考研数学三真题及答案

2014年考研数学三真题

一、选择题(1〜8小题，每小题4分，共32分。下列媒体给出的四个选

项中，只有一个选项是符合题目要求的。)

⑴设1加口8册=a,且aW0,则当九充分大时有

(A)|an|(B)\an\<^

(C)an>a—(D)cin<aH—

【答案】Ao

【解析】

【方法1】直接法：

由〃mn-8an=a,且aW0,则当九充分大时有

\an\>y

【方法2】排除法：

若取册=2+显然a=2,且(B)和(D)都不正确；

取册=2—显然a=2,且(C)不正确

综上所述，本题正确答案是(A)

【考点】高等数学一函数、极限、连续一极限的概念与性质

⑵下列曲线中有渐近线的是

(A)y=x+sinx(B)y=x2+sinx

(C)y=%+sin-(D)y=x2+sin-

%X

【答案】Co

【解析】

【方法1]

.一,f(x},x+sin-

由于〃巾78-------=lim--------=1=a

X久T8X

Um[/(%)—ax]=limx+sin--x=Umsin-=0=b

%T8%T8X%->OOX

所以曲线y=%+s讥:有斜渐近线y=%,故应选(C)

解法2

考虑曲线y=x+sin：与直线y=%纵坐标之差在％—8时的极限

111

limx+sin——x=limsin-=0

%T8X%->00X

则直线y=%是曲线y=x+s讥(的一条斜渐近线，故应选(C)

综上所述，本题正确答案是(C)

【考点】高等数学一一元函数微分学一曲线的凹凸、拐点及渐近线

⑶设p(x)=a+b%+c/+d/.当％—0时-，若p(%)—tan%是比％3高阶

的无穷小，则下列选项中错误的是

(A)a=0⑻b=1

(C)c=0(D)d=-

6

【答案】D°

【解析】

【方法1】

当X70时，tern%—%〜知，tan%的泰勒公式为

tanx=x+-x3+o(x3)

又防一。咽等H=.空匕士手|)也竺二o

xuX3久-0X3

则a=0,b=1,c=0,d=：

【方法2】

显然，a=0,

p(x)-tanxa+bx+cx2+dx3-tanx..b+2cx+3dx2-sec2x

lim^----；---=hm--------；-------=hm--------；-----

x0uX3%TOX3%TO3X2

由上式可知，b=l,否则等式右端极限为8,则左端极限也为8,与题

设矛盾。

,.pM-tanx2cx+3dx2-sec2x

-；----

=hm2=Hm—+d--

XUX3-------XT03x3%3

故c=0,d=:

综上所述，本题正确答案是(D)。

【考点】高等数学一函数、极限、连续一无穷小量及其阶的比较

(4)设函数f(%)具有二阶导数,g(%)=f(0)(1—%)—/(1)%,则在区间［0,1］

上

(A)当/'(%)之0时，/(%)>g(x)

(B)当/(%)之0时，/(%)<g(x)

(C)当/〃(%)之0时，/(%)>g(x)

(D)当/〃(乃NO时,/(%)<g(x)

【答案】Do

【解析】

【方法1】

由于f(0)=g(o),/(l)=9(1),则直线y=f(0)(1-%)-f(1)无过点

(0,f(0))和(l,f(l)),当/”(%)>0时,曲线y=/(%)在区间［0刀上是凹的,

曲线y-/(%)应位于过两个端点(o,f(。))和的弦y=

f(0)(1-％)-f(i)%的下方，即f(%)wg(%)

【方法2】

令F(%)=f(x)-g(x)=f(x)-/(0)(l-x)-则

F'Q)=f(x)+/(0)-f⑴,「'(%)=r(x),

当f〃(%)Z0时,Fz,(x)>0o则曲线FQ)在区间[0,1]上是凹的,又

F(0)=F(l)=0,

从而，当％e[0,1]时,FQ)-0,即f(%)4g(%)

【方法3】

令F(%)=/(%)-g(x)=f(%)-f(0)(1-x)-f(1)%,

则F(%)=f(x)[(l-%)+%]-/(0)(l-x)-

=(1-%)[/(%)-/(0)]--/(%)]

=X(1--X(1-fE(0,X),7]6(%,1)

=%(1—%)/收)—/8)]

当f〃Q)之o时，((%)单调增，从而，当％W[0,1]时,

FQ)<0,即f(%)<g(x)

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学一一元函数微分学一函数不等式证明

oabo

oob

a-

(5)行列式ocalo

cood

(A)(ad-be)2(B)—(ad—be)2

(C)a2d2—b2c2(D)b2c2—a2d2

【答案】Bo

【解析】灵活使用拉普拉斯公式

0ab0c00dcd00

a00ba00bab00

0cd00cd000dc

c00d0ab000ba

ddc'

?——(ad-be)2

bba-

综上所述，本题正确答案是(B)

【考点】线性代数一行列式一数字型行列式的计算

(6)设％,如，%均为三维向量，则对任意常数上」，向量组

+ka3,a2+I的线性无关是向量组%，畋，。3线性无关的

(A)必要非充分条件(B)充分非必要条件

(0充分必要条件(D)既非充分又非必要条件

【答案】Ao

【解析】

t己01=猿1+ka3,p2=废2+。馥3，则

10-

(01，02)=(%,。2,。3)01

.kI.

若如,以2，。3线性无关，则(%。2,屐3)是3阶可逆矩阵，

10'

故r(夕1，02)=ro1=2,即以1+左13，。2+，。3线性无关。

.kI.

反之，设由，废2线性无关，劭=0,则对于则对任意常数/U,向量组

+ka3,a2+I的线性无关，但馥1，以2,馥3线性相关，

所以％+ka3,a2+I的线性无关是向量组由，22,馥3线性无关的必要

非充分条件。

综上所述，本题正确答案是(A)。

【考点】线性代数一向量一向量组的线性相关与线性无关

(7)设随机事件/与B相互独立，且P(B)=0.5,PQ4一B)=0.3,则

P(B—4)=

(A)0.1(B)0.2

(C)0.3(D)O.4

【答案】Bo

【解析】4B独立，则48独立，月"也独立,而=/反8-/=BA

可用独立性来计算。

PQ4-B)=PQ4月)=P(/)P(月)=0.3

P⑻=1—P(B)=0.5

可得P(/)=0.6

P(B-/)=PGM)=P(B)P(4)=0.5x0.4=0.2

综上所述，本题正确答案是(B)。

【考点】概率论与数理统计一随机事件和概率一事件关系，概率性质

和五大公式

(8)设Xi，X2,X3为来自正态总体N(0,(T2)的简单随机样本,则统计量

S=等券服从的分布为

V2|X3|

(A)F(1,1)(B)F(2,1)

(C)t(l)(D)t(2)

【答案】Co

【解析】

Xi—X2〜N(0,2d),所以与迎〜N(0,l)

V2(7

X3〜N(0R2)年〜N(0,l),管)2〜x2(i)

Xi-X2与X3相互独立，故若与停)也独立。

Xi_X?X\-X?

所以高"⑴’而吞=稿二、

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】概率论与数理统计一数理统计的基本概念

二、填空题(9〜14小题，每小题4分，共24分。)

⑼设某商品的需求函数为Q=40-2p(p为商品的价格)，则该商品的边

际收益为o

【答案】20—Q

【解析】由题设知收益函数为R=pQ=d用)Q,则边际收益为

dR

-=20-Q

dQ

【考点】高等数学一一元函数微分学一一元微分在经济中的应用

(10)设D是由曲线%y+1=0与直线y+x=0及y=2围成的有界区域，则

D的面积为o

【答案】|-/n2

【解析】

【方法1】

曲线%y+1=0与直线y+x=0及y=2围成的有界区域D如卜图，则D

的面积为

11

r~f-213

S=I[r2+x]dx+I[2+-\dx=--ln2

J-2J―1X乙

【方法2】

用二重积分计算面积，即

【考点】高等数学一一元函科积分与一定积分应用

(11)设以理?斗2

【答案】?:/

y+x=0

x

【解析】

fa1Ca1al「a/a1

^xe^dx=-^xde^=产°”『2xdx=(---)呼+-

可知C)e2a=0,则a=[

【考点】高等数学一一元函数积分学一定积分计算

x2

(12)二次积分/；dyf^-)2相％=。

【答案】芋。

【解析】

二次积分的积分区域为

D={(招y)|0<y<l,y<x<l}={(%,y)|0<%<1,0<y<%}

交换积分次序得

fdy

JQ

=[\e

eydy}dx

J。

Xi

=dx—(xley2dy)+Ixex2dx

J。Jo0Jo

11

x221e-1

=fedx-[eydy+-eX2

JoJo。=丁

【考点】高等数学一二重积分一变换积分次序和坐标系

x2X2

(13)设二次型/(%1，%2，%3)=l~2+2a%1%3+4%2%3的负惯性指数为1，

则a的取值范围是

【答案】[—2,2]

【解析】

由配方法

f(x1,x2,x3')

22222

=%/+2ax1%3+ax3—(x2—4x2^3+4x3)+4x3

22

—ax3

222

=(%1+a%3)2-(%2-2X3)+(4-a)x3

负惯性指数为1,故4-。220,解得ae[—2,2]

【考点】高等数学一二次型一二次型的概念与标准形

(14)设总体X的概率密度为

(2x

G痂，e<x<2Q

ff(x；0)=\30z

、0,其他

其中。是未知参数，X],X2，?Xn为来自总体X的简单随机样本，若

E(c£kiX"=62,则c=o

【答案】白

5九

【解析】

E(C£F=IX]2)=cJXiEX/=cnEX2=cnf^^dx=cn^62=

解得c=片

5n

【考点】概率论与数理统计一数理统计的基本概念

三、解答题：15〜23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤。

(15)求极限

f^[t2-t]dt

lim

%->+00i

x2ln7(1+-)

【解析】

【方法1】

止田）一弧—

工t+8遇1陋+3一

=lim尸"（等价无穷小代换）

%1+8X2?-

=limx2（ex—1）—%（洛必达法则）

X->4-oo\/

="m10+=F（变量代换-=0

Lut2X

=limt^0+（洛必达法则）

_1

一2

【方法2】

“T+8予1+9二

=lim（等价无穷小代换）

XT+8X'X

=limx2（ex—1）-%］（洛必达法则）

X-»4-oo\/J

=lim\x2（-++o（^））-x\（泰勒公式）

22y

%T+8XX2!xx/

_1

【考点】高等数学一函数、极限、连续一求函数的极限，常见等价无穷

小，常见函数泰勒公式展开

(16)设平面内区域D={(x,y)114/+/工4,%2o,y之0},计算

rrxsin（ji^Jx2+y2）

JJx+ydXdy

D

【解析】

【方法1］令丫=Tcos3,y=rsinB,

为xsin（1乃）=jJ；rsinnrdr

dxdyde

二屋瀛MdB?；(—rcosnr\l+/；cosnrdr)

=_21cosede

ITJ。cos6+sin0

TT八TT•八

又二r-COSOr-Sing_

=令e=『)

J。cos0+sin9)。cos9+sin0

1r?cos6+sin6?八n

=-12-----------------d3=-

2cos0+sin04

所以为松皿^F)d%dy=_:?B=_|

【方法2】

显然积分区域D关于%,y有轮换对称性，于是

ffD空驾叵d%dy=ffD空嘴亘d%dy

1xsin(jty/x2+y2)ysiniTt4y^}..1

:2[几i-dxdy+ffD—£—dxdy]

」JJDxsin(jijx2+y2)dxdy

WJ展d6J；rsinTirdr

22

1+

=：J02d6?[(—rcosnr\1

3TT3

=-----/n—=-------

n'44

【考点】高等数学一二重积分一利用区域的对称性和函数的奇偶性计

算积分

(17)设函数/(〃)具有连续导数，且z=/(e"cosy)满足

?z?z

cosy------siny—=(4z+excosy)ex

(x・

若/'(0)=o,求f(〃)的表达式。

【解析】

利用复合函数偏导数的计算方法求出两个偏导数，代入所给偏微分方

程，转化为可求解的常微分方程。

因为

?z?z

=f'(excosy)excosy,—f'(excosy)exsiny

?y

所以

?z?z

cosy__siny-

■

=cosyf'(excosy)excosy+sinyf'[excosy}exsiny

=f'(excosy')ex

因此cosy号—siny^=(4z+excosy)e*化为

f'(excosy)ex=(4z+excosy)ex

从而函数f(〃)满足方程

尸(〃)=4/(〃)+〃一阶线性非齐次微分方程

可得方程通解为f(〃)=04〃+*

由f(0)=0,解得C=三

故f(〃)——e，"—-——

JW16416

【考点】高等数学一多元函数微分学一复合函数偏导数，一阶线性非

齐次微分方程求解

(18)求幕级数E迄o(7i+l)(n+3)/的收敛域及和函数

【解析】

【方法1】

因为几何级数士迄。％71=占,且收敛域为％6(-1,1)

又Er=o(九+1)(九+3)xn

OO

W(n+1)(九+2)xn+{(n+1)%"

n=0n=0

xn+1y

2x—x21

+(1-%)2

(1—%)2

3—x

€(—1,1)

(1-x)3x

由塞级数的逐项求导性质知+1）（九+3）%n的收敛域为（一1,1）,

和函数s（%）=7^7，%e（-1,1）

【方法2】

塞级数+1)(71+3)%n的系数an=(n+1)(71+3),又

nT8anTW8(几+1)(几+3)

所以收敛半径R=1

n

当％=1时，Sn=0(n+1)(九+3)x=+l)(n+3)发散；

当％=—1时,Er=o(九+DO1+3)%n=Sn=o(n+1)(九+3)(—l)n发

散；

故收敛域为％e（-1,1）

设S(%)=ENo(九+1)(九+3)%n，%G(-1,1)贝I」

%8800

1S(t)dt=W(九+3)xn+1=W(九+2)xn+1+Wxn+1

°n=0n=0n=0

2x—X2X3x—2x2

(1—X)2+1-%

(l-%)2

3x-2x2'3—%

故和函数S(%)=XG(—1,1)

.(1T)2一(1)3

【考点】高等数学一无穷级数一求事级数的和函数及数项级数的和

(19)设函数f(%),g(%)在区间口力上连续，且/(%)单调增加，0Wg(x)<lo

证明：

(I)0<g(t)dt<x—a,xE[a,b];

(II)/”g(t)dt/(%)dx</(x)g(x)dx.

【解析】

(1)由0工8(%)<1得

得0<J：g(t)dt<J：Idt<x—a,xE[a,b]；

(II)令FQ)=-S^gWdtfMdx

显然F(a)=0,只要证明F(〃)单调增且F(b)>0,

F'Q)=fQ)g(〃)—f(a+fg(t)dt)g(iz)

\Ja/

=g(u)[/(u)-/(a+J：g(t)dt)]

由(I)的结论0WOg(t)dtW%-a知，a工a+。g(t)dt<%即

a<a+fg(t)dt<u

Ja

又/(%)单调增加，则/(虱)之f(a+Sag(t)dt),因此，Fz(u)>0,

F(b)>0.

故严J；g(t)dtfMdx<rf(%)g(%)d%.

JQ

【考点】高等数学一一元函数积分学一与定积分有关的证明题

1-23-4'

(20)设4=01-11,E为三阶单位矩阵

.120-3.

(I)求方程组4%=0的一个基础解系；

(n)求满足43=E的所有矩阵3。

【解析】

(I)对矩阵Z做初等行变换，得

1-23-41-23-41001-

A=01-11—>01-11—>010-2

.120-3..001-3..001-3.

因九—rQ4)=4—3=1,令％4—1求出％3—3,%2=2,x1=—1

故基础解系为J?=(―1,2,3,1尸

(II)考察3个非齐次线性方程组

1roiO-

Ax=0,Ax=1,Ax=0

.0..0..1.

由于这三个方程组的系数矩阵是相同的，所以令彳=(4?E)做初等行变

换

1-23-4100-

A=(A?E)=01-11010

.120-3001.

1-23-4100'

101-11010

.04-31-101.

1-23-4100-

T01-11010

.001-3―1—41.

1-205412-3'

T010-2-1-31

.001-3-1—41.

1001261-

T010-2-1-31

.001-3-1-41.

由此得三个方程组的通解:

(2,—1,—1,0)，+kxT]

T

(6,—3,—4,0)+k2T]

(—1,1,1,OK+5

-2—匕6—k，2-1—卜3-

—1+2kl—3+2k2l+2k

故所求矩阵为B=3，七,12,七为任意常

—1+3kl—4+3k21+3k3

k2上3-

数。

【考点】高等数学一线性方程组一非齐次方程组的求解

1?11'0?01'

1?110?02

（21）证明九阶矩阵与相似

?????777

Ll?11JL0?0n.

【解析】

证明：记

-1?11'-0?0I-

1?110?02

A=,B=

????????

.1711.,0?0n.

因为4是实对称矩阵必与对角矩阵相似

由1花一用=an—#1nt=o,知4的特征值为%o,o?,o（n-1个）。

n?0O-

0?00

故4〜/I=

??7?

,0?00.

又由=（4—九）乃t=0,知B的特征值为九,0,0?,0（九—1个）。

当2=0时，r(0E—B)=r(3)=1,那么九—r(0f—B)=n—1,即齐次

方程组（0E-B）x=0有九-1个线性无关的解，亦即;L=0时，矩阵B有

九-1个线性无关的特征向量，从而矩阵8必有对角矩阵相似，即

n?0O-

0?00

B~A=

7??7

,0700.

从而4和B相似。

【考点】高等数学一特征值与特征向量一相似与相似对角化

(22)设随机变量X的概率密度为

对X进行独立重复的观测，直到第二个大于3的观测值出现时停止，记

丫为观测次数

(I)求丫的概率分布

(H)求

【解析】

(I)令/={对X进行一个观测得到的值大于3}o

显然PQ4)=P[X>3}=f(%)d%=f2~xln2dx=

,38

记事件“发生的概率PQ4)=1=p

y的可能取值应为k=2,3,?,

P[y=k]=盘_1P(1-p)k-2]o=Qk-l)p2(l—p)—?,k=2,3,