2025北京九中高一（下）开学考数学（教师版）

第1页/共1页2025北京九中高一（下）开学考数学（考试时间90分钟满分100分）一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1.已知集合，则的子集个数为（）A.4 B.8 C.16 D.182.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，3.下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是（）A. B. C. D.4.一个大箱子内放有5本科学杂志和7本文学杂志，小张先从箱内随机抽取1本（不放回），小李再从箱内随机抽取1本，已知小张抽取的是文学杂志，则小李抽取的是科学杂志的概率为（）A. B. C. D.5.设，，，则、、的大小关系是（）A. B. C. D.6.某地区老年艺术团由相声队、歌咏队以及诗歌朗诵队构成，其中相声队有30人，歌咏队有45人，现按分层抽样的方式从中抽取12人参加文艺汇演，其中诗歌朗诵队被抽到6人，则该地区老年艺术团的总人数为（）A.90 B.120 C.140 D.1507.函数的图象大致是（）A.B.C.D.8.某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（参考数据：，）A.300年 B.255年 C.175年 D.125年9.已知函数是R上的奇函数，且是上的严格减函数，若，则满足不等式的x的取值范围为（）A. B. C. D.10.若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（）A. B. C. D.二.填空题（每小题4分，共计20分）11.若幂函数的图象经过，则此幂函数的表达式为___________.12.设函数，则__________．13.已知函数为偶函数，且当时，，则时，____.14.已知，则的最小值为____，此时_________15.已知函数，给出下列四个结论：①在定义域上单调递增；②存在最大值；③不等式的解集是；④的图象关于点对称．其中所有正确结论的序号是________________.三.解答题16.已知关于x的不等式的解集为．（1）求实数m的值；（2）正实数a，b满足，求的最小值．17.已知函数.（1）根据定义证明函数在区间上单调递增（2）求函数在区间上的最大值和最小值18.某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求甲生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）若产品的质量指数在内，则该产品为优等品．现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率．19.已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求和的值；（2）判断在上的单调性，并用定义证明；（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1.【答案】C【分析】根据求出中元素个数，然后由集合子集个数公式求解即可.【详解】因为，所以有4个元素，故子集个数为.故选：C2.【答案】C【分析】根据全称命题的否定写出即可．【详解】∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“，”的否定是“，”．故选：C．3.【答案】D【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性逐项判断即可.【详解】对于A选项，函数为非奇非偶函数，且在上单调递增；对于B选项，函数为偶函数，且在上单调递增；对于C选项，函数为奇函数，且在上单调递增；对于D选项，函数为偶函数，且在上单调递减.故选：D.4.【答案】C【分析】根据古典概型概率计算公式求得正确答案.【详解】小张抽取文学杂志后，剩下：本科学杂志和本文学杂志.则小李抽取的是科学杂志的概率为.故选：C5.【答案】C【分析】根据函数的单调性，借助中间值比较大小.【详解】因为函数在单调递增，且，所以，即，因为函数在单调递减，且，所以，即，因为函数在单调递增，且，所以，即，所以，故选：C6.【答案】D【分析】解法一，由分层抽样列出方程，代入计算，即可得到结果；解法二：由抽取的12人中相声队、歌咏队的人数之和与诗歌朗诵队的人数相同，列出式子，代入计算，即可得到结果.【详解】解法一：设该地区老年艺术团的总人数为x，由分层抽样知识可知，，解得，故选：D．解法二：抽取的12人中相声队、歌咏队的人数之和与诗歌朗诵队的人数相同，故所求总人数为，故选：D．7.【答案】B【分析】求出对数复合函数的定义域，应用排除法，结合对数复合函数的性质即可得答案.【详解】由解析式知，，即定义域为，排除A、C、D.由，又在上递增，且时，所以在上递减，在上递增，故在上递增，在上递减，显然B满足.故选：B8.【答案】A【分析】根据题意列出方程，进而结合对数的运算法则即可求得答案．【详解】依题意可得，即，所以．故选：A．9.【答案】B【分析】将等价于和，根据奇函数以及单调性即可求解.【详解】由是R上的奇函数，且是上的严格减函数，若可知：且在也严格单调递减，故当和时，，当和时，，故等价于和，解得，故选：B10.【答案】A【分析】根据函数在上的单调性，判断唯一零点，得到不等式组，求解参数范围.【详解】由，可知在上单调递增，因为在上存在零点，所以在上存在唯一零点，所以，即，解得.故选：A二.填空题（每小题4分，共计20分）11.【答案】【分析】将点的坐标代入函数表达式算出参数即可得解.【详解】由题意得，所以，解得，所以此幂函数的表达式为.故答案为：.12.【答案】【分析】由分段函数定义域分别求得即可得答案.【详解】∵，∴.故答案为：13.【答案】【分析】根据偶函数的性质，当自变量互为相反数时，函数值相等.【详解】当时，.因为当时，，所以此时.又因为是偶函数，即，所以当时，.故答案为：.14.【答案】①.6②.4【分析】通过变形构造出能使用基本不等式的形式，利用基本不等式来求最小值以及取得最小值时对应的变量值.【详解】已知，因为，那么.将变形为.

根据基本不等式，则有先计算的值，，所以.那么，即的最小值为.

当且仅当时，等号成立，此时取得最小值.解方程，可得.因为，所以，解得.

故答案为：；4.15.【答案】①③④【分析】根据给定的函数，分析单调性判断①；利用指数函数值域判断②；解指数不等式判断③；探讨函数图象的对称性判断④即得.【详解】函数的定义域为R，函数在R上单调递减，因此在R上单调递增，①正确；由于，则，，函数不存在最大值，②错误；不等式，即，整理得，解得，的解集是，③正确；由于，因此的图象关于点对称，④正确，所以所有正确结论的序号是①③④.故答案为：①③④【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，(1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.(2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.三.解答题16.【答案】（1）（2）9【分析】（1）根据根与系数的关系，即可求得答案；（2）由（1）可得，结合“1”的巧用，再利用基本不等式，即可求得答案.【小问1详解】由题意可得和2是方程的两个根，由根与系数的关系可得，解得．【小问2详解】正实数a，b满足，由（1）可得，所以，当且仅当时，结合，即时等号成立，所以的最小值为9．17.【答案】（1）证明见解析（2），.【分析】（1）先取值再作差，结合定义域判断的正负，从而证明出单调性；（2）根据（1）中的单调性，确定出和.【小问1详解】任取，且，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，所以在上单调递增；【小问2详解】因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以，.18.【答案】（1）（2）【分析】（1）由频率分布直方图计算平均数即可；（2）先计算出甲、乙两条生产线的优等品数，由分层抽样计算出每层的人数，由古典概型概率公式计算即可.【小问1详解】甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为：【小问2详解】由题意可知：甲生产线的样品中优等品有件.乙生产线的样品中优等品有件.则从甲生产线的样品中抽取的优等品有件，记为；从乙生产线的样品中抽取的优等品有件，记为.从这6件产品中随机抽取2件的情况有：共15种，其中符合条件的情况有共8种.故所求概率.19.【答案】（1），（2）单调递增，证明见解析（3）【分析】（1）由是定义在R上的奇函数，可得，再结合已知条件列方程组即可求解；（2）由（1）知，可求得函数的解析式，设任意，且，再根据函数单调性的定义证明即可；（3）结合单调性可得在上的值域，再得出二次函数在上的值域，结合已知可得，列不等式组即可求解.【小问1详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以满足，又，可得，解得，可得，，是奇函数，满足题意，所以，.【小问2详解】，在上单调递增，证明如下：设任