2025年山东省济南市历城区中考数学一模试卷附答案

中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（4分）在0，﹣2，−5，πA．0 B．﹣2 C．−5 D．2．（4分）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数21500000用科学记数法表示为（）A．2.15×107 B．0.215×109 C．2.15×108 D．21.5×1073．（4分）篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（）A． B． C． D．4．（4分）如图，直线a∥b，将直角三角板的直角顶点放在直线b上，已知∠1＝55°，则∠2的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．125°5．（4分）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式不正确的是（）A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C．﹣a﹣b＜0 D．|a|＞b6．（4分）2024年7月，第33届夏季奥林匹克运动会（The33rdSummerOlympicGames）在法国巴黎举办．下面是巴黎奥运会一些项目图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．7．（4分）某博物馆开展“文化讲解员”招募活动．两位同学分别从“恐龙化石展”、“矿物世界展”、“海洋贝类展”、“动物迁徙展”四个展厅中随机选择一个进行讲解，则两位同学选择同一个展厅的概率为（）A．16 B．14 C．138．（4分）如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）图象上，若直线BC的函数表达式为y=1A．6 B．12 C．16 D．249．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，分别以点A和B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交BC于点D，连接AD，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交射线BC于点E，连接AE．若AD＝4，则A．25+2 B．25+1 C．10．（4分）在平面直角坐标系中，对于点P（x1，y1）和点Q（x2，y2），若满足x1+x2＝y1+y2，我们称点P和点Q互为等和点．下列结论：①若点P坐标为（1，3），则点P的等和点Q在直线y＝x﹣2上；②若点P、Q分别在函数y＝x2﹣x、y＝x+1的图象上，点P和Q互为等和点，则点P的坐标为（1，0）；③若点P坐标为（﹣3，2），则无论a取何值，直线y＝ax﹣3a+1上有且只有一个点是点P的等和点；④若点P坐标为（n，0），则二次函数y＝﹣x2﹣nx+1的图象上总存在点P的等和点．其中，正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。）11．（4分）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是．12．（4分）化简a−2a+3⋅a13．（4分）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角∠1的大小为°．14．（4分）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的3倍．设聪聪行走的时间为x（s），聪聪和慧慧行走的路程分别为y1（cm），y2（cm），y1，y2与x的函数图象如图所示，则慧慧追上聪聪时，聪聪行走的路程是cm．15．（4分）如图，在▱ABCD中，点P是边AD上一点，将△PDC沿直线PC折叠，点D的对应点为E．当点E恰好落在AB边上时，若AP＝2，PD＝3，DC＝13，则AE的长为．三、解答题（本大题共10个小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）16．（7分）计算：(π−5)017．（7分）解不等式组：1218．（7分）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F．求证：DE＝DF．19．（8分）如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯AB和汽车折臂升降机的折臂底座CD都垂直于地面MN，且它们之间的水平距离BC＝2m，折臂底座高CD＝1.5m，上折臂AE与下折臂DE的夹角∠AED＝88°，下折臂DE与折臂底座的夹角∠CDE＝135°，下折臂端点E到地面MN距离是4.5m．（1）求下折臂DE的长；（2）求路灯AB的高．（结果精确到0.1m，参考数据：sin43°＝0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，220．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点F，过点A作AD⊥CF，交直线CF于点D，交⊙O于点E．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若CD＝2，AD＝4，求线段AF的长．21．（9分）某研究所甲、乙试验田各有水稻稻穗5万个，为了考查水稻穗长的情况，研究员于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x（单位：cm），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲试验田穗长的频数分布统计表如表1所示（不完整）：b．乙试验田穗长的频数分布直方图如图所示：甲试验田穗长频数分布表（表1）分组/cm频数频率4.5≤x＜540.085≤x＜5.5n5.5≤x＜6140.286≤x＜6.5110.226.5≤x＜7m0.207≤x＜7.52合计501.00c．乙试验田穗长在6≤x≤6.5这一组的是：6.1，6.2，6.2，6.2，6.3，6.3，6.3，6.4，6.4d．甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表2）：试验田平均数中位数众数方差甲5.9245.85.80.454乙5.924w6.50.608根据以上信息，回答下列问题：（1）表1中m的值为，n的值为；（2）表2中w的值为；（3）在此次考查中，穗长为5.9cm的稻穗，穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是；稻穗生长（长度）较稳定的试验田是；（4）若穗长在5.5≤x＜7范围内的稻穗为“良好”，请估计乙试验田所有“良好”的水稻约为多少万个？22．（10分）某文教店老板到批发市场选购A、B两种品牌的绘图工具套装，每套A品牌套装进价比B品牌每套套装进价多2.5元，已知用200元购进A种套装的数量和用150元购进B种套装的数量相同．（1）求A、B两种品牌套装每套进价分别为多少元？（2）若A品牌套装每套售价为12元，B品牌套装每套售价为10.5元，店老板决定，购进B品牌的数量比购进A品牌的数量的2倍还多4套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过120元，则最少购进A品牌工具套装多少套？23．（10分）如图，一次函数y=12x+b的图象与反比例函数y=kx（k＞0）的图象分别交于点A（4，m）和点B（n，﹣2），且与（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）如图1，将直线y=12x+b向上平移d（d＞0）个单位，平移后的直线与y=kx（k＞0）的图象在第一象限交于点P，若S△PCA（3）如图2，Q是第二象限内一点，∠QCO＝45°，连接QB，将△QCB绕点O顺时针旋转90°，点Q的对应点恰好落在该反比例函数图象上，求点Q的坐标．24．（12分）抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）交x轴于A（﹣1，0），B两点（B在A）的右侧，交y轴于点C(0，−5（1）求此抛物线的表达式；（2）如图1，连接BC，过动点M作MD⊥BC，垂足为点D，连接CM．当DM=545（3）如图2，过动点M作BC的平行线交y轴于点N，若射线AC平分线段MN，求点M的坐标．25．（12分）（一）模型呈现（1）如图1，点A在直线l上，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥l于点C，过点D作DE⊥l于点E，由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D，又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝，BC＝．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；（二）模型体验（2）如图2，在△ABC中，点D为AB上一点，DE＝DF＝3，∠A＝∠EDF＝∠B，四边形CEDF的周长为10，△ABC的周长为18．小诚同学发现根据模型可以推理得到△ADE≌△BFD，进而得到AE＝BD，AD＝BF，那么AB＝AE+BF，再根据题目中周长信息就可得AB＝；（三）模型拓展（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．请猜想线段DE，AD，BE之间的数量关系，并写出证明过程；（四）模型应用（4）如图4，已知在矩形ABCD中，AB＝14，BC＝7，点E在CD边上，且DE＝4．P是对角线AC上一动点，Q是边AD上一动点，且满足sin∠EPQ=255，当P在AC上运动时，请求线段AQ

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案C．ADACBBDCB一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．【答案】C．【解答】解：∵−5＜−2＜0＜∴最小的数是：−5故选：C．2．【答案】A【解答】解：21500000＝2.15×107．故选：A．3．【答案】D【解答】解：俯视图为是．故选：D．4．【答案】A【解答】解：如图：∵a∥b，∴∠1＝∠3＝55°，∵∠BAC＝90°，∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠BAC＝35°，故选：A．5．【答案】C【解答】解：由数轴可知，a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，a﹣b＜0，﹣a﹣b＞0，|a|＞b，∴C选项错误，故选：C．6．【答案】B【解答】解：A、C、D中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故A、C、D不符合题意；B、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故B符合题意．故选：B．7．【答案】B【解答】解：将“恐龙化石展”、“矿物世界展”、“海洋贝类展”、“动物迁徙展”四个展厅分别记为A，B，C，D，列表如下：ABCDA（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）共有16种等可能的结果，其中两位同学选择同一个展厅的结果有4种，∴两位同学选择同一个展厅的概率为416故选：B．8．【答案】D【解答】解：在y=12x﹣4中，令y＝0，则令x＝0，则y＝﹣4，∴B（8，0），G（0，﹣4），∴OB＝8，OG＝4，过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠EAB+∠ABE＝∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠EAB＝∠CBF，在△AEB与△BFC中，∠AEB=∠BFC=90°∠BAE=∠FBC∴△AEB≌△BFC（AAS），∴AE＝BF，BE＝CF，∵∠BOG＝∠BFC＝90°，∠OBG＝∠CBF，∴△OBG∽△FBC，∴CFBF∴设CF＝a，BF＝2a，∴AE＝2a，BE＝a，∴A（8﹣a，2a），C（8+2a，a），∵点A，点C在反比例函数y=kx（k＞0，∴2a（8﹣a）＝a（8+2a），∴a＝2，a＝0（不合题意舍去），∴A（6，4），∴k＝4×6＝24，故选：D．9．【答案】C【解答】解：由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，AE＝AD＝4，∴CD＝CE，∠ADE＝∠AED，AD＝BD＝4，∴∠B＝∠BAD＝36°，∴∠ADE＝∠AED＝∠B+∠BAD＝72°，∴∠EAB＝180°﹣∠B﹣∠BEA＝72°，∴∠ADE＝∠BAE．∵∠AED＝∠BEA，∴△AED∽△BEA，∴AEBE即AE2＝BE•DE．设CD＝CE＝x，则BE＝BD+DE＝4+2x，DE＝2x，∴42＝（4+2x）•2x，解得x=5−1或∴CD=5∴BC＝BD+CD＝4+5故选：C．10．【答案】B【解答】解：∵点P坐标为（1，3），且点Q和点P互为等和点，∴xQ+1＝yQ+3．∴yQ＝xQ﹣2，∴点Q在直线y＝x﹣2上，故①正确．令点P坐标为（，2﹣）点Q坐标为（xQ，xQ+1），∵点P与点Q互为等和点，∴∴xP＝1．∴点P坐标为（1，0），故②正确．令点P的等和点坐标为（m1，n1），∴m1﹣3＝n1+2，∴n1＝m1﹣5，即点P的等和点在直线y＝x﹣5上．当a＝1时，直线的解析式为y＝x﹣2，显然直线y＝x﹣2与直线y＝x﹣5平行，∴点P的等和点此时一定不在直线y＝ax﹣3a+1上，故③错误．令点P的等和点坐标为（m2，n2），∴m2+n＝n2，即点P的等和点在直线y＝x+n上．由﹣x2﹣nx+1＝x+n得，x2+（n+1）x+n﹣1＝0，∴Δ＝（n+1）2﹣4（n﹣1）＝n2+2n+1﹣4n+4＝（n﹣1）2+4＞0，∴此方程一定有两个不相等的实数根，即二次函数y＝﹣x2﹣nx+1图象上总存在点P的等和点，故④正确．故选：B．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。）11．【答案】49【解答】解：设小正方形的面积为a，∵飞镖游戏板由大小相等的9个小正方形格子构成，∴飞镖游戏板的面积为9a，阴影区域的面积为4a，∴随意投掷一个飞镖，击中阴影区域的概率为4a9a故答案为：4912．【答案】aa+2【解答】解：a−2=a−2=a故答案为：aa+213．【答案】45．【解答】解：∵正八边形的每一个外角都相等，外角和为360°，∴它的一个外角∠1＝360°÷8＝45°．故答案为：45．14．【答案】240．【解答】解：∵30÷（17﹣14）＝10（cm/s），∴慧慧提速前速度为10cm/s，提速后速度为30cm/s；∵（450﹣30）÷30＝14（秒），∴m＝17+14＝31，∴聪聪的速度为310÷31＝10（cm/s），∴y1＝10x（0≤x≤45），当17≤x≤31时，y2＝30+30（x﹣17）＝30x﹣480，慧慧追上聪聪时，y1＝y2，即10x＝30x﹣480，解得x＝24，此时y1＝10×24＝240；故答案为：240．15．【答案】133【解答】解：延长CP与BA点F，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，CD＝13，∴CD∥AB，∴∠F＝∠DCP，由折叠的性质得：∠DCP＝∠ECP，CD＝CE＝13，∴∠F＝∠ECP，∴EF＝CE＝13，设AE＝a，∴AF＝EF﹣AE＝13﹣a，∵CD∥AB，∴CD∥AF，∴△PCD∽△PFA，∴CDAF∵AP＝2，PD＝3，∴1313−a解得：a=13∴AE＝a=13故答案为：133三、解答题（本大题共10个小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）16．【答案】32【解答】解：原式=1+2＝1+2=3217．【答案】﹣6．【解答】解：12解：解不等式①得，x＜1，解不等式②得，x＞﹣4，∴不等式组的解集为﹣4＜x＜1，∴不等式组所有整数解为：﹣3、﹣2、﹣1，0．∴所有整数解得和为﹣3+（﹣2）+（﹣1）+0＝﹣6．18．【答案】见解析．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BA＝BC＝AD＝DC，∠A＝∠C，∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠BEA＝∠BFC＝90°，在△ABE与△CBF中∠BEA=∠BFC∠A=∠C∴△ABE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF∴AD﹣AE＝DC﹣CF，即DE＝DF．19．【答案】（1）下折臂DE的长约为4.2m；（2）路灯AB的高约为9.2m．【解答】解：（1）过点E作EG⊥MN于点G，过点D作DH⊥EG于点H，∴HG＝DC＝1.5，∠HDC＝90°，∴EH＝EG﹣HG＝4.5﹣1.5＝3，∵∠CDE＝135°，∴∠EDH＝∠EDC﹣∠HDC＝45°．∴在Rt△EHD中，ED=32答：下折臂DE的长约为4.2m．（2）过点E作EK⊥AB，垂足为K．∵EK∥HD，∴∠KED＝∠EDH＝45°．∵∠AED＝88°，∴∠AEK＝∠AED﹣∠KED＝43°，∵GC＝HD＝3，BC＝2，∴BG＝5，由题意可得四边形EGBK是矩形，∴EK＝5，KB＝4.5，在Rt△AEK中，tan43°=AK∴AK＝EK•0.93°≈5×0.93＝4.65．∴AB＝KB+AK＝4.5+4.65＝9.15≈9.2（m）．答：路灯AB的高约为9.2m．20．【答案】（1）证明见解析；（2）203【解答】（1）证明：连接OC，∵FC与⊙O相切于点C，∴FC⊥OC，即∠FCO＝90°，∵AD⊥CF，∴∠ADF＝90°，∴∠FCO＝∠ADF，∴OC∥AD，∴∠OCA＝∠CAD，∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC＝∠CAD，∴AC平分∠BAD；（2）解：∵CD＝2，AD＝4，∴AC=25∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠D＝90°，∵∠BAC＝∠CAD，∴△ABC∽△ACD，∴ABAC∴AB2∴AB＝5，∴OA＝OC＝2.5，∵∠FCO＝∠D，∠F＝∠F，∴△FCO∽△FDA，∴FOFA∴AF−2.5AF∴AF=2021．【答案】（1）10，0.18；（2）6.15；（3）甲，甲；（4）估计乙试验田所有“良好”的水稻约为3万个．【解答】解：（1）m＝50×0.2＝10，7≤x＜7.5这一组的频率为2÷50＝0.04，∴n＝1﹣（0.08+0.28+0.22+0.20+0.04）＝0.18，故答案为：10，0.18；（2）表2中w的值为6.1+6.22故答案为：6.15；（3）穗长为5.9cm的稻穗在甲试验田在中位数之前，在乙试验田中在中位数之后，所以穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是甲，因为甲试验田的稻穗长度的方差小，所以稻穗生长（长度）较稳定的试验田是甲，故答案为：甲、甲；（4）5×7+9+14答：估计乙试验田所有“良好”的水稻约为3万个．22．【答案】（1）A品牌套装每套进价为10元，B品牌套装进价为7.5元；（2）最少购进A品牌工具套装14套．【解答】解：（1）设A品牌套装每套进价为x元，则B品牌套装进价为（x﹣2.5）元，由题意得：200x解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，∴x﹣2.5＝7.5，答：A品牌套装每套进价为10元，B品牌套装进价为7.5元；（2）设购进A品牌套装m套，则购进B品牌套装（2m+4）套，由题意得：（12﹣10）m+（10.5﹣7.5）（2m+4）＞120，解得：m＞13.5，∵m为正整数，∴m的最小值为14，答：最少购进A品牌工具套装14套．23．【答案】（1）y=6（2）2.5；（3）点Q的坐标为（﹣2，3）．【解答】解：（1）由点C（1，0）在一次函数y=12x+b一次函数的表达式为y=1由点A（4，m）在直线y=12x−∴A(4，3把A(4，32)得k＝6，∴反比例函数的表达式为y=6（2）作PD∥y轴交直线AB于点D，∵S△PCA∴12∴12∴PD=5∴d=PD=5（3）连接OQ，设点Q的对应点为点G，过点G作GN⊥x轴于N，过点Q作QM⊥x轴于M，由旋转的性质可知：OQ＝OG，∠QOG＝90°，∴∠GON+∠QOM＝90°，∵QM⊥x轴，GN⊥x轴，∴∠QMO＝∠GNO＝90°，∴∠OQM+∠QOM＝90°，∴∠OQM＝∠GON，∴△QOM≌△OGN（AAS），∴QM＝ON，OM＝GN，∵点C（1，0），∠QCO＝45°，∴OC＝1，△QMC为等腰直角三角形，设OM＝t，则CM＝QM＝t+1，∴ON＝QM＝t+1，GN＝OM＝t，∴点G的坐标为（t+1，t），∵点G（t+1，t）在反比例函数y=6∴t（t+1）＝6，解得：t1＝2，t2＝﹣3（不合题意，舍去），当t＝2时，t+1＝3，∴点Q的坐标为（﹣2，3）．24．【答案】（1）y=1（2）MC=25（3）M(2，−9【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c过A(−1，0)，C(0，−5∴a+2+c=0c=−解得：a=1∴抛物线解析式为：y=1（2）∵抛物线y=12x2−2x−52∴B（5，0），∴BC解析式为：y=1如图，过M点作ME⊥x轴，垂足为E，交BC于点M′，∵DM⊥BC，∴∠DMM′＝OBC，又∵∠BOC＝∠MDM′＝90°，∴△MDM′∽△BOC，∴DMMM′又∵DM=5∴MM’=25设M(m，12m∴12解得：m1∴M(5∵C(0，−5∴MC=25（3）∵A(−1，0)，C(0，−5∴AC解析式为：y=−5过M作y轴平行线交射线AC于点F，∵射线AC平分MN，设M(n，12n∴FM==1过M作y轴垂线，垂足为H，∵MN∥BC，∴∠OCB＝∠HNM，∴tan