2025北京师达中学九年级3月月考数学（教师版）

第1页/共1页2025北京师达中学初三3月月考数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.据国家电影局统计：截至2月5日9时，2025年春节档（1月28日至2月4日）电影票房95.10亿元，观影人次为1.87亿．《哪吒之魔童闹海》实时票房超49.65亿，将4965000000用科学记数法表示应为（）A. B. C. D.2.下列图形中，不是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.若，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.4.如图，在中，弦，相交于点，若，则的大小为（）A. B. C. D.5.不透明的袋子中装有两个红球和一个绿球，除颜色外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到红球的概率是（）A. B. C. D.6.为丰富全县职工文体生活，增强各单位凝聚力、向心力，进一步推动全县全民健身运动的开展，由上蔡县总工会主办的县直机关职工篮球赛，在蔡明园公园开赛，规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛场．设参加比赛的球队有支，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A. B.C. D.7.如图，抛物线与x轴交于点，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为．其中正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.48.如图，等边三角形和正方形的边长均为a，点B，C，D，E在同一直线上，点C与点D重合．△ABC以每秒1个单位长度的速度沿BE向右匀速运动．当点C与点E重合时停止运动．设△ABC的运动时间为t秒，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为S，则下列图象中，能表示S与t的函数关系的图象大致是A. B. C. D.二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是________．10.分解因式：__________．11.在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线交于点和点B，则点B的坐标为__________．12.如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是______米．13.如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上，则___________．14.某扇形的弧长为5πcm，圆心角为150°，则此扇形的面积为_____．15.如图，在矩形中，点在上，于点，于点．若，，，则的长为________．16.如图，以G(0，1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于F，当点E在⊙O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为________．三、解答题（本题共68分，第17−20题每小题5分，第21题每小题6分，第22−23题每小题5分，第24−26题每小题6分，第27−28题每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17.计算：．18.解不等式组：19.已知关于x的方程（1）求证：方程总有实数根；（2）若方程有一个正实数根且，求m的值．20.如图，在中，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点．（1）求证：四边形是矩形；（2）连接，若，，求的长．21.无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积．22.在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点．（1）求，的值；（2）点在反比例函数的图象上，且点的横坐标为1．若在直线上存在一点（点不与点重合），使得，结合图象直接写出点的横坐标的取值范围．23.某校初三年级两个班要举行韵律操比赛．两个班各选择8名选手，统计了他们的身高（单位：cm），数据整理如下：a．1班1681711721741741761771792班168170171174176176178183b．每班8名选手身高的平均数、中位数、众数如下：班级平均数中位数众数1班173.8751741742班174.5mn根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m，n的值；（2）如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高比较整齐．据此推断：在1班和2班的选手中，身高比较整齐的是______班（填“1”或“2”）；（3）1班的6位首发选手的身高分别为171，172，174，174，176，177．如果2班已经选出5位首发选手，身高分别为171，174，176，176，178，要使得2班6位首发选手的平均身高不低于1班6位首发选手的平均身高，且方差尽可能小，则第六位选手的身高是______cm．24.如图，中，，点在上，以为直径的与相切于点，与相交于点，连接，．（1）求证：；（2）若，，求的半径．25.某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．下面是小红的探究过程，请补充完整：（1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表．d/米00.611.82.433.64h/米0.881.902.382.862.802.381.600.88在d和h这两个变量中，________是自变量，________是这个变量的函数；（2）在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合表格数据和函数图象，解决问题：①桥墩露出水面的高度AE为_______米；②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为_______米．（精确到0.1米）26.在平面直角坐标系中，已知抛物线．（1）求该抛物线的对称轴；（2）已知点，在抛物线上．对于，都有，求的取值范围．27.如图，在中，，，为的中点，是线段上的动点（不与点，重合）．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，过点作的平行线交的延长线于点．（1）求证：（2）若为线段的中点，连接，用等式表示线段与之间的数量关系并证明．28.如图1，平面中的线段和直线外一点P，对于P，A，B三点确定的圆，如果所对的弧为优弧，我们就称点P为线段的“优关联点”．（1）如图2，已知点，．①在点，，中，是线段的“优关联点”的是；②如果直线上存在线段的“优关联点”，直接写出b的取值范围．（2）如图3，已知点，，，，，如果在边上存在线段的“优关联点”，直接写出a的取值范围．

参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.【答案】C【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值大于1的数，先确定a，n，再写成的形式，其中，n为正整数．【详解】根据题意，得．故选：C．2.【答案】D【分析】本题考查中心对称图形，根据中心对称图形的定义，进行判断即可．确定中心对称图形的关键时找到对称中心．【详解】解：A、是中心对称图形，不符合题意；B、是中心对称图形，不符合题意；C、是中心对称图形，不符合题意；D、不是中心对称图形，符合题意；故选D．3.【答案】A【分析】本题考查的是不等式的性质．根据不等式的性质解答即可．【详解】解：，，故选：A．4.【答案】A【分析】本题考查了圆周角定理及三角形的外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据三角形的外角的性质可得，求得，再根据同弧所对的圆周角相等，即可得到答案．【详解】解：，，，，，故选：A．5.【答案】C【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有4种，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有4种，∴两次都摸到红球的概率为，故选：C．6.【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设参加比赛的球队有支，则每支球队比赛场，再根据两个球队之间仅进行一场比赛，可列方程．【详解】解：设参加比赛的球队有支，根据题意得：，故选：．7.【答案】C【分析】根据函数图象可得出a，b，c的符号即可判断①，当时，即可判断②；根据对称轴为，可判断③；，数形结合即可判断④．【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，∴，∴，故①正确．∵当时，，∴，故②错误．∵抛物线与x轴交于两点，其中，∴，∴，当时，，当时，，，，∴，∴，故③正确；设，，如图：由图得，时，，故④正确．综上，正确的有①③④，共3个，故选：C．8.【答案】C【分析】分两种情况利用三角形的面积公式可以表示0t<2时重叠的面积，与当2t6时的重叠面积.【详解】∵△ABC是边长为a的等边三角形，∴△ABC的高为a·sin60°=a，当点A沿BE运动到GD边上时，运动了，因为以每秒1个单位长度的速度运动，∴t==，故可分两种情况：①当0t<时，S=·t·t·tan60°=t²=t²，为开口向上的二次函数；②当t时，S=S△ABC-（）（）tan60°=·a·a-a²+at-t²=-t²+at-a²，为开口向下的二次函数；则可判断C正确.二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.【答案】【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键．根据二次根式的意义可得，求解即可．【详解】解：根据题意，得，解得．故答案为：．10.【答案】【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．【详解】解：2x2-12x+18，=2(x2-6x+9)，=2(x-3)2．故答案为：2(x-3)2．11.【答案】【分析】根据双曲线的中心对称性即可求得点的坐标．【详解】解：直线与双曲线交于点和点，两点关于原点对称，，故答案为：．12.【答案】2【分析】由题意知，得出，根据求出的值．【详解】解：由题意知在和中解得故答案为：．13.【答案】【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键；根据旋转的性质得，，然后根据等腰三角形的性质得，即可求出答案．【详解】解：将绕点A顺时针旋转得到，，，，，．故答案为：．14.【答案】15πcm2．【分析】首先设此扇形的半径是R，根据扇形的弧长为5πcm，圆心角为150°，求出扇形的半径是多少；然后根据S扇形=lR（其中l为扇形的弧长），求出此扇形的面积为多少即可．【详解】设此扇形的半径是R，则×2πR=5π，解得：R=6，∴此扇形的面积为：lR=×5π×6=15π（cm2）．故答案为15πcm2．15.【答案】【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，正确运用三角函数是解题的关键．易得，则，那么，即可求解，利用同角的余角相等得到，则，即可求解，最后进行线段和差计算．【详解】解：∵，∴，∵四边形为矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴故答案为：．16.【答案】【分析】作于，连接．因为，推出点在以为直径的上推出当点在的延长线上时，的长最小，最小值，求出、即可解决问题．【详解】解：作于，连接．，，在中，，，，，，，，，，，，，，点在以为直径的上，当点在的延长线上时，的长最小，最小值．故答案为．【点评】本题考查垂径定理、直角三角形30度角的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．三、解答题（本题共68分，第17−20题每小题5分，第21题每小题6分，第22−23题每小题5分，第24−26题每小题6分，第27−28题每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17.【答案】【分析】本题主要考查了实数的混合运算，涉及二次根式的混合运算，特殊角锐角三角函数值，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先化简二次根式，绝对值，代入特殊角锐角三角函数值，计算负整数幂，再计算乘法，最后计算加减即可求解．【详解】解：原式．18.【答案】【分析】本题考查了解一元一次不等式组：先分别解两个不等式，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集．先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可．【详解】解：，由①得：，由②得：，∴原不等式组的解集为：．19.【答案】（1）见解析（2）【分析】本题考查了解一元二次方程，根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．（1）根据根的判别式先求出“”的值，再判断即可；（2）根据根与系数的关系得出由得求出，从而得出，再根据列方程求解即可．【小问1详解】证明：，所以，方程总有实数根；【小问2详解】解：由题意得，又∵，∴∴，∴又，∴，整理得，，解得，，，当时，∴不符合题意；当时，∴．20.【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由证明其为矩形即可；（2）由矩形性质得到，，解求出，则，最后在中运用勾股定理求解．【小问1详解】证明：四边形是平行四边形，，，四边形是平行四边形，，，四边形是矩形；【小问2详解】解：如图，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴在中，，∴．21.【答案】使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩．【分析】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，根据等量关系列出分式方程即可求解【详解】解：设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，则使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是亩．由题意，得．解得．经检验，是原方程的解，且符合题意．答：使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩．22.【答案】（1），（2）且【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象与性质，解决本题的关键就是利用两点间距离公式求出相等的时候的临界值，然后进步确定的取值范围．（1）把代入到反比例函数关系式中求出m，得到点坐标，把点坐标代入到中求出b的值即可；（2）以为圆心，以的长为半径画弧，与l交于点，求出的横坐标即可，注意：点P不与点A重合．【小问1详解】解：∵反比例函数图象经过点∴∴，∵直线经过点∴，；【小问2详解】解：由（1）可得直线表达式为：∵点B在反比例函数的图象上，且点B的横坐标为1，∴，∴点B的坐标为：，由（1）知：，∴，以为圆心，以的长为半径画弧，与l交于点，如图：设，由题意可知：，当时，即解得：，即：的横坐标为1，的横坐标为9，∵满足的是，∴，∵点P不与点A重合，∴，综上所述：P的横坐标的取值范围：且．23.【答案】（1）175、176．（2）1（3）170【分析】（1）根据中位数和众数概念，即可作答；（2）根据方差的概念，即可作答；（3）先求出1班6位首发选手的平均身高，再求出2班第6位首发选手的身高取值范围；接着根据题意，从方差的概念入手，确定第六位选手的身高．【小问1详解】2班数据从小到大排列为168、170、171、174、176、176、178、183从中可以看出一共八个数，第四个数据为174、第五个数据为176，所以这组数据的中位数为：，故；其中176出现的次数最多，所以这组数的众数为176，故；故答案为：175、176．【小问2详解】根据方差的定义可以知道，方差越大，一组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小，反之亦然．1班的身高分布于，2班的身高分布于，从中可以看出，1班的数据较2班的数据波动较小，更加稳定，所以1班的选手身高比较整齐，故答案为：1．【小问3详解】（厘米）设2班第六位选手的身高为厘米，则，，据此，第六位可选的人员身高为170、183，若为170时，2班的身高数据分布于，若为183时，2班的身高数据分布于，从中可以看出当身高为170时的数据波动更小，更加稳定，所以第六位选手的身高应该是170厘米，故答案为：170．24.【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）连接，如图，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，推出，再证明，得到，即，即可得到结论；（2）设的半径为，利用正弦的定义求出，再证明，利用相似比得到，然后解方程即可．【小问1详解】证明：连接，如图，为切线，，，为直径，，，，∵，∴，；，∴，，∵，∴，∴，即，∴；【小问2详解】解：设的半径为，在中，，，，，，，，，即，解得，即的半径为．25.【答案】（1）d，h（2）见解析（3）①0.88；②则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米．【分析】（1）根据函数的定义即可解答；（2）描点，连线，画出图象即可；（3）①观察图象即可得出结论；②求出抛物线的解析式，令h=2解答d的值即可得答案．【小问1详解】解：根据函数的定义，我们可以确定，在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数；故答案为：d，h；【小问2详解】解：描点，连线，画出图象如图：；【小问3详解】解：①观察图象，桥墩露出水面的高度AE为0.88米；故答案为：0.88；②设根据图象设二次函数的解析式为h=ad2+bd+0.88，把(1，2.38)，(3，2.38)代入得：，解得：，∴二次函数的解析式为h=-0.5d2+2d+0.88，令h=2得：-0.5d2+2d+0.88=2，解得d3.3或d0.7，

∴则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米．26.【答案】（1）（2）或【分析】本题考查的是二次函数的性质，求解二次函数的对称轴；（1）直接利用对称轴公式求解对称轴即可；（2）设点关于对称轴的对称点为，可得，再分与分析求解即可.【小问1详解】解：抛物线的对称轴为：．【小问2详解】解：点，在抛物线上．设点关于对称轴的对称点为，则．∴．

∴．①若，则当时，y随x