2025北京二中高三（下）开学考数学（教师版）

第1页/共1页2025北京二中高三（下）开学考数学2025.2第一部分（选择题共40分）一､选择题（每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题意）1.设集合，集合，若，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.2.已知抛物线上一点到焦点的距离为3，则点到轴的距离为A. B.1 C.2 D.43.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（）．A. B. C. D.4.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（）A. B. C. D.5.我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙.大老鼠第一天打进尺，以后每天进度是前一天的倍.小老鼠第一天也打进尺，以后每天进度是前一天的一半.如果墙的厚度为尺，则两鼠穿透此墙至少在第（）A.天 B.天 C.天 D.天6.已知直线，为圆上一动点，设到直线距离的最大值为，当最大时，的值为（）A. B. C. D.7.已知是等差数列，是其前项和.则“”是“对于任意且，”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过天后，用户人数，其中为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（）（本题取）A.31 B.32 C.33 D.349.长方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.10.已知函数，若方程有8个相异实根，则实数的取值范围A. B. C. D.二､填空题（每小题5分，共25分）11.在二项式的展开式中，的系数为__________．12.已知两点．点满足，则的面积是____；的一个取值为____．13.已知为等腰直角三角形，，圆M为的外接圆，，则__________；若P为圆M上的动点，则的取值范围为__________．14.若函数存在最小值，则的最大值为__________.15.在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列，分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：，描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足，则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论：①；②；③，使得当时，总有④，使得当时，总有．其中，所有正确结论的序号是_________三､解答题（共85分）16.中，内角，，所对的边分别为，已知的面积为，，．（1）求和的值；（2）求的值．17.某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播．比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定．某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7，8），[8，9），[9，10]分组，绘成频率分布直方图如图：专家ABCDE评分9.69.59.68.99.7（1）求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；（2）从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数；试求E（X）与E（Y）的值；（3）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分．请直接写出与的大小关系．18.如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，点F为的中点．（1）已知点G为线段的中点，求证：CF∥平面；（2）若，直线与平面所成的角为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择几个作为已知，使四棱锥唯一确定，求：（ⅰ）直线到平面的距离；（ⅱ）二面角的余弦值．条件①：平面；条件②：；条件③：平面平面．19.已知椭圆.（Ⅰ）若椭圆的离心率为，求的值；（Ⅱ）若过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点，，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．20.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上恒成立，求的取值范围；（3）试比较与的大小，并说明理由．21.设n为不小于3的正整数，集合，对于集合中的任意元素，记（Ⅰ）当时，若，请写出满足的所有元素（Ⅱ）设且，求的最大值和最小值；（Ⅲ）设S是的子集，且满足：对于S中的任意两个不同元素，有成立，求集合S中元素个数的最大值.

参考答案第一部分（选择题共40分）一､选择题（每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题意）1.【答案】B【分析】直接由求解即可【详解】因为集合，集合，，所以，故选：B2.【答案】C【详解】根据抛物线的定义可知，点到焦点的距离和到准线的距离相等，抛物线的准线方程为，所以点到轴的距离为，故选C.3.【答案】B【分析】先根据复数几何意义得，再根据复数乘法法则得结果.【详解】由题意得，.故选：B.【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.4.【答案】A【分析】根据任意角三角函数的概念可得出，然后利用诱导公式求解.【详解】因为角以为始边，且终边与单位圆交于点，所以，则.故选：A.【点睛】当以为始边，已知角终边上一点的坐标为时，则，.5.【答案】B【分析】设两只老鼠在第天相遇，利用等比数列的求和公式列方程可求得的范围，即可得解.【详解】设两只老鼠在第天相遇，则大老鼠第天打洞的厚度成以为公比的等比数列，小老鼠第天打洞的厚度成以为公比的等比列，由等比数列的求和公式可得，整理得，可得（舍去）或，所以，两鼠穿透此墙至少在第天.故选：B.6.【答案】A【分析】先得出直线过定点，再求出圆心坐标，由圆的对称性以及斜率公式得出的值.【详解】因为，所以直线过定点，圆可化为，则圆心，，由圆的对称性可知，当时，到直线距离的最大，则，.故选：A7.【答案】B【分析】利用等差数列前n项和的函数性质判断“对于任意且，”与“”推出关系，进而确定它们的关系.【详解】由等差数列前n项和公式知：，∴要使对于任意且，，则，即是递增等差数列，∴“对于任意且，”必有“”，而，可得，但不能保证“对于任意且，”成立，∴“”是“对于任意且，”的必要而不充分条件.故选：B.8.【答案】D【分析】经过天后，用户人数，根据题意可求得，由小程序发布经过10天后有2000名用户，可得，当用户达到50000名时有，根据对数运算，即可求得答案.【详解】经过天后，用户人数又小程序在发布时已有500名初始用户又小程序发布经过10天后有2000名用户即，可得……①当用户达到50000名时有即，可得……②联立①和②可得，即故用户超过50000名至少经过的天数为34天故选：D.9.【答案】A【分析】把问题转化成点到直线上的点的距离垂线段最短解决.【详解】如图：根据题意，截面是边长为的正方形，为的中点.点在上，在线段上取点，使得.根据正方形的对称性，则，所以，表示点沿着折线到直线的距离.取的中点，则，根据垂线段最短可得：.所以的最小值为.故选：A10.【答案】D【详解】画出函数的图象如下图所示．由题意知，当时，；当时，．设，则原方程化为，∵方程有8个相异实根，∴关于的方程在上有两个不等实根．令，．则，解得．∴实数的取值范围为．选D．点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解．本题中在结合函数图象分析得基础上还用到了方程根的分布的有关知识．二､填空题（每小题5分，共25分）11.【答案】【分析】由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到的值，然后求解的系数即可.【详解】结合二项式定理的通项公式有：，令可得：，则的系数为：.【点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中和的隐含条件，即、均为非负整数，且，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．12.【答案】①.##②.（答案不唯一）【分析】根据条件求出点的轨迹方程，联立方程后求点的坐标，即可求解面积和角的取值.【详解】由点可知，，所以点在圆，且，则点在双曲线的右支上，其中，，，则双曲线方程为，联立，解得：或，则的面积；当时，，，，当时，，，，则其中的一个取值是.故答案为：；（答案不唯一）13.【答案】①.0②.【分析】根据给定条件，利用垂直的向量求解即可；再建立平面直角坐标系，利利用向量的坐标表示列出函数式，并求出函数值域作答.【详解】在等腰直角中，，由得，点E是弦的中点，在圆M中，，因此；依题意，以圆M的圆心M为原点，直线CB为x轴，点A在y轴正半轴上，建立平面直角坐标系，如图，则有，圆M的方程为，因为P为圆M上的动点，设，，于是得，而，因此当时，，当时，，所以的取值范围为.故答案为：0；14.【答案】4【分析】根据分段函数的性质，结合绝对值、二次函数的性质，讨论范围及存在最小值确定的范围，进而确定答案.【详解】对于函数，在上单调递减，上单调递增，在上的最小值为0；对于函数，开口向上且对称轴为，所以函数在上单调递减，上单调递增，在上的最小值为；综上，对于：当时，在上单调递减，上单调递增，此时恒成立，所以不存在最小值；当时，在上单调递减，上单调递增，此时最小值为；当时，在上单调递减，,上单调递增，且，又，若时，，此时最小值为；若时，，此时最小值为；若时，，此时最小值为；若时，，此时最小值为；若时，，此时不存在最小值；综上，，故的最大值为4.故答案为：415.【答案】①②③【分析】由得即可判断①正确；由，即可判断②正确；由，当时，，即可判断③正确；由，当时，，即可判断④错误.【详解】因为，两式作差得，故为常数列，即，故，①正确；因为，又，为正实数数列，故，故，②正确；由上知，，因为为常数，为单增数列，故当时，，又，故，使得当时，总有，③正确；，又，故，因为为常数，为单增数列，故当时，，，故④错误.故答案为：①②③.三､解答题（共85分）16.【答案】（1）；；（2）．【分析】（1）先利用平方关系求出，结合面积公式和已知可得，然后利用余弦定理可求，利用正弦定理可得的值；（2）先求解，利用倍角公式可得，，结合和角公式可求的值．【详解】（1）在中，由，可得，的面积为，可得：，可得．又，解得：，或，（舍去），，，∴，∴，又，解得；所以；；（2）由（1）知：，所以，所以，，，．【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理求解三角形及三角求值问题，倍角公式及和角公式的熟练应用是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.17.【答案】（1）；（2）见解析；（3）.【分析】（1）由频率和为1可得a的值，用某场外观众评分不小于9的频率可估计概率；（2）计算概率可得分布列和期望．（3）由两组数据的比重可直接作出判断.．【详解】（1）由图知，某场外观众评分不小于9的概率是．（2）X的可能取值为2，3．P（X=2）=；P（X=3）=．所以X的分布列为X23P所以E（X）=2×．由题意可知，，所以E（Y）=np=．（3）．【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望考查了超几何分布和二项分布，属中档题．18.【答案】（1）证明过程见详解（2）（ⅰ）；（ⅱ）.【分析】(1)取的中点，连接，，，，利用中位线证明平面，再利用平行四边形对边平行证明平面，然后利用面面平行的判定得到平面平面，最后由面面平行得到证明即可；(2)选择条件①和③（ⅰ）设点到平面的距离为，利用等体积法即可求解；（ⅱ）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，分别求出两个平面的法向量，进而求解即可.【小问1详解】取的中点，连接，，，；因为分别为的中点，所以，平面，平面，所以平面，又因为分别为的中点，四边形为平行四边形，所以且，则四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，因为，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面.【小问2详解】选择条件①和③（ⅰ）因为平面，所以即为直线与平面所成的角，由题意可知：，又，所以.因为平面平面，且平面平面，因为平面，所以，所以平面，平面，所以,则四边形为矩形，因为，所以，设点到平面的距离为，由平面可知：，在中，，因为为的中点，所以，所以，，因为，平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离也就是直线到平面的距离.因为，即，也即，所以故直线到平面的距离为.（ⅱ）由（ⅰ）可知：，，两两垂直，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，则，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，则有，也即，令，则；则有，也即，令，则，则，由图可知：二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.19.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【分析】（1）由a2=2，b2=n，所以c2=2-n，又，得n（2）若存在点M（m，0），使得∠NMA+∠NMB=180°，则直线AM和BM的斜率存在，分别设为k1，k2．等价于k1+k2=0．依题意，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y=k（x+2）．与椭圆方程联立，利用△＞0．求出．设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，通过令，求出m．【详解】解：（1）因为，，所以．又，所以有，得．

（2）若存在点，使得，则直线和的斜率存在，分别设为，，且满足．依题意，直线的斜率存在，故设直线的方程为．由得．因为直线与椭圆有两个交点，所以．即，解得．设，，则，，，．令，即，即，当时，，所以，化简得，，所以．当时，检验也成立．所以存在点，使得．【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用，考查转化思想的应用，存在性问题的处理方法，考查分析问题解决问题的能力，属于难题20.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；（2）将在区间上恒成立，转化为，令，问题转化为，利用导数求函数即可得解；（3）由（2）知，时，在区间上恒成立，取，可得解.【小问1详解】当时，，，所以曲线在点处切线的斜率，又，所以曲线在点处切线的方程为即.【小问2详解】在区间上恒成立，即，对，即，对，令，只需，，，当时，有，则，在上单调递减，符合题意，当时，令，其对应方程的判别