDr\DE=D，

：.AG.LW\DBE.

14.(2021.全国.高二课时练习)如图，在直三棱柱ABC-A8c中，ZABC=90°,BC=2,C6=4,点

E在棱上，3=1,D,F,G分别为CG，MG，AC的中点，EF与BQ相交于点H.

(1)求证：片。平面ABD.

(2)求证；平面EGF〃平面A8£>.

【分析】(I)建立空间直角坐标系，用空间向量证明出8Q_LAS,B.DVBD,进而证明出与。_1,平面ABD；

(2)用空间向显的证明出G广力AB和E尸//8。，进而出平面EG77//平面A4Q

(1)证明：(1)如图所示，建立空间直角坐标系，

设/3=”，则4(。，0,0)，4(o,o,o),产(ojo),

E(o,o,l),A(〃,(),4),8(0,0,4),0(0,2,2),Ge』,()

所以用0=(0,2,2),4A=(-a,0,0),8。=(0,2,-2),

所以40A8=0+0+0=0,勺力30=0+4—4=0，

所以4£>_LA8,BQ工BD,

所以用。J.A8,B{D1BD.

又ABBD=B、所以耳。1平面4BO.

⑵由(1)可得A8=(—a,0,0),BD=(O,2,-2),

GF=1-*0,()],EF=(OJ,-1),

\-/

所以48=2GF，BD=2EF，所以GF/jAB，EFIIBD.

所以Gb〃48,EF//BD.

因为A8i平面4?/),Gb(z平面ABD

所以G尸〃平面ABO

同理可证：£尸〃平面

又GFcEF=F,

所以平面£G产//平面ABD.

15.（2022•江苏・滨海县五汛中学高二阶段练习）已知三棱柱ABC-的侧棱垂直于底面，/加。=900,

AB=AC=AA.=\tE、/分别是棱C。、BC的中点.

4

⑴求证：用六」平面

(2)求点A到直线与E的距离.

【答案】⑴证明见解析；⑵乎•

【分析】(1)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向最证明4cA£=0和3尸•斗尸二。即可;

(2)利用向量投影即可求解.

(1)：三棱柱ABC-AMG的侧棱垂直「底面，NBAC=90。,

・••以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，

VAB=AC=AA,=l,E、/分别是棱G。、3c的中点，

・•・A(0,0,0)的1,0,1),E(0」，3尸(注,0),

VB,FAE=0,BiFAF=O,：.^F1AE,B^LAF,

：AEcAF=A.AEu平面A尸u平面AE产，，片尸1平面AEE

(2)：A(O,O,D,・・.A4=(I，°，O)，及E=

故点A到直线的距离为d=|A用与"人兄耳E）=*.

16.（2022・全国•高二课时练习）如图，已知长方体ABC。-A4G〃中，AD=AB=2DR,判断满足下列

条件的点M,N是否存在：MwAD、，NwBD,MN上AD、,MN上BD.

【答案】存在点M，N满足MeAR,NwBD,MN1AD、,MN_LBD

【分析】建立直角坐标系利用空间向量垂直的求解方法进行求证.

【详解】解：假设存在M，N满足条件.在长方体中以D为原点，分别以OADCOA所在的直线为x轴，了轴,

z粕，建立空间直角坐标系.

不妨设Z）A=1,AM=x,ON=y则AO=AB=2O°=2

在“ADD）中,

鹤Vi7775

"%。=也=『1==在

:.M2一^^,0,粤｝N与，字,o）

,.=（与一2+平冬冬一亭）

又D、(0,0,1),A(2,0,0),D(0.0,0),BQ,2,0)

AD,=(-2,0,1),BD=(-2,-2,0)

MNlAD^MN1BD

MNAD、=0

MNBD=Q

一方x一¥>‘+4=0

-2底-5及)，+10=0

x=-3-6--

4

解得:

V2

AleAD],NeBD

「.OVxV技04)W2&

即存在点M,N满足MwAQ,NwBD,MNJ.AR,MN1BD

17.(2022・全国•高二课时练习)已知A〃是平面。的一条斜线且B为斜足，设/W的射影是AA,而/是与

平面夕平行的一条直线.判断下列命题是否成立，并用空间向量证明：

(1)当/_LA'3时，/_LA8；

(2)当/_LA8时，11A13.

【答案】(1)成立，证明见解析

(2)成立，证明见解析

【分析】(1)依题意：AAla,IHa,11.AA,再假设相应的方向向量，利用向量中两个向量垂直的

表示方法即可证明.

(2)与(1)的分析方法相同.

(1)按照题意，作图如下：

•・•〃/«,441是a的一个法向量,设/的方向向量为，,则/.A4=0,

由已知，/AB=O,由图可知AB=A4'+AB，

l-AB=/(AA+AB)=/AA+/AB=O^即/J_AB,故命题成立;

(2)按照题意，作图如下：

V///a,4A'是。的一'个法向星，设/的方向向星为/，由题可知/・A8=0，

/•AB=/•(AA+A8)=/•AA+/•AB=O»而/•A4'=0，

*'•/AB=O＞故命题成立；

18.(2022・全国•高二课时练习)在棱长为1的正方体OWC-OdMG中，公尸分别是棱A伙上的动点,

且AE=BF.

(1)求证：\FLC.E.

(2)若A、£P、G四点共面，求证：Ab=：AG+AE.

【分析】(1)建立空间直角坐标系，求出A/，GE,由A?GE=O即可证明：

(2)分别求出A。；，设4/=440+〃4七，解出丸，〃即可证明.

UUU

(1)如图所示，以点。为原点，分别以QA、OC与OQ的方向为x、y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系.

设4后=5/=工，其中OWxWL

由已知条件4(1。1)、尸(1TJ0)、G(0,L1)、E(1,%,0),则A尸=(r,l,-l),C,E=(l,x-l,-l),所以

z\FC1E=-x4-(x-l)4-l=0,

所以A/J_GE,即4尸_LGE；

(2)A^=(-X,I,-I),AG=(-i，i，°)，AE=(O,X,-I)，设A/二%AG+〃AE，I=N+〃X,解得a=g,4=1.

所以A/=；AG+AE.

【能力提升】

一、单选题

1.（2022•江西•景德镇一中高二期末（理））如图，下列正方体中，。为下底面的中心，M,N为正方体的

顶点，P为所在棱的中点，则满足直线MNJ.OP的是（）

【答案】B

【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，再对每一个选项逐一分析，利用空间位置关系的向量证明

推理作答.

【详解】在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2,点0(1,1,0),

对于A,M(2,0,2),N(0,2,2),0(0,2,1),A//V=(-2,2,0),OP=(-1,1,1),MNOP=4w()，MN与OP不垂直,

对于B,Af(0,0,2),M2,0,0)/(2,0,1),MN=(2,0,—2),OP=,MNOP=U，MN工OP,B是;

对「C,M(2,2,2),N(0,2,0),P(2,0,l),MN=(—2,0,—2),OP=(1,—1』)MNOP=-4工0，MN与OP不垂直,

f

对「D,M((),0,2),N((),2,0),P(2J2),MN=(0,2,-2),。P=(1,0.2),MNOP=-4wO，MN与OP不垂直,

D不是.

故选:B

2.(2022•四川省成都市新都一中高二期中(理))在直三棱柱ABC-A9C中，底面是以4为直角项点，

边长为1的等腰直角三角形，若在棱CC上有唯一的一点£使得AE_LE8,那么的=()

A.1B.2C.4D.-

23

【答案】B

【分析]建立空间直角坐标系，设出四'=6(m>0),根据垂直和唯•的点E得到方程病力-病丸+]=。由

唯一解，根据二次函数根的分布问题求出〃?=2.

【详解】如图，以3为坐标原点，BA,BC,33'所在直线分别为x轴，1y轴，z轴建立空间直角坐标系，设

=则8(0,0,0),0(1,0,⑹,E(0,l,如,0W2W1,

则A:E=(-1,1,Am-m),BE=(0,1,z/n),

则A!E-BE=(—1,1,2m—m)•(0,1,Am)=m2A2—nfX+1=0,

因为在棱CC上有唯一的一点E使得AE_LEB,

所以4万一相2/1+]=0在0石％力上有唯一的解，

令f⑷=加储-病丸+1,可知/|0)=/(1)=1,

故要想在0W2W1上有唯一的解，只需△="/-4/〃2=0,

因为m>0，所以解得："?=2

故选:B

3.（2021.全国•高二课时练习）如图，在正方体人与GR中，O是底面正方形A8CQ的中心，M是

。〃的中点，N是AM上的动点，则直线NO、AM的位置关系是（）

A.平行B.相交C.异面垂直D.异面不垂直

【答案】C

【分析】N是A瓦上的动点，O是底面正方形4BC。的中心，设£/'分别是AR8C中点，证明NCM/A1，

并证明后，即可判定直线NO、4M的位置关系.

【详解】解：在正方体A6CO-ASG〃中，。是底面正方形A3。的中心，

M是的中点，N是A4上的幻点，连接A。，BQ,设£/分别是4Vse中点，则£O,F共线，且EF

与A8与A4平行且相等，也即EO与AN平行且相等，

A0OE是平行四边形，所以NO〃AE,

在正方形4ORA，所以NMN=/OAM,

所以NDAM+ZAEAt=ZAA,E+ZAEAt=90°,所以AM_L4卢，

所以直线NO_LAM,因为它们不相交.

故选:c.

二、多选题

4.（2021.河北•唐山市第十一中学高二期中）（多选）在正方体/WCQ-A向。9中，O是底面4BC。的中心,

M,N分别是棱。。，。/。的中点，则直线OM（）

AB

A.和AC垂直

B.和A4垂直

C.和MN垂直

D.与AC,MN都不垂直

【答案】AC

【分析】以。为原点，。4,DC,。。所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长

为2人证明苏・a=°，加/・心=2/工0，即得解.

以D为原点，DA,DC,。。所在的直线为x轴、），轴、z轴建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为2小

则0((),0,0),。/((),0,2a),A/(0.0,a),A(2a,0,0),C(0,2a,0),O(a,a,0),N((),a,2a),A(2a,0,2a),

***OM一〃，〃），加=（°，小"），/=（-2m2m0）,R=（0,0,2a），

工加/•疝=°，OM.Xc=0*原•易1=2/w（），

：,OM1AC,OMIMN.OM和AA/不垂直.

故选：AC.

三解答题

5.（2022.浙江.诸暨市教育研究中心高二学业考试）如图，三棱柱ABC-ABC的底面为菱形,

ZCAB=ZCAA,=ZA,AB=60°,“为BC】的中点，且A4=AC=1.

（1）求证：AA/J_平面CRB；

（2）求直线AC与平面C/\B所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵萼

【分析】（1）以/、4、A"为基底，用向量法证明AM与垂直后可得线面垂直;

（2）在正四面体4一。8中取,45（7中心得加/是高.是白线AC与平面CA5所成角,然后求

解可得.

(1)证明：以A%、然、公为基底，得

AM=AB+BM=AB+^(BC+BBl)=AB+^(AC-AB)+^AA.=^(AB+AA,+AC),

AiB=AB-AAi,.

+ACAB-AC-AA^=^-\+^-^

AM.AB=』(AB+AA+AC)(48-A4)={A3。-4A=0,所以

22\

同理可证AM_LCB,4田和C4是平面CAI内两科交直线，所以AM_L'上面CRB.

（2）由已知四面体入一是正四面体，如图，H是的中心，石是A了的中点，AC=hA”是正

四面体的高，从而A"与底面上的直线3垂直，ZAS是AC与平面A其所成的角'则0"[>4=字

所以A"=J--g)2=q,sm/ACH=M=q.

6.（2022•全国•忘二课时练习）如图所示，已知矩形48co和矩形AOE尸所在的平面互相垂直，点M,N

分别在对角线80,AE上，且AN=^AE.

FE

D

B

⑴求证：MN工AD；

（2）若CD=DE=1,求MN的长.

【答案】（1）见解析

喈

【分析】（I）根据面面垂直的性质证明平面可得人3_LA尸，再将MN用A8,AD,A尸表示,

再根据向量数量积的运笄律证明MN•AD=0，即可得证；

（2）根据（1）,根据|MN卜/就，将MN用AB,AD,A尸表示，从而可得出答案.

⑴证明：在矩形A8C。中，AB1AD,

因为平面A8C£>_L平面AOE/L旦平面1平面ADEF=4）,

ABl平面ABCD,

所以A8L平面AOEF,

又因A尸u平面4OE/，所以A4_LA厂，

MN=MB+BA+AN

=-DB+BA+-AE

33

=g（AB—AO）—AB+；（AQ+A产）

=--AB+-AF,

33

所以MNAO=（—+尸）4D=—•|ABAO+gAFAO=0,

所以肱V_LAD；

⑵解：因为CZ）=£>E=1,

所以网=|44=1,

即MN的长为半.

7.（2022.全国•高二课时练习）左棱长为1的正方体/WCQ-A4GR中，七尸分别是G%的中点.

（1）判断向后石歹与八8、A4）是否共面；

（2）求证：斯，平面6C。.

【答案】⑴向量“'与AN、M共面；

（2）证明见解析.

【分析】（1）根据空间向量的加法法则及空间向量的共面定理即可判断；

（2）根据空间向量的线性运算及向量的数量积，得出EF_LCR,EFLBC,

再利用线面垂直的判定定理即可证明.

⑴因为EF=£D,+=-；（"+朋），所以向最EF与AB、M共面；

⑵CD；=OA-DC=A4,-A8,

2222

因为所・CR=-1（?1B+A41）（A41-z4B）=1^B-A4|）=^|AB|-|A41|j=O,

所以EF工CR,即“"，。口，

｝

EFBC=--^AB+AAl）BC=--（ABBC-AAl8C）=0,

22

所以斯_L8C，即律_18。，

又因为CRcBC=C,CD「BCu平面BCD「

所以律L平面BCR.

8.（2022