考研数学真题答案

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合

题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纲指定位置上.

1、设函数人幻在(P,+8)连续，其2阶导函数尸“)的图形如下图所示，则曲线y="x)的拐点个数为

()

(A)o(B)l

(C)2(D)3

【答案】(C)

【考点】拐点的定义

【难易度】★★

【详解】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异

号，因此，由了"⑺的图形可知，曲线y="x)存在两个拐点，故选(Q.

2、设.2I3J是二阶常系数非齐次线性微分方程y+w+6y=ce'的一个特解，则()

(A)a=—3,Z?=—l,c=—1.(B)=3,Z?=2,c=-l

(C)a=-3,Z?=2,c=l.(D)〃=3,Z?=2,c=l.

【答案】(A)

【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法

【难易度】★★

J_e2>——e'

【详解】2，-3为齐次方程的解，所以2、1为特征方程分+必+人。的根，从而

a=-(l+2)=-3,b=lx2=2,

再将特解"代入方程产-3y，+2y=*得：c=-l.

之。”r

3、若级数占条件收敛，则x=8与1=3依次为幕级数占的：

(A)收敛点，收敛点(B)收敛点，发散点

(C)发散点，收敛点(D)发散点，发散点

【答案】(B)

【考点】级数的敛散性

【难易度】★★★

【详解】因为占条件收敛，故》=2为幕级数幺的条件收敛点，进而得幺的收敛半

00

径为1,收敛区间为似2）,又由于幕级数逐项求导不改变收敛区间，故宫"“'°F的收敛区间仍为他2）,

厂之〃。〃（工一1）"

因而X=K与x=3依次为幕级数,T的收敛点、发散点.

4、设D是第一象限中曲线2外=1，4肛=1与直线y=x，y=bx围成的平面区域，函数/（X,），）在D上连续,

JJf(x,y)dxdy=

则D

(A)

JJd。J喂/(rcos60sinff)rdr

423n2。

(B)

JW卜甲*/(rcos0,rsin0)rdr

4及sin2。

(C)

7t__

fjj$喂f"cos仇rsin0)dr

42sin20

(D)

，如Jy(rcos0yrs\nO)dr

4缶n2i。

【答案】（D）

【考点】二重积分的极坐标变换

【难易度】★★★

e=-A0=-

【详解】由尸X得，4；由y=，3x得，3

由2个句得，

2产cosOsin8=1,r=,

Vsin26>

由4孙=1得，

4/cosOsin，=1,r=----=

V2sin26>

所以

jj/(x,y)dxdy=/(rcos0,rsinO)rdr

D4asin2。

1I（1、

A=12ab=d

4a21/J,若集合Q={L2},则线性方程组Ax=6有无穷多个解的充分必要条

5、设矩阵V

件为

(A)〃/Q,d史。B)〃任C,dGQ

(C)aeQdeQD)aeQ,JeQ

【答案】（D）

【考点】非齐次线性方程组的解法

【难易度】★★

【详解】

-11111Fl11i

[A,/?]=12ad--->01a-\d

14crd2\|_00（a-l）（a-2）（J-l）（J-2）

=〃有无穷多解=RA）=/?（A,。）<3

<=>tz=1或。=2且d=1或d=2

6、设二次型/（与心三）在正交变换x=4下的标准形为23+£-员，其中

P=（WJ,若0=（4，/,e?）,则，（/与，鼻）在正交变换x=Q.V下的标准形为

（A）2〉；-4+¥（B）2y；+£-y；

（C）2y”£一%（D）2y；+£+¥

【答案】（A）

【考点】二次型

【难易度】★★

【详解】由x=4,故

f=XTAX=yT(PTAP)y=2yf+£-y；

200

PrAP=010

00-1

且：

10()■~20o-

Q=P001=PC,Q'AQ=C'(P'AP)C=0-10

0-10001_

所以

,f=XTAx=yT(QTAA)y=2y；-y；+y；

，故选(A)

7、若A8为任意两个随机事件，则

(A)P(AB)<P(A)P(B)(B)P(AB)>P(A)P(B)

P(g”A)+f⑹

(C)2(D)2

【答案】(C)

【考点】

【难易度】★★

【详解】

故选

8、设随机变量x，Y不相关，且EX=2,Ey=l,0X=3』/[x（X+y_2）]=

（A）-3（B）3（C）-5（D）5

【答案】（D）

【考点】

【难易度】★★★

【详解】

E[X（X+y-2）]=E[x2+Xy-2X]=E（X2）+E（Xr）-2E（X）

=D（X）+E2（X）+E（X）E（y）-2E（X）=5

二、填空题：9~14小题,每小题4分，共24分.请将答案写在管理纲指定位置上.

..Incosx

lim--；-

9sox2

【答案】”

【考点】极限的计算

【难易度】★★

【详解】

「Incosx「ln(l+cosx-l)..cosx-1「91

hm=hm------；=lim；——=lim——=——

x->0X/.v->0『x->0£A->0£2

10、

向产上-+国)小=

1+COSX---------------

71

【答案】彳

【考点】积分的计算

【难易度】★★

【详解】

n(sinx+国心=2不皿=?

2l+cosx

11、若函数z=z（x，y）由方程炉+盯2+尤+8$苫=2确定，贝4必卜。/产------

【答案】

【考点】隐函数求导

【难易度】★★

【详解】令

F(x,y,z)=e'+xyz+x+cosx-2

贝[]F：=yz+l-sinxF；=xz£’=孙，又当x=O,y=l时，z=0,所以公砌F；

因而矶。.产_血

12、设。是由平面x+y+z=i与三个坐标平面所围成的空间区域，则

（冗+2旷+3z）dxdydz

【答案】4

【考点】三重积分的计算

【难易度】★★★

【详解】由轮换对称性，得

JJJ(x+2y+3z)必:方dz=6JJJzdxdydz=6^'zdz^dxdy

cD.

其中2为平面二=z截空间区域。所得的截面，其面积为30一二）.所以

JJJ(x4-2j/+3z)cZx(/y6fe=6JJJzdxdydz=6—z)~dz=3—2z2+z^dz=—

oo°2°4

2002

-1202

0022

13、n阶行列式°0-12

【答案】2"「2

【考点】行列式的计算

【难易度】★★★

【详解】按第