八年级数学上册《三角形》知识点归纳

.1与三角形有关的线段知识架构第一节三角形的边知识要点三角形的相关概念三角形的定义：由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形叫做三角形．三角形的分类：三角形（按角分）：①直角三角形；②斜三角形：锐角三角形，钝角三角形；

三角形（按边分）：①不等边三角形；②等腰三角形：等腰不等边三角形，等边三角形；三角形的稳定性：如果三角形的三条边固定，那么三角形的大小和形状就可以完全确定，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．稳定不稳定三角形的三边关系三角形两边之和大于第三边三角形任意两边之和大于第三边，即有a＋b＞c，b＋c＞a，a＋c＞b三个不等式同时成立．判断三条线段能否构成三角形时，可以用两条较短线段之和与较长线段作比较，大于则成立，小于则不成立．三角形两边之差小于第三边三角形任意两边之差小于第三边；三角形任意一边大于其他两边之差，小于其他两边之和．典例分析题型一三角形的相关概念例1如图，以AD为边的三角形有___________________；以∠C为一个内角的三角形____________________；△AED的三个内角分别是____________________．例2下列说法中，正确的有______________________①等腰三角形是等边三角形；

②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；

③等腰三角形至少有两边相等

④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 例3下列图形具有稳定性的是（） A．正方形 B．矩形 C．平行四边形 D．直角三角形【跟踪练习】如图，在△ABC中，∠A的对边是_______；在△ABD中∠A的对边是_________．△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足，则△ABC的形状为（） A．不等边三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形不是利用三角形稳定性的是（） A．自行车的三角形车架 B．三角形的房架

C．照相机的三脚架 D．学校的栅栏门题型二三角形的三边关系例4下列各组线段能构成三角形的是（） A．2，2，4 B．3，4，5 C．1，2，3 D．2，3，6例5下列线段能构成三角形的有哪些？ （1）6cm，8cm，10cm； （2）5cm，8cm，2cm； （3）三条线段之比为4:5:6； （4）a＋1，a＋2，a＋3（a＞0）．例6用一条长为21cm的细绳围成一个等腰三角形．如果腰长是底边长的3倍，那么底边长是多少？能围成一边长5cm的等腰三角形吗？说明理由．例7如图，点D在△ABC中，请判断△BDC和△ABC的周长大小，并证明．

【跟踪练习】已知三角形的两边长分别是3和8，则该三角形第三边的长可能是（） A．5 B．10 C．11 D．12已知等腰三角形的边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为__________．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种已知三角形三边长分别为3，1－2a，8，求a的取值范围．如图，已知点D、E都在△ABC中，请判断△ABC和四边形BDEC的周长大小，并证明．

第二节三角形的重要线段知识要点三角形的中线中线的定义：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线；

2.重心的定义：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的重心，而且它一定在三角形的内部；

3.中线的性质：一条中线把三角形的面积平分．重心中点重心中点三角形的高线高线的定义：三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线．

2.垂心的定义：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心；

3.注意：①锐角三角形的高均在三角形的内部，三条高的交点也在三角形的内部；②钝角三角形的高线中，有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部；③直角三角形有两条高分别与两条直角边重合．反之也成立．三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．内心的定义（拓展）：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心，而且它一定在三角形内部．注意：三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线．典例分析题型一三角形的中线例1如图，当________＝________时，AD是△ABC的中线．例2如图，AM是△ABC的中线，若用S1表示△ABM的面积，用S2表示△ACM的面积，则S1和S2的大小关系是（） A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．以上三种情况都有可能例3如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，如果△DEF的面积是2，那么△ABC的面积为（） A．12 B．14 C．16 D．18题型二三角形的高线例4如图，已知△ABC和△EFD，在图中分别画出这两个三角形的三条高．例5如图，△ABC中，高BE和CH的交点为O，若AC＝6，BE＝3，则AB·CH的值为_______．题型三三角形的角平分线例6如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，已知∠ABC＝80°，则∠DBC＝_________°例7如图，若∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是（) A．AD是△ABC的角平分线 B．CE是△ACD的角平分线

C．∠3＝∠ACB D．CE是△ABC的角平分线例8如图，AD是△ABC的角平分线，点P为AD上一点，PM∥AC交AB于M，PN∥AB交AC于N，求证：PA平分∠MPN．【跟踪练习】三角形的角平分线、中线、高线都是（）A．线段 B．射线 C．直线 D．以上都有可能不一定在三角形内部的线段是（）A．三角形的角平分线 B．三角形的中线

C．三角形的高 D．三角形的中位线可以把一个三角形分成面积相等的两个部分的线段是（）A．三角形的角平分线 B．三角形的中线

C．三角形的高 D．无法确定在直角三角形中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，CD是AB边上的中线，则AC边上的高为___________cm，△BCD的面积＝__________cm²．（难）如图，在△ABC中，E是BC上一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别为S△ABC、S△ADF、S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF的值是_____________（难）△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC的周长分为12与15两部分，求三角形各边长．当堂检测如图，过△ABC的顶点A作BC边的高，以下作法正确的是（）A． B． C． D． 已知等腰三角形的两边长分别是5和6，则该等腰三角形的周长为（） A．11 B.16 C.17 D.16或17一个三角形的两边长分别是3和7，且第三条边的长为整数，则三角形周长的最大值为（）15 B.16 C.18 D.19如图，△ABC中：边BC上的高是_____________；边BC上的高也表示点__________到__________的距离；若BC＝6，AD＝4，AC＝8，则点B到AC的距离为_____________．已知实数x，y满足，求分别以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长．课后回顾填空题：（1）由___________三条线段___________所组成的图形叫做三角形，组成三角形的线段叫做________；相邻两边的公共端点叫做____________，相邻两边所组成的角叫做__________，简称：___________．（2）如图所示，顶点式A、B、C的三角形，记作___________，读作____________，其中，顶点A所对的边__________还可用___________表示．（3）由“连接两点的线中，线段最短”这一性质可以得到三角形的三边有这样的性质_________________

________________，由它还可退出：三角形两边之差____________．（4）对于△ABC，若a≥b，则a＋b______c，同时a－b______c；又可写成_________＜c＜________．（5）若一个三角形的三边长分别是4cm或5cm，则第三条边x的长度的取值范围是____________，其中x可以取的整数值为____________．填空题：从三角形一个顶点向它的对边画_____________，以__________和__________为端点的线段叫做三角形这边上的高．若CD是△ABC中AB边上的高，则∠ADC_________∠BDC＝___________，C点到对边AB的距离是__________的长．连接三角形的一个顶点和它___________的___________叫做三角形这边上的中线．若BE是△ABC中AC边上的中线，则AE__________EC＝___________．三角形一个角的____________与这个角的对边相交，以这个角的________和________为端点的线段叫做三角形的角平分线．一个角的平分线和三角形的角平分线的区别是___________________________．若AD是△ABC的角平分线，则∠BAD_______________∠CAD＝___________；或∠BAC＝2__________＝2_________．11.2与三角形有关的角知识架构第一节三角形的内角及内角和知识要点三角形内角和定理三角形内角和定理：三角形的内角和是180°；三角形内角和定理的证明；直角三角形的性质与判定直角三角形可以用“Rt△”表示，比如“直角三角形ABC”可表示为“Rt△ABC”；直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形．常见的直角三角板为：30°、60°、90°；45°、45°、90°．典例分析题型一三角形内角和定理例1若△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝65°，则∠C等于（） A．65° B．55° C．45° D．75°例2在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠C的值为（） A．40° B．80° C．60° D．50°例3如图，直线a∥b，若∠1＝60°，∠2＝40°，则∠3等于_____________例4如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于F，若∠ABC＝42°，∠A＝60°，则

∠BFC的度数为（） A．118° B．119° C．120° D．121°例5如图，在△ABC中，∠C＝70°，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（） A．140° B．180° C．250° D．360°【跟踪练习】如图，一面小红旗，其中∠A＝60°，∠B＝30°，则∠BCD＝______________．在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，若∠BOC＝150°，则∠BAC＝______________．如图所示，有一艘渔船上午9时在A处朝正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，行驶2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏东15°方向上，试求△ABC的各内角及∠CBD的度数．题型二直角三角形的性质与判定例6如图，∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于O点，思考下列问题：找出图中所有的直角三角形，并用符号正确表示：____________________________；试写出图中∠1和∠2的关系，并说明理由．例7如图，在△ABC中，D是AB上一点，若∠1＝∠B，∠A＝∠2．求证：△ABC是直角三角形；线段CD是斜边上的高吗？说明理由．例8在Rt△ABC中，∠B是直角，∠C＝22°，那么∠A的度数是（）A．22° B．58° C．68° D．112°例9如图，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠1＝50°，则∠B的度数为（）A．50° B．60° C．30° D．40°11【跟踪练习】如图，直线，⊥，∠1＝44°，那么∠2的度数为（）A．46° B．44° C．36° D．22°如图，AB∥CD，EP平分∠FEB，FP平分∠FED，判断△EFP的形状，并说明理由．已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE＝∠CEF．题型三常见的直角三角板例10如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角形的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是_________________．例11将一副三角尺按如图所示的方式叠放（两条直角边重合），则∠α的度数是______________．【跟踪练习】将一副直角三角板如图所置，则∠1的度数为（）第二节三角形的外角及其外角和知识要点三角形的外角定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角，三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对，在计算三角形外角和时，只计算其中三个，即每个顶点取一个.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°．三角形的外角定理三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．典例分析题型一三角形的外角例1如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，猜想∠1＋∠2＋∠3的度数，并证明．例2求下列各图中x的值：例3如图，AB∥CD，∠A＝40°，∠D＝45°，求∠C和∠AED的度数．例4已知：如图，∠C＝20°，∠E＝35°，∠BDF＝117°，求∠A与∠EFD的度数．例5如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，∠EDF＝70°，求∠AFD的度数．【跟踪练习】如图，△ABC的外角是（） A．∠EAB和∠EAD B．∠EAB和∠DAC C．∠EAB和∠EAD，∠DAC D．以上说法都不对如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD等于（） A．40° B．45° C．50° D．55°如图，∠A＝50°，∠ABO＝28°，∠ACO＝32°，则∠BDC＝____________，∠BOC＝___________． 如图，把△ABC沿虚线剪一刀．若∠A＝48°，求∠1＋∠2的度数．当堂检测在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，则∠C＝______________．已知在△ABC中，∠C＝∠A＋∠B，则△ABC一定是_____________三角形．△ABC中，∠B＝∠C＝2∠A，则△ABC的最大外角等于_________度．如图，AD⊥BC，∠1＝∠2，∠C＝65°，求∠BAC．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，求证：∠BAC＝∠B＋2∠E．课后回顾填空：(1)三角形的内角和性质是____________________________________________________.(2)三角形的内角和性质是利用平行线的______与______的定义，通过推理得到的．它的推理过程如下：已知：△ABC，求证：∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝______．证明：过A点作______∥______，则∠EAB＝______，∠FAC＝______．(___________，___________)∵∠EAF是平角，∴∠EAB＋______＋______＝180°．()∴∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝∠EAB＋∠______＋∠______．()即∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝______．2．填空：(1)三角形的一边与_________________________________________叫做三角形的外角．因此，三角形的任意一个外角与和它相邻的三角形的一个内角互为______．(2)利用“三角形内角和”性质，可以得到三角形的外角性质?如图，∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD与∠ACB互为______，即∠ACD＝180°－∠ACB．①又∵∠A＋∠B＋∠ACB＝______，∴∠A＋∠B＝______．②由①、②，得∠ACD＝______＋______．∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B由上述(2)的说理，可以得到三角形外角的性质如下：三角形的一个外角等于____________________________________________________.三角形的一个外角大于____________________________________________________.3．(1)已知：如图，∠1、∠2、∠3分别是△ABC的外角，求：∠1＋∠2＋∠3．(2)结论：三角形的外角和等于______．已知：如图，BE与CF相交于A点，试确定∠B＋∠C与∠E＋∠F之间的大小关系，并说明你的理由．已知：如图，O是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE的平分线的交点．(1)若∠A＝46°，求∠BOC；(2)若∠A＝n°，用n的代数式表示∠BOC的度数．11.3多边形及其内角和知识架构第一节多边形及其相关概念知识要点多边形及其相关概念多边形：在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成封闭的图形叫做多边形；n边形：如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形；多边形的内角：多边形相邻两条边组成的角叫做它的内角．多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形．正多边形的概念定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．

特别地，正三角形又叫做等边三角形；正四边形又叫正方形．典例分析题型一多边形及其相关概念例1如图，下列图形是多边形的有_____________个． 例2把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是_____________________题型二多边形的对角线例3从五边形一个顶点出发，可以引____________条对角线，可以把五边形分成_________个三角形：从八边形一个顶点出发，可以引____________条对角线，可以把五边形分成_________个三角形．例4观察图形，并阅读图形下面的相关文字： 三角形的对角线有0条，四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条，六边形的对角线有9条．通过分析上面的材料，请你说说十边形的对角线有多少条？你能总结出n边形的对角线有多少条吗？题型三正多边形例5下列图形中，是正多边形的是（） A．等腰三角形 B．长方形 C．正方形 D．五边都相等的五边形例6如图，△ABC，△ADE及△EFG都是等边三角形，D和G分别为AC和AE的中点，若AB＝4，则图形ABCDEFG外围的周长是_____________． 题型四多边形的综合例7如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下来，至少要钉几根木条，请画出相应木条所在的线段． 例8在平面直角坐标系xOy中，正四边形ABCD的顶点A位于坐标（1，0），顶点B位于坐标（0，3），点C和点D都在第一象限内，请试着通过画出图象，来猜测C、D的坐标分别为_________，__________． 【跟踪练习】画出下列多边形的全部对角线．一个多边形有14条对角线，那么这个多边形的边数是_____________一个多边形锯掉一个角之后变成5边形，那么这个多边形是_______________下列说法正确的是：___________________①五个内角都相等的五边形是正五边形；②钝角三角形可能是正三角形；③四条边相等的四边形是正四边形；④每个外角都相等且每条边都相等的多边形是正多边形．第二节多边形的内角和知识要点多边形的内角和n边形的内角和公式：，例：六边形可从一个顶点画出3条对角线，共切割成4个三角形，每个三角形内角和180，4个三角形内角和共720°．多边形的外角和定理任意多边形的外角和都等于360°．典例分析题型一已知边数求内角和例1（1）四边形的内角和为____________；（2）10边形的内角和为____________．题型二已知内角和求边数例2若一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为__________．例3若一个多边形的内角和为360°，则这个多边形为__________边形．题型三利用内角和求角度例4求下列图形中的x的值． 例5如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，求∠P的度数． 题型三外角和定理的运用例6多边形的外角和等于_____________．例7正多边形的一个外角等于20°，则这个多边形的边数是_____________．例8如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，已知∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝300°，则∠5＝____________． 例9正十边形的一个内角度数为____________．例10已知正多边形的一个内角是150°，则这个多边形是___________边形．【跟踪练习】四边形的内角和度数为（） A．180° B．270° C．360° D．540°若一个多边形的内角和小于它的外角和，则这个多边形的边数是（） A．3 B．4 C．5 D．6若一个多边形的内角和是1260°，则这个多边形的边数是（） A．10 B．9 C．8 D．7九边形的外角和为___________．一个多边形的每个外角都等于45°，则其内角和为___________°．求下图中，x、y的值． 当堂检测一个多边形从一个顶点最多能引出三条对角线，这个多边形是（）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形六边形的内角和是（）A．360° B．540° C．720° D．900°一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是___________．多边形每增加一条边，内角和增加____________．已知四边形有一组对角互补，则另一组对角之和等于______________．一个多边形的每个内角都相等，且每个内角比它相邻的外角大36°，求这个多边形的边数．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形DBCE的内部．若∠A＝50°，求∠BDA＋∠CEA的度数；若∠A＝α，猜想∠BDA＋∠CEA与α有怎样的关系？并说明理由．课后回顾（1）平面内，由____________________________________________________________叫做多边形．组成多边形的线段叫做______．如果一个多边形有n条边，那么这个多边形叫做______．多边形____________叫做它的内角，多边形的边与它的邻边的______组成的角叫做多边形的外角，连接多边形________________的线段叫做多边形的对角线．（2）画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在______，那么这个多边形称作凸多边形．（3）各个角______，各条边______的______叫做正多边形．2．（1）n边形的内角和等于____________．这是因为，从n边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，它们将此n边形分为______个三角形．而这些三角形的内角和的总和就是此n边形的内角和，所以，此n边形的内角和等于180°×______．（2）请按下面给出的思路，进行推理填空．如图，在n边形A1A2A3…An－1An内任取一点O，依次连结______、______、______、……、______、______．则它们将此n边形分为______个三角形，而这些三角形的内角和的总和，减去以O为顶点的一个周角就是此多边形的内角和．所以，n边形的内角和＝180°×______－()＝()×180°．11.4专题训练——运用数学模型解决问题知识要点模型一飞镖模型结论：∠A＋∠B＋∠C＝∠BDC典例分析例1如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A＝35°，求∠BDC的度数．变1如图，∠O，∠1，∠2，∠P之间满足怎样的数量关系？证明你的结论．变2（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC＋∠ACB＝___________，∠XBC＋∠XCB＝___________．

（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别