平面向量数乘运算的坐标表示课件高一下学期数学人教A版2

6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示第六章

平面向量及其6.3平面向量基本定理及坐标表示整体感知[学习目标]

1．掌握平面向量数乘运算的坐标表示．2．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．3．能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．[讨论交流]

预习教材P31－P33的内容，思考以下问题：问题1．两向量共线的充要条件是什么？问题2．如何利用向量的坐标表示两个向量共线？[自我感知]经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1平面向量数乘运算的坐标表示探究问题1当a＝(x，y)时，2a如何表示？[提示]

法一：2a＝a＋a＝(x，y)＋(x，y)＝(2x，2y)．法二：a＝xi＋yj，∴2a＝2xi＋2yj，即2a＝(2x，2y)．[新知生成]已知a＝(x，y)，则λa＝_________，这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数____________________．(λx，λy)乘原来向量的相应坐标【链接·教材例题】例6已知a＝(2，1)，b＝(－3，4)，求3a＋4b的坐标．[解]

3a＋4b＝3(2，1)＋4(－3，4)＝(6，3)＋(－12，16)＝(－6，19)．4

反思领悟

平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的坐标运算进行计算．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性运算可完全类比数的运算进行．

探究2平面向量共线的坐标表示及其应用探究问题2已知a，b两向量，则两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个向量共线？[提示]

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，由a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，则有(x1，y1)＝λ(x2，y2)，即消去λ，得x1y2－x2y1＝0．[新知生成]设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0．向量a，b(b≠0)共线的充要条件是_________________．x1y2－x2y1＝0【链接·教材例题】例7已知a＝(4，2)，b＝(6，y)，且a∥b，求y．[解]

因为a∥b，所以4y－2×6＝0．解得y＝3．4例8已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判断A，B，C三点之间的位置关系．[解]

在平面直角坐标系中作出A，B，C三点(图6.3-15)．观察图形，我们猜想A，B，C三点共线．下面来证明．

反思领悟

三点共线的实质与证明步骤(1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个非零向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成，①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．[学以致用]

2．已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？[解]法一：(向量共线定理法)ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．

4【链接·教材例题】例9设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)．(1)当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；(2)当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．

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4反思领悟

处理此类分点问题的关键是建立等量关系，然后借助向量的坐标运算求解，当遇到选择、填空题也可以直接套用公式求解．

243题号1应用迁移

√B

[利用平面向量共线的充要条件可知，只有B满足题意．]23题号142．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝(

)A．(－23，－12) B．(23，12)C．(7，0) D．(－7，0)√A

[因为a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，且c满足3a－2b＋c＝0，所以c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)．]23题号41

√243题号14．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________．

1．知识链：(1)平面向量数乘运算的坐标表示．(2)两个向量共线的坐标表示．(3)有向线段的定比分点坐标公式及应用．2．方法链：转化与化归、分类讨论法．3．警示牌：注意不要记错两个向量共线的坐标表示的公式．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．若a＝(