考研数学冲刺考场答题的技巧

考研数学冲刺考场答题的技巧

考研数学冲刺考场答题的技巧

A第一：分步得分

考研数学试卷中的解答题是按步骤给分的。在考研试卷中，80%

的题目是考查基础的，所以大部分考生的情况是，题目有思路会做,

但是由于当中计算失误，导致最后的答案是错的。或是会做，但是

缺少必要关键的步骤，也不能拿满分，这就是我们平时遇见的〃会而

不对，对而不全〃的老大难问题。

纠正这一错误的做法是：要求考生在答题时，认真书写解题过程,

注意表达要准确、逻辑要紧密、书写要规范，防止被扣分。

A第二：缺步答题

若是遇到一个很困难的问题，实在是不能完全做出来。一个聪明

的解题策略是，将它们分解成一个个的小问题，先解决问题的一部

分，能解决多少就解决多少，能写多少就写多少，尽量不要空白。

尤其是一些解题思路比较固定的题目，若是重要的步骤写出来后，

虽然结论没有得出，但是分数却可以拿到一半以上，这确实是一个

不错的主意。

A第三：跳步答题

解题时有思路，但是发现做在一半卡壳了。一般是有两种情况，

一是某个知识点或性质忘记了，对于这种情况静下心来捋一下这块

的内容，看看会用到哪个知识点。由于考试时间的限制，〃卡壳处〃

的攻克来不及了，那么可以把前面的写下来，再写出〃证实某步之后,

继续有……〃一直做到底，这就是跳步解答。如果后来中间步骤又想

出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面，〃事实上，某步可证

明或演算如下〃，以保持卷面的工整。

总之大家临场作答时就是秉着这样的态度：会做的不要错，不会

的不要空，会多少写多少，能写多少写多少，不能拿满分就尽量多

得分，不能的太多分也要得点步骤分。

高数定理证明之微分中值定理：

这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定

理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求

会证。

费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。那么它引出的

定理就是我们下面要讨论的罗尔定理。若在微分中值定理这部分推

举一个考频最高的，那罗尔定理当之无愧。该定理的条件和结论想

必各位都比较熟悉。条件有三：“闭区间连续”、“开区间可导”

和“端值相等”，结论是在开区间存在一点（即所谓的中值），使得

函数在该点的导数为0。

前面提过费马引理的条件有两个一一“可导”和“取极值”，

“可导”不难判断是成立的，那么“取极值”呢?似乎不能由条件直

接得到。那么我们看看哪个条件可能和极值产生联系。注意到罗尔

定理的第一个条件是函数在闭区间上连续。我们知道闭区间上的连

续函数有很好的性质，哪条性质和极值有联系呢？不难想到最值定理。

那么最值和极值是什么关系?这个点需要想清楚，因为直接影响

下面推理的走向。结论是：若最值取在区间内部，则最值为极值;若

最值均取在区间端点，则最值不为极值。那么接下来，分两种情况

讨论即可：若最值取在区间内部，此种情况下费马引理条件完全成

立，不难得出结论;若最值均取在区间端点，注意到已知条件第三条

告诉我们端点函数值相等，由此推出函数在整个闭区间上的最大值

和最小值相等，这意味着函数在整个区间的表达式恒为常数，那在

开区间上任取一点都能使结论成立。

拉格朗日定理和柯西定理是用罗尔定理证出来的。掌握这两个定

理的证明有一箭双雕的效果：真题中直接考过拉格朗日定理的证明,

若再考这些原定理，那自然驾轻就熟;此外，这两个的定理的证明过

程中体现出来的基本思路，适用于证其它结论。

以拉格朗日定理的证明为例，既然用罗尔定理证，那我们对比一

下两个定理的结论。罗尔定理的结论等号右侧为零。我们可以考虑

在草稿纸上对拉格朗日定理的结论作变形，变成罗尔定理结论的形

式，移项即可。接下来，要从变形后的式子读出是对哪个函数用罗

尔定理的结果。这就是构造辅助函数的过程一一看等号左侧的式子

是哪个函数求导后，把X换成中值的结果。这个过程有点像犯罪现

场调查：根据这个犯罪现场，反推嫌疑人是谁。当然，构造辅助函

数远比破案要简单，简单的题目直接观察;复杂一些的，可以把中值

换成X,再对得到的函数求不定积分。

高数定理证明之求导公式：

2015年真题考了一个证明题：证明两个函数乘积的导数公式。

几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟悉，而对它怎么来的较为

陌生。实际上，从授课的角度，这种在2015年前从未考过的基本公

式的证明，一般只会在基础阶段讲到。如果这个阶段的考生带着急

功近利的心态只关注结论怎么用，而不关心结论怎么来的，那很可

能从未认真思考过该公式的证明过程，进而在考场上变得很被动。

这里给2017考研学子提个醒：要重视基础阶段的复习，那些真题中

未考过的重要结论的证明，有可能考到，不要放过。

当然，该公式的证明并不难。先考虑f(x)*g(x)在点x0处的导

数。函数在一点的导数自然用导数定义考察，可以按照导数定义写

出一个极限式子。该极限为“0分之0”型，但不能用洛必达法则，

因为分子的导数不好算(乘积的导数公式恰好是要证的，不能用！)。

利用数学上常用的拼凑之法，加一项，减一项。这个“无中生有”

的项要和前后都有联系，便于提公因子。之后分子的四项两两配对,

除以分母后考虑极限，不难得出结果。再由xO的任意性，便得到了

f(x)*g(x)在任意点的导数公式。

高数定理证明之积分中值定理：

该定理条件是定积分的被积函数在积分区间(闭区间)上连续，结

论可以形式地记成该定积分等于把被积函数拎到积分号外面，并把

积分变量x换成中值。如何证明？可能有同学想到用微分中值定理，

理由是微分相关定理的结论中含有中值。可以按照此思路往下分析,

不过更易理解的思路是考虑连续相关定理（介值定理和零点存在定

理），理由更充分些：上述两个连续相关定理的结论中不但含有中值

而且不含导数，而待证的积分中值定理的结论也是含有中值但不含

导数。

若我们选择了用连续相关定理去证，那么到底选择哪个定理呢？

这里有个小的技巧一一看中值是位于闭区间还是开区间。介值定理

和零点存在定理的结论中的中值分别位于闭区间和开区间，而待证

的积分中值定理的结论中的中值位于闭区间。那么何去何从，已经

不言自明了。

若顺利选中了介值定理，那么往下如何推理呢?我们可以对比一

下介值定理和积分中值定理的结论：介值定理的结论的等式一边为

某点处的函数值，而等号另一边为常数A。我们自然想到把积分中

值定理的结论朝以上的形式变形。等式两边同时除以区间长度，就

能达到我们的要求。当然，变形后等号一侧含有积分的式子的长相

还是挺有迷惑性的，要透过现象看本质，看清楚定积分的值是一个

数，进而定积分除以区间长度后仍为一个数。这个数就相当于介值

定理结论中的A。

接下来如何推理，这就考察各位对介值定理的熟悉程度了。该定

理条件有二：1.函数在闭区间连续，2,实数A位于函数在闭区间上

的最大值和最小值之间，结论是该实数能被取到（即A为闭区间上某

点的函数值）。再看若积分中值定理的条件成立否能推出介值定理的

条件成立。函数的连续性不难判断，仅需说明定积分除以区间长度

这个实数位于函数的最大值和最小值之间即可。而要考察一个定积

分的值的范围，不难想到比较定理（或估值定理）。

高数定理证明之微积分基本定理：

该部分包括两个定理：变限积分求导定理和牛顿-莱布尼茨公式。

变限积分求导定理的条件是变上限积分函数的被积函数在闭区间

连续，结论可以形式地理解为变上限积分函数的导数为把积分号扔

掉，并用积分上限替换被积函数的自变量。注意该求导公式对闭区

间成立，而闭区间上的导数要区别对待：对应开区间上每一点的导

数是一类，而区间端点处的导数属单侧导数。花开两朵，各表一枝。

我们先考虑变上限积分函数在开区间上任意点X处的导数。一点的

导数仍用导数定义考虑。至于导数定义这个极限式如何化简，笔者

就不能剥夺读者思考的.权利了。单侧导数类似考虑。

“牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积

分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在

理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的

学科。”这段话精彩地指出了牛顿-莱布尼茨公式在高数中举足轻重

的作用。而多数考生能熟练运用该公式计算定积分。不过，提起该

公式的证明，熟悉的考生并不多。

该公式和变限积分求导定理的公共条件是函数f(x)在闭区间连

续，该公式的另一个条件是F(x)为f(x)在闭区间上的一个原函数，

结论是f(x)在该区间上的定积分等于其原函数在区间端点处的函数

值的差。该公式的证明要用到变限积分求导定理。若该公式的条件

成立，则不难判断变限积分求导定理的条件成立，故变限积分求导

定理的结论成立。

注意到该公式的另一个条件提到了原函数，那么我们把变限积分

求导定理的结论用原函数的语言描述一下，即f(x)对应的变上限积

分函数为f(x)在闭区间上的另一个原函数。根据原函数的概念，我

们知道同一个函数的两个原函数之间只差个常数，所以F(x)等于

f(x)的变上限积分函数加某个常数C。万事俱备，只差写一下。将

该公式右侧的表达式结合推出的等式变形，不难得出结论。

a误区一：“分区复习”

很多同学都倾向于把数学分为三区一一高数、线代、概率(数二

除外)，先把高数复习得滚瓜烂熟了，再着手复习剩下两门(数二一

门)。这样做有几点危害：如果你在一段时间只是看高数，看个两三

遍，确实可以在短时间内有很大的进步，公式也都记住了，题目也

做的可以背出来了，基本上在高数方面所向无敌了。但不要忘记人

的遗忘特性有多么恐怖，等你放下高数书，花很多时间饿补线代、

概率(数二除外)时，辛辛苦苦在你脑中积攒下来的知识又会丢回到

课本中。

建议:

同学们一定在复习数学时，把这三门科目（数二两门）视为一个整

体。一轮复习就是按部就班、踏踏实实地把三门科目（数二两门）按

顺序复习完。我相信到现在这个阶段，大家应该只是在每科目中有

部分章节掌握不到位，那么就需要大家在复习时把理解不清晰的章

节、知识点记录下来或是特别标注，那么再下一轮复习时就可以有

针对性。

随着“大限”将至，同学们在复习时一定要越来越有目的性，不

能再像强化训练一样全面撒网、泛泛掌握了，现在的重心应该是查

漏补缺、强化薄弱部分，获得更明显的进步。

A误区二：只看书不做题

有的同学会看很多辅导书，但依然得不到高分，就是因为没有动

笔计算，没有提高自身的计算能力，但考研并不是考难题，往往是

中等难度甚至是基础题加上较复杂的计算。所以没有强大的计算能

力，是无法在考研数学中获胜。

建议：

同学们在看辅导书时，一定要认认真真做好每道题，即使很难算,

也一定耐下心来算出正确答案。其实，这个过程不仅可以提高自身

的计算能力，甚至还会在做题中发现一些以前没有注意到的知识点

掌握的漏缺，毕竟光看还是会忽略一些细节的，但如果动手算了，

真的有没有理解的知识点，还是会在做题中反映出来的，更加有助

于自身复习的查漏补缺，这正是本阶段所需要达到的目的。

A误区三