（人教版）九年级数学上册举一反三 二次函数全解全析

专题22.1二次函数【八大题型】

【人教版】

♦题型梳理

【题型1识别二次函数】........................................................................1

【题型2由二次函数的定义求参数的值】.........................................................3

【题型3由二次函数的定义求参数的取值范围】...................................................4

【题型4二次函数的一般形式】.................................................................6

【题型5判断二次函数的关系式】...............................................................7

【题型6列二次函数关系式（销售问题）】......................................................10

【题型7列二次函数关系式（几何图形问题）】..................................................11

【题型8列二次函数关系式（增长率、循环问题）】..............................................14

►举一反三

【知识点1二次函数的概念】

一般地，形如产ax?+bx+c（a、b、c是常数，a#0）的函数，叫做二次函数.其中x、y是变量，a、b、

c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a/））也叫做二

次函数的一般形式.

【题型1识别二次函数】

【例1】（2023春•广西河池•九年级统考期末）下列函数中，是二次函数的是（）

A.y=3x—1B.y=x3+2C.y=（x—2）2-x2D.y=x（4—x）

【答案】D

【分析】根据二次函数的定义对各选项进行逐一分析即可，注意C、D两项化简完后再判断.

【详解】解：A、y=3x-l是一次函数，不符合题意；

B、y=/+2中，犬的次数是3,不是二次函数，不符合题意；

C、y=（%-2/一M可化为y=_4x+4是一次函数，不符合题意；

D、y=x（4-x）可化为y=4%-合，是二次函数，符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查的是二次函数的定义，一般地，形如y=a/+bx+c（a、b、c是常数，a手0）的函数,

叫做二次函数，熟练掌握其定义是解决此题的关键.

【变式（2023.内蒙古锡林郭勒盟•校考模拟预测）下列函数中，不是二次函数的是（）

A.y-x(x-1)B.y=V2x2-lC.y=-x2D.y=(x+5)2-x2

【答案】D

【分析】二次函数要求化简后有二次项，根据二次函数的定义回答即可.

【详解】A、函数化简为y=/一，是二次函数，本选项不符合题意；

B、是二次函数，本选项不符合题意；

C、是二次函数，本选项不符合题意；

D、函数化简为y=10》+25,没有二次项，不是二次函数，本选项符合题意.

故选D.

【点睛】本题考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键.

【变式1-2](2023春・浙江嘉兴•九年级校考期中)有下列函数：

®y=5x-4；@y=|x2—6%；@y=2x3-8x2+3；®y=1x2-1；⑤y=2—：-2；

其中属于二次函数的是(填序号).

【答案】②④

【分析】根据二次函数的定义判断即可.

【详解】解：②)乏/一6元④产;x2-1符合二次函数的定义，属于二次函数；

3o

①尸5%-4是一次函数，不属于二次函数；

③)=2K3-8*2+3自变量的最高次数是3,不属于二次函数；

⑤尸■一3一2的右边不是整式，不属于二次函数.

综上所述，其中属于二次函数的是②④.

故答案为：②④.

【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若

是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为。这个

关键条件.

【变式1-3](2023春・广东梅州•九年级校考开学考试)下列函数中，是二次函数的有()

©>'=1->/2x2,②y=爰，③y=3x(1—3%),®y=(1-2x)(1+2%)

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据二次函数的定义；形如y=a/+bx+c(a,b,c为常数且a于0),逐一判断即可.

【详解】解：①y=l是二次函数；

②），=爰，不符合二次函数的定义，不是二次函数：

③『=3x（1-3%）,整理后是二次函数；

@>'=（1-2x）（1+2%）,整理后是二次函数；

故选：C.

【点睛】本题考杳了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键.

【题型2由二次函数的定义求参数的值】

【例2】（2023春・河南洛阳•九年级统考期末）已知函数丫=（血+1）/向+1+4工一5是关于％的二次函数，

则一次函数y=mx一7九的图像不经过第象限.

【答案】二

【分析】先根据二次函数的定义得到|m|+1=2,m+1H0,解得m=1,然后根据一次函数的性质进行判

断.

【详解】•••函数、=（根+1）-刑+1+4%—5是关于工的二次函数，

|m|+1=2且m+1*0,

解得:m=1,

・••一次函数y=mx—m的图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限，

故答案为：二

【点睛】本题考查了二次函数的定义以及一次函数的性质，求得m=l是解题的关键.

【变式2-1]（2023春•吉林长春•九年级校联考期末）若函数y=（m-2）/+5x+6是二次函数，则有（）

A.m芋0B.C.xHOD.

【答案】B

【分析】直接根据二次函数的定义解答即可.

【详解】解：由题意得，血一2。0,

解得m工2.

故选:B.

【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y=a/+b%+c（a、氏c是常数，aHO）的

函数，叫做二次函数是解题的关键.

【变式2-2]（2023春♦北京西城•九年级北京十四中校考期中）已知函数y=血％而-2血+2+7九一2,若它是二

次函数，则函数解析式为.

【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握和运用二次函数的定义是解决本题的关键.

【变式3-1](2023.浙江•九年级假期作业)若函数、=(/71+1)%2+2%+1是二次函数，则常数机的取值范

围是()

A.m=-1B.m>—1C.m<-1D.znH—1

【答案】D

【分析】根据二次函数的定义即可得到答案.

【详解】解：•.•函数y=(6+1)/+2工+1是二次函数，

二m+1,0,

二mf一1,

故选D.

【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的二次项系数不等于0是解题关键.

【变式3-2](2023•全国•九年级假期作业)关于人的函数y十1是二次函数的彖件是()

A.QHba=bC.b=0D.a=0

【答案】A

【分析】根据二次函数的定义，直接求解即可得到答案；

【详解】解：・.3=(。一匕)/+1是二次函数，

G—b不。,

解得：a于b,

故选A.

【点睛】本题考查二次函数的条件，二次函数二次项系数不为0.

【变式3-3](2023春・河北承德•九年级阶段练习)若函数y=-2(%-1)2+仅-1)/为二次函数，则a的取

值范围为()

A.B.QH1C.QW2D.Q03

【答案】D

【详解】试题分析：由原函数解析式得到：y=-2(%-1)2+(a-1)/=(Q-3)/+4%-2.=函数、=

一2,-1)2+(a-1)M为二次函数，Aa-30,解得Q03.故选D.

考点：二次函数的定义.

【题型4二次函数的一般形式】

【例4】(2023•北京•九年级统考期中)已知关于x的函数y=(IT.-1)xm+(3m+2)x+1是二次函数，则此

解析式的一次项系数是()

A.-1B.8C.-2D.1

【答案】B

【分析】根据二次函数的一般形式为y=Q/+bx+c(a/O),其中二次项系数存0,且二次项指数为2求

解即可.

【详解】•.，=(m-1)%狙+(3m+2)%+1是二次函数，-100,m=2,即m=2,m/1,・••此解析

式的一次项系数是3m+2=3x2+2=8,故本题正确答案为B选项.

【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式为y=Q/+bx+c(QW0),其中二次项系

数在0,且二次项指数为2是解决本题的关键.

【变式4-1](2023春•新疆乌鲁木齐•九年级校考期末)把y=(3x-2)(x+3)化成一般形式后，一次项系数与常

数项的和为.

【答案】1

【分析】先将其化为一般式，即可求出一次项系数和常数项，从而求出结论.

【详解】解：y=(3x-2)(x+3)=3x2+7x-6

•••一次项系数为7,常数项为-6

•••一次项系数与常数项的和为7+(-6)=1

故答案为：I.

【点睛】此题考查的是二次函数的一般式，掌握二次函数的一般形式是解题关键.

【变式4-2](2023・上海・九年级假期作业)下列函数中(%,I为自变量)，哪些是二次函数？如果是二次函

数，请指出二次项、一次项系数及常数项.

(l)y=-1+3x2；

(2)y=(x-3)(4-2x)+2x2；

(3)5=V5t2+)+3；

(4)y=x2-3近-6.

【答案】(I)是，二次项是3/、一次项系数是0、常数项是一点

(2)不是；

(3)是，二次项是通产、一次项系数是1、常数项是3；

(4)不是

【分析】根据二次函数的概念求解即可.

【详解】（1）是二次函数，二次项是3/、一次项系数是0、常数项是一去

（2）y=（%-3）（4-2x）+2x2=-2x2+lOx-12+2x2=lOx-12,不含二次项，故不是二次函数；

（3）是二次函数，二次项是6《、一次项系数是1、常数项是3；

（4）y=x2-3y/x-6中一34不是整式，故不是二次函数.

【点睛】本题考杳二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念，解题的关键是掌握以上知识

点.形如y=a/+b%+c（。工0）的函数叫做二次函数，其中Q/叫做二次项、b叫做一次项系数、c是常

数项.

【变式4-3]（2023春・全国•九年级专题练习）如果二次函数y=%/+打工+R。0,%、与、R是常

数）与y=+52工+C2（。2丰。，。2、与、C2是常数）满足雹与。2互为相反数，仇与匕2相等，J与互

为倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函数请直接写出函数丫=-/+3%-2的“亚旋转函数”为

【答案】y=x2+3x-1

【详解】解：V-1的相反数是1,一2的倒数是一点・••函数y=-/+3x-2的“亚旋转函数"为y=/+3x-

g.故答案为y=x2+3x-T.

【知识点2列二次函数关系式】

（1）理解题意：找出实际问题中的已知量和变量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；

（2）分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；

⑶列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成月自变量表示

的函数的形式.

【题型5判断二次函数的关系式】

【例5】（2023春・北京西城・九年级北京市第三十五中学校考开学考试）如图，在△/18C中，ZC=90°,AC=

5,DC=10,动点M、N分别从A、。两点同时出发，点股从点A开始沿边AC向点。以每秒1个单位长

的速度移动，点N从点。开始沿C8向点8以每秒2个单位长的速度移动.设运动的时间为3点M、C之

间的距离为y,△MCN的面积为5,则），与3S与/满足的函数关系分别是（）

A

M

BN

A.正比例函数关系，一次函数关系B.正比例函数关系，二次函数关系

C.•次函数关系，正比例函数关系D.一次函数关系，二次函数关系

【答案】D

【分析】求出y与f,S与l满足的函数关系式，再根据函数的类型进行判断即可.

【详解】解：由题意得，AM=t,CN=2t,

：.MC=AC-AM=5-t,

即y=5-r,

:・SWMC・CN=5P

因此），是/的一次函数，S是，的二次函数，

故选:D.

【点睛】本题考查一次函数、二次函数，理解一次函数、二次函数的意义是正确解答的前提，求出y与t,S

与t的函数关系式是正确判断的关键.

【变式5-1］（2023春•九年级课时练习）下列关系中，是二次函数关系的是（）

A.当距离S一定时，汽车行驶的时间I与速度v之间的关系；

B.在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系；

C.圆的面积S与圆的半径r之间的关系；

D.正方形的周长C与边长a之间的关系；

【答案】C

［详解】A.路程:速度x时间，所以当路程一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间是一次函数的关系；

B.弹簧的长度y是随着物体的质量x增大而增长的，是一次函数关系；

C.圆的面积=兀亡所以圆的面积S与圆的半径r之间是二次函数关系；

D.正方形的周长C二边长ax4,故C与边长a之间是一次函数关系；

故选C.

点睛：本题主要考查的是二次函数的定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键.

【变式5-2］（2023春・湖北宜昌•九年级校联考期中）下列选项描述的y与x之间的关系是二次函数的是（）

A.正方体的体积），与棱长x之间的关系

B.某商品在6月的售价为30元，7月和8月连续两次降价销售，平均每月降价的百分率为「该商品8月

的售价），与x之间的关系

C.距离一定时，汽车匀速行驶的时间y与速度x之间的关系

D.等腰三角形的顶角度数），与底角度数x之间的关系

【答案】B

【分析】根据题意分别列出各项中的），与X之间的关系，进行判断即可；

【详解】解：A、正方体的体积），与棱长x之间的关系为：y=x3,y与工不是二次函数关系，不符合题意；

B、该商品8月的售价），与x之间的关系为：y=30（l-x）2,y与％是二次函数关系；符合题意；

C、距离一定时，汽车匀速行驶的时间y与速度x之间成反比例关系，不符合题意；

D、等腰三角形的顶角度数），与底角度数k之间成一次函数关系，不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数的表达形式；熟练根据题意列出相对应的函数表达式是解题的关键.

【变式5-3]（2023春・北京昌平♦九年级校考期中）如图，线段4?=5,动点P以每秒1个单位长度的速度

从点A出发，沿线段48运动至点&以点A为圆心，线段AP长为半径作圆.设点户的运动时间为，，点P,

8之间的距面为y,04的面积为5,则，与f,S与，满足的函数关系分别是,

.（填“正比例函数”或“一次函数''或"二次函数”）

【分析】根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型.

【详解】解：根据题意得：y=5-3因此属于一次函数关系，

S=nt2,属于二次函数关系.

故答案为：①一次函数；②二次函数.

【点睛】本题考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键.

【题型6列二次函数关系式（销售问题）】

【例6】（2023春•九年级课时练习）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价.若

每件商品售为工元，则可■卖出（350-lOx）件商品，那么商品所赚钱），元与售价x元的函数关系为（）

A.y=-10x2—560x+7350B.y=-10x2+560%—7350

C.y=-10x24350kD.y=-10x2I350x—7350

【答案】B

【分析】商品所赚钱;每件的利润x卖出件数，把相关数值代入即可求解.

【详解】解：每件的利润为（心21）,

工尸（片21）（350-1Ox）

=-10A2+560X-7350.

故选B.

【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解决本题H勺关键是找到总利润的等量关系，注意先求

出每件商品的利润.

【变式6-1］（2023春・全国•九年级专题练习）王大爷生产经销一种农副产品，其成本价为20元每千克.市

场调查发现,该产品每天的销售量w（千克）与俏售价”（元/千克）有如下关系:w=-2%+60.若这种产品每天的

销售利润为y（元）.求y与》之间的函数关系式.

【答案】y=-2x2+100x-1200

【分析】利用单价利润X总销售量二总利润.

【详解】y=（X-20）w=（x-20）（-2x+60）=-2x2+100%-1200.

y=-2x2+100x-1200.

【变式6-2］（2023・浙江•九年级假期作业）商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期

可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件.每件商品的售价上涨X元（％元为

正整数），每星期销售的利润为y元，则％与y的函数关系式为（）

A.y=10（200-10x）B.y=200（10+%）

C.y=（50+x）（200-10%）D.y=（10+x）（200-lOx）

【答案】D

【分析】先求出销售量与x的关系，再根据利润=（售价-进价）X销售量列出y关于x的关系即可得到答案.

【详解】解：设每件商品的售价上涨x元，则销售量为（200-10切件，

Ay=（60+x-50）（200-10x）=（x+10）（200-10%）,

故选D.

【点睛】本题主要考杳了列函数关系式，正确理解题意是解题的关键.

【变式6-3］（2023•全国•九年级专题练习）某农户要改造部分农田种植蔬菜，经调查，平均每亩改造费用是

900元，添加辅助设备费用（元）与改造面积（亩）的平方成正比，比例系数为18,每亩种植蔬菜还需种

子、人工费用600元，若每亩蔬菜年销售额为7000元，设改造农田x亩，改造当年收益为），元，则），与x

之间的数量关系可列式为()

A.y=7000%-(900x+18x+600x)B.y=7000%-(90Ox+18x2+600x)

C.y=7000-(900x+18/+600x)D.y=7000%-(900%+18/+600)

【答案】B

【分析】设改造农田x亩，根据题意可求出改造的x亩农田的总成本和总销售额，再根据收益;总销售额-总

成本，即可列出方程.

【详解】设改造农田X亩，则总成本为900%+18/+600，总销售额为7000%,

，可列方程为y=7000x-(900%+18x24-600%).

故选B.

【点睛】本题考查二次函数的实际应用.理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键.

【题型7列二次函数关系式(几何图形问题)】

【例7】(2023春・山东青岛•九年级统考期末)如下图所示，在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶

一条金色纸边，制成一幅矩形挂面，设整个挂画总面积为yen?,金色纸边的宽为%cm,则)，与x之间的函数

关系式是.

［答案］y=4x2+260%+4000

【分析】由于整个挂画为长方形，用x分别表示新的长方形的长用宽，然后根据长方形的面积公式即可确定

函数关系式.

【详解】解：由题意可得：y=(80+2%)(50+2%)

=4%2十260X+4000.

故答案为：y=4x2+260%+4000.

【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是根据题意，找到所求晟的等最关系，

此题主要利用了长方形的面积公式解题.

【变式7-1】(2023春・全国.九年级统考期末)如图，等腰梯形的周长为60,底角为30。，腰长为x,面积为

y,试写出y与x的函数表达式.

0°30'

B

【答案】s=-，2+15X（0<X<60）

【分析】作AE_LBC,在RtZkABE中，求出AEgAB^x,利用梯形的周氏可得出AD+BC的值，代入梯形

面积公式即可得出y与x的函数表达式.

【详解】作AE_LBC,

/0。：30、

BEc

在RSABE中,ZB=3O°,

则AE^AB与，

丁四边形ABCD是等腰梯形，

/.AD+BC=60-AB-CD=60-2x,

・,3（AD+BC）xAE=1（60-2x）x沁沁15x（0<x<60）.

【点睛】本题考查了根据实际问题抽象二次函数关系式的知识，掌握梯形的面积公式及等腰梯形的性质是解

答本题的关键.

【变式7-2］（2023春・浙江•九年级统考期中）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）

的空地上修建一个矩形绿化带ABCD,绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）.若设绿

化带的BC边长为xm,绿化带的面积为yn】2.则y与x之间的函数关系式是自变量x的取值范围是二

【答案】y=_12+20%,o<x<25

【分析】根据矩形的面积公式列出关于二次函数解析式；根据墙长、x、y所表示的实际意义来确定x的取值

范围.

【详解】由题意得:

y=x•殍=-1X2+20X,自变量x的取值范围是0VX525.

故答案是：y=4x2+20x,0<x<25

【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意建立二次函数碟型是解题的关键.

【变式7-3]（2023春•九年级课时练习）图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这

样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，则第〃个叠放的图形中，小正方体木块总数，〃

与〃的解析式是.

【分析】图（1）中只有一层，有（4x0+1）一个正方形，图（2）中有两层，在图（1）的基础上增加了一

层，第二层有（4x1+1）个.图（3）中有三层，在图（2）的基础长增加了一层，第三层有（4x2+1）,

依此类推出第〃层正方形的个数，即可推出当有〃层时总的正方形个数.

【详解】解：经分析，可知：第一层的正方形个数为（4x0+1）,

第二层的正方形个数为（4x1+1）,

第三层的正方形个数为（4x2+1）,

第〃层的个数为：[4x(〃-1)+1],

第〃个叠放的图形中，小正方体木块总数，〃为：

1+(4x1+1)+(4x2+1)+...+[4x(〃-2)+l]+[4x(〃-1)+1]

=1+4x14-1+4x2+1+...4-4X(〃-2)+1+4x(〃-1)4-1

="+4(1+2+3+…+11-2+n-I)

=zj+4x(l±n-lXn-l)

2

=71+2〃(72-1)

=2tr-n.

0P；m=2n2-n.

故答案为：〃-2〃2-〃

【点睛】本题解题关键是根据图形的变换总结规律，由图形变换得规律：每次都比上•次增加•层，增加第

〃层时小正方形共增加了4（〃-1）+1个，将〃层的小正方形个数相加即可得到总的小正方形个数.

【题型8