2025年上海市青浦区中考数学一模试卷附答案

中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）[每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]1．（4分）如果x：y＝2：3，则（x+y）：y等于（）A．2：5 B．5：2 C．3：5 D．5：32．（4分）已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，那么下列结论正确的是（）A．sinA=35 B．cosA=35 C．3．（4分）抛物线y＝x2+2x的对称轴是（）A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣24．（4分）如图，点P是航拍飞机在某一高度时的位置，BH是地平线，PH⊥BH，PC∥BH，AB是某大型建筑物的斜面．从点P观测点B的俯角是（）A．∠HPB B．∠CPB C．∠APB D．∠PBA5．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，AD是△ABC的角平分线.ABBCA．3−52 B．3+52 C．6．（4分）如图，在△ABC中，点D在边AC上，且∠CBD＝∠A，过点C的射线与BD的延长线相交于点E，如果CE∥AB，那么下列结论错误的是（）A．EDCE=CEEB B．CDCB=二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．（4分）线段a＝2厘米，c＝3厘米，线段a和c的比例中项b＝厘米．8．（4分）如果两个相似三角形面积的比为1：3，那么它们周长的比为．9．（4分）二次函数y＝x2+3x﹣1的图象与y轴的交点坐标是．10．（4分）二次函数y＝x2﹣1的图象在其对称轴右侧的部分是的（填“上升”或“下降”）．11．（4分）某公司10月份产值是120万元，设第四季度每个月产值的增长率相同，均为x（x＞0），如果12月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式为．12．（4分）如图，AB∥CD∥EF，如果AD：DF＝3：2，那么BE：CE＝．13．（4分）如图，梯形ABCD是某水库大坝的横截面．已知坝高AE＝8m，如果将坡度为1：2的斜坡AB改为坡度为1：2的斜坡AP，那么大坝底部应加宽m．（结果保留根号）14．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，正方形CEDF的边CE在边BC上，顶点D、F分别在边AB、AC上．如果BC＝3，AC＝6，那么正方形CEDF的边长是．15．（4分）已知点G是△ABC的重心，点D在边AC上，如果GD∥BC，那么GDBC=16．（4分）如图，点E、F分别是平行四边形ABCD的边DC、BC的中点，联结DB，如果EF→=a→，BC→=b→，那么向量17．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，且DE垂直平分AB．联结BE，如果tan∠A=13，那么cos∠CBE＝18．（4分）梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝CD，AD＜BC，AD：DC＝2：3．将梯形沿过点D的直线折叠，点C落在AB上，记作点E，折痕与底边BC的交点记作点F．如果DF∥AB，那么AE：EB＝．三、（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：2(1−cos30°)+2sin60°20．（10分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表．（1）写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点的坐标；（2）设该抛物线与x轴相交于点A（点A在对称轴的右侧），与y轴相交于点B，顶点为C，求证：△ABC是直角三角形．x…01234…y…30﹣103…21．（10分）如图，在菱形ABCD中，AB=5（1）求对角线BD的长；（2）求sin∠ABC的值．22．（10分）图1是某商场地下车库的出入口，车辆出入时，通常情况下只需升起“出口”或“入口”的道闸．特殊情况，两个道闸也可以同时升起．图2是其示意图，道闸升起过程中对边始终保持平行（如图中升起的道闸EPQ1R1），升起的最高点不超过顶部CD．矩形门的高AD＝3.6米，宽AB＝6.6米．矩形闸机的宽AH＝BW＝0.3米，矩形道闸的宽FG＝EP＝1米，道闸底部距地面AB的高度FH＝EW＝0.2米．顶点G、M、Q、P在同一条直线上，边MG＝PQ，边MN与QR之间的缝隙可以忽略不计．（1）求道闸升起的最大角的正切值；（2）一辆高为1.8米、宽为1.9米的小货车想进入这个地下车库，是否需要同时升起两个道闸？请说明理由．23．（12分）已知：如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，AE＝EC，AE2=12AD•AB，联结（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）取AD的中点F，联结EF、BE，求证：∠DEF＝∠CBE．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2（a＜0）经过直线y＝﹣x上的点A，已知OA=22（1）求该抛物线的表达式；（2）将抛物线y＝ax2（a＜0）先向右平移1个单位，再向上平移k（k＞0）个单位后，所得新抛物线与y轴相交于点C，如果tan∠OCA=4①求k的值；②设新抛物线的顶点为点D，新抛物线上的点B是点A的对应点．联结OD、CD，在新抛物线的对称轴上存在点P，使得∠OPB＝∠ODC，求点P的坐标．25．（14分）已知梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝4AD，点E在边AB上，AE＝1，BE＝2，联结DE．（1）如图1，联结EC，求△EAD与△EBC的面积之比；（2）如图2，如果∠EDC＝90°，∠DEC＝∠DCB，求∠B的正切值；（3）如图3，联结AC交DE于点F，如果DA2＝DF•DE，且DEAC=cosB，求边

一．选择题（共6小题）题号123456答案DABBCD一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）[每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]1．【答案】D【解答】解：x：y＝2：3，得x=23把x=23y代入（x+y）：y＝（23y+y故选：D．2．【答案】A【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，∴AC=5∴sinA=BCAB=35，cosA=ACAB故选：A．3．【答案】B【解答】解：将解析式转化为顶点式得：y＝（x+1）2﹣1，∴抛物线y＝x2+2x的对称轴是是直线x＝﹣1，故选：B．4．【答案】B【解答】解：∵PC∥BH，BH是地平线，∴从点P观测点B的俯角是∠CPB，故选：B．5．【答案】C【解答】解：∵AC＝BC，∠C＝36°，∴∠B＝∠BAC＝72°，∵AD平分∠BAC，∠BAD＝∠CAD＝36°，∴∠BAD＝∠C＝∠CAD＝36°，∴AD＝CD，∠ADB＝72°，∴AB＝AD，∴AB＝AD＝CD，∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴BDAB设BC＝AC＝a，BD＝x，则AD＝CD＝AB＝a﹣x，∴xa−x解得x=3+52a（不符合题意，舍去）或x∴AB＝a﹣x=5−1∴ABBC故选：C．6．【答案】D【解答】解：∵CE∥AB，∴∠ECD＝∠A，∵∠CBD＝∠A，∴∠ECD＝∠CBD，∵∠E＝∠E，∴△CDE∽△BCE，∴EDCE=CE∵∠CBD＝∠A，∠BCD＝∠ACB，∴△BCD∽△ACB，∴CDCB=CB∵△BCD∽△ACB，∴BDAB∴ABAC=BD∵△ABD与△ACB不能证明相似，∴ADAB≠AB故选：D．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．【答案】6．【解答】解：∵线段b是a、c的比例中项，∴b2＝ac＝2×3＝6（厘米），解得b＝±6，又∵线段是正数，∴b=6故答案为：68．【答案】1：3．【解答】解：∵两个相似三角形面积的比为1：3，∴两个相似三角形周长的比为1：3．故答案为：1：3．9．【答案】（0，﹣1）．【解答】解：当x＝0时，y＝x2+3x﹣1＝﹣1，∴二次函数y＝x2+3x﹣1的图象与y轴的交点坐标是（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1）．10．【答案】上升．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣1，a＝1＞0，∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝0，∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，即二次函数y＝x2﹣1的图象在其对称轴右侧的部分是上升的．故答案为：上升．11．【答案】y＝120（1+x）2．【解答】解：由题意可得，y＝120（1+x）2，故答案为：y＝120（1+x）2．12．【答案】5：2．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴BCCE∴BECE故答案为：5：2．13．【答案】（16﹣82）．【解答】解：∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∵AE＝8m，∴tan∠ABE=AE∴BE=AE12∵tanP=AE∴8PE∴PE＝16，∴PB＝PE﹣BE＝（16﹣82）m，答：大坝底部应加宽（16﹣82）m．14．【答案】2．【解答】解：∵∠C＝90°，四边形CEDF是正方形，顶点F在AC上，∴DF＝CF，∠AFD＝∠CFD＝∠C＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADF∽△ABC，∴DFBC∵BC＝3，AC＝6，∴DFAF∴AF＝2DF＝2CF，∵AF+CF＝AC，∴2CF+CF＝6，解得CF＝2，∴正方形CEDF的边长是2，故答案为：2．15．【答案】13【解答】解：如图所示，连接AG并延长，交BC于点M，∵点G是△ABC的重心，∴AG＝2GM，BM＝CM．∵GD∥BC，∴△AGD∽△AMC，∴GDMC∵AGAM∴GDMC∴GDBC故答案为：1316．【答案】b→【解答】解：∵点E、F分别是平行四边形ABCD的边DC、BC的中点，∴DB→=2EF→=∴AB→=AD即向量AB→关于a→、b→故答案为：b→17．【答案】35【解答】解：如图所示，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE．由tanA=1令BC＝a，则AC＝3a，∴CE＝3a﹣AE＝3a﹣BE．在Rt△BCE中，CE2+BC2＝BE2，∴（3a﹣BE）2+a2＝BE2，∴BE=5在Rt△BCE中，cos∠CBE=BC故答案为：3518．【答案】5：4．【解答】解：延长FE，DA交于G，如图：设AD＝2m，则CD＝AB＝3m，∵AD∥BC，DF∥AB，∴四边形ABFD是平行四边形，∴DF＝AB＝3m，BF＝AD＝2m，∠B＝∠ADF，∵将梯形沿过点D的直线折叠，点C落在AB上，记作点E，∴∠CFD＝∠EFD，EF＝CF，DE＝CD＝3m，∴DE＝DF＝3m，∴∠DEF＝∠EFD，∵DF∥AB，∴∠CFD＝∠B，∠EFD＝∠BEF，∴∠B＝∠BEF，∴EF＝BF＝2m，∵∠B＝∠CFD＝∠EFD＝∠DEF，∠B＝∠ADF，∴∠ADF＝∠DEF，∵∠EFD＝∠DFG，∴△EFD∽△DFG，∴EFDF=DF∴GF＝4.5m，∴GE＝GF﹣EF＝4.5m﹣2m＝2.5m，∵GA∥BF，∴AEBE∴AE：EB＝5：4．故答案为：5：4．三、（本大题共7题，满分78分）19．【答案】5+3【解答】解：2(1−cos30°)+＝2（1−32＝2−＝2−3+3＝2−3+2＝5+320．【答案】（1）开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标（2，﹣1）；（2）详见解析．【解答】（1）解：由表格可知，抛物线经过点（1，0），（3，0），∴对称轴为x=1+3根据表格可知，顶点坐标为（2，﹣1），∵顶点纵坐标比两侧小，∴开口向上；（2）证明：由题易知A（3，0），B（0，3），C（2，﹣1），∴AB2＝32+32＝18，AC2＝（3﹣2）2+（0+1）2＝2，BC2＝（0﹣2）2+（3+1）2＝20，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形．21．【答案】（1）4；（2）45【解答】解：（1）连接AC，交BD于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO＝DO，BC＝AB=5在Rt△CBO中，∵tan∠CBD=COBO=12，BO2+CO∴BO＝2CO，∴（2CO）2+CO2＝（5）2，∴CO＝1，∴BO＝2，∴BD＝4；（2）∵四边形ABCD是菱形，BD＝4，AC＝2CO＝2，∴菱形ABCD的面积=1过点A作AE⊥BC于E，则AE•BC＝4，∴AE=4∴sin∠ABC=AE22．【答案】（1）道闸升起的最大角的正切值为43（2）需要同时升起两个道闸，理由见解答部分．【解答】解：（1）如图：道闸升起，最大角为∠R1EN，最高点Q1应在CD上，延长Q1R1交EF于点X，则∠R1XE＝90°，∵FG＝EP＝1米，道闸升起过程中对边始终保持平行，∴Q1R1＝1米，∵AD＝3.6米，FH＝EW＝0.2米，∴R1X＝3.6﹣1﹣0.2＝2.4米，∵AB＝6.6米，AH＝BW＝0.3米，∴ER1=6.6−2×0.3∴EX=3∴tan∠R1EN=2.4答：道闸升起的最大角的正切值为43（2）需要同时升起两个道闸．理由如下：设汽车为矩形A′B′NC′，一个道闸升起时，汽车应从如图位置进入．∴B′N＝1.9米，由（1）得：ER＝3米，∴EB′＝3﹣1.9＝1.1米，∵tan∠R1EN=4∴A′B′＝1.1×4∴点A′到地面的距离为：2215+0.2∵53∴需要同时升起两个道闸．23．【答案】（1）证明见解答；（2）证明见解答．【解答】证明：（1）∵AE＝EC，∴AC＝2AE，∵AE2=12AD•∴AEAB∴AEAB∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB．（2）取AD的中点F，联结EF、BE，则AF＝DF=12∵AE2=12AD•∴AE2＝AF•AB，∴AEAB∵∠A＝∠A，∴△AFE∽△AEB，∴∠AEF＝∠ABE，∵△ADE∽△ACB，∴∠AED＝∠ABC，∴∠AED﹣∠AEF＝∠ABC﹣∠ABE，∴∠DEF＝∠CBE．24．【答案】（1）y=−1（2）①k＝3；②（1，﹣3）或(1，2+5【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2（a＜0）经过直线y＝﹣x上的点A，∴点A在第四象限，设点A（x，﹣x），由OA=22得点A将点A（2，﹣2）代入y＝ax2（a＜0），得﹣2＝4a，解得a=−1∴该抛物线的表达式为y=−1（2）①∵抛物线y=−12x2先向右平移1个单位，再向上平移∴新抛物线表达式为y=−1如图，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，在Rt△ACH中，tan∠OCA=AH∴CH=9∴OC=5∴点C(0，5将点C(0，52)解得k＝3；②方法一：设直线y＝﹣x与新抛物线的对称轴x＝1交于点E，则点E的坐标为（﹣1，1），∵点B的坐标为（3，1），∴∠OED＝∠DEB＝45°，∵直线x＝1平行于y轴，∴∠COD＝∠ODE，∵OCOD=5∴OCOD∴△OCD∽△OED，∴∠ODC＝∠OED＝45°，∵∠OPB＝∠ODC＝45°，∴∠OPE＜45°，分两种情况：Ⅰ．当点P在线段DE的延长线上时，∵∠OED＝∠DEB＝45°，∴∠OEP＝∠PEB＝135°，∴∠OPE+∠POE＝∠OPE+∠PBE＝45°，∴∠POE＝∠EPB，∴△OPE∽△PBE，∴PEOE∴PE∴PE＝2，∴点P的坐标为（1，﹣3）；Ⅱ．当点P在射线DE上时，∵∠BDE＝45°，∴∠OPD＜45°，∴点P在ED的延长线上，在直线x＝1上取点F（1，1），同理可得△OPF∽△PBD，∴PFOF∴PF•PD＝OF•BD，∴(2+PD)⋅PD=2∴PD=5∴点P的坐标为(1，2+5综上所述：点P的坐标为（1，﹣3）或(1，2+5方法二：如图，作CH⊥OD，由等面积可得，CH=OC⋅∵CD=(1−0∴sin∠CDH=CH∴∠ODC＝45°，∴∠OPB＝45°，∴点O、P、B三点共圆，圆心为Q，∴∠OQB＝90°，①当点P在OB下方时，易证△OMQ≌△QNB（AAS），∴设OM＝NQ＝m，QM＝BN＝n，∴m+n=3n−m=1，解