时间数列的分解分析

统计学时间数列的分解分析时间数列分析模型：加法模型：Y=T+S+C+I（四种变动因素相互独立）乘法模型：Y=T·S·C·I（四种变动因素之间存在着某种相互影响的关系）影响时间数列的因素长期趋势（trend）季节变动（seasonalfluctuation）循环变动（cyclicalfluctuation）不规则变动（irregularfluctuation）

一、长期趋势及其测定长期趋势（用T表示）是时间数列的基本形式，是指现象在较长一段时期内，由于普通的、持续的、决定的基本因素的作用，使发展水平所呈现的逐渐增加向上发展或逐渐减少向下发展的趋势。

（一）移动平均法（movingaverage）移动平均法是从时间数列的第一项指标数值开始，按照一定的时间间隔（固定的项数），逐项移动求其序时平均数的修匀方法。年份销售额/亿元三项移动平均五项移动平均四项移动平均四项修正移动平均19974.80－－－19985.335.63－－6.0719996.766.496.166.296.5020007.386.896.606.716.9220016.546.977.047.027.1120027.007.027.527.337.5520037.527.897.847.868.1620049.148.558.408.648.7520058.989.35－－20069.35－－－某商场1997—2006年商品销售额单位：亿元销售额5年移动平均线3年移动平均线图5-3移动平均法

移动平均法也可借助于Excel来计算（此时，移动平均数是放置在平均时段的最后一个位置上的）。例9：根据表5-9中的居民消费价格指数数据，分别取移动项数k=3和k=5，用Excel计算各期的居民消费价格指数的移动平均值。表5-9人均国内生产总值等时间数列解：将数据录入Excel工作表。点“工具”/“数据分析”，在出现的对话框中选择“移动平均”，点“确定”，出现如图5-4的对话框。

图5-4移动平均的Excel操作在对话框中，“输入区域”一栏填时间数列的数据所在区域B2︰B16,“间隔”填移动平均的项数3，“输出区域”填C2︰C16，根据需要可自主选择“图表输出”、“标准误差”项，然后点“确定”，得移动平均的结果。重复上述步骤，在“间隔”一栏填5，可得5项移动平均的结果，如表5-10所示。

表5-10Excel输出的平均移动平均结果

（二）趋势线配合法趋势线配合法是在对原时间数列资料进行初步分析的基础上，根据其发展变化趋势的类型，用数学的方法配合适当的方程式，以反映现象长期变动趋势的一种方法。根据现象发展变化的趋势不同，趋势线配合法一般可分为直线趋势和曲线趋势两种。

如果时间数列的数据大体上按逐期等量增加或减少，则可以认为这种现象的基本发展趋势是直线型，因而应配合相应的直线方程来反映其长期趋势。

yt=a+bx式中，x为时间数列中的时间顺序值，是自变量；

yt为时间数列的预测趋势值；

a为起始值，即当x=0时趋势直线在y轴上的截距；

b为斜率，代表x每变动一个单位时间发展水平y的平均增减量。

1．平均法平均法是将全部时间数列资料分为相等的两部分(奇数项时舍弃最初一项资料)，分别计算出各部分的平均数,代入配合直线方程yt=a+bx中，求解a与b的方法。利用平均法，求配合直线的数学依据是：时间数列的实际值y与相应的趋势值yt的离差之和等于0。即∑(y-yt)=0。

2．最小平方法最小平方法也叫最小二乘法，是建立趋势方程、分析长期趋势较为常用的方法。它是依据时间数列的观察值与趋势值的离差平方和为最小值的基本原理，拟合一种趋势模型，然后利用数学中求极值的方法来确定方程中的待定系数、建立方程。原时间数列中各期的指标数值(y)与其对应的趋势值(yt)的离差平方和为最小值。即：∑（y-yt）2=最小值原时间序列中各期的指标数值(y)与其对应的趋势值(yt)的离差和等于零，即∑(y-yt)=0设拟合的趋势直线方程为：

yt=a+bx按照最小平方法的要求，则

D＝∑(y-yt)2

＝∑［y-(a+bx)］2

＝∑(y-a-bx)2

＝最小值将D看做关于a和b的函数，要使D为最小值，必须使

于是得：整理后得下列联立方程式：

求解联立方程式，得：将时间数列中的时间x及对应的发展水平y，一并代入a、b公式，即可求得系数a和b，从而得到直线趋势方程yt=a+bx。实际计算的时候，是用时间刻度来作为自变量x的。例10：已知某企业1998－2006年产品销售额如表5-11所示。试用最小平方法配合趋势直线方程，并预测2007年和2008年的销售额。解：用x＝0，1，…，8分别代表时间1998，1999，…，2006年。将计算过程表达在表5-12中。

年份199819992000200120022003200420052006销售额(万元)100119125135147159167179195表5-11某企业1998－2006年产品销售额表5-12最小平方法计算表年份时间序号x销售额yx2xy199801000019991119111920002125425020013135940520024147165882003515925795200461673610022005717949125320068195641560合计3613262045972将表5-12中有关数值代入计算公式：即趋势直线方程为：

yt=102.8+11.13x将2007年的时间刻度x＝10代入趋势方程得2007年销售额的预测值：

y2007=102.8+11.13×10=214.1万元同理，2008年的销售额预测值为：

y2008=102.8+11.13×11=225.23万元最小平方法建立趋势直线方程也可借助于Excel来操作。下面结合例10介绍其操作步骤：①将数据输入Excel工作表中。其中时间刻度x的值输入A2︰A10，发展水平y的值输入B2︰B10。②点击“工具”/“数据分析”，在对话框中选择“回归”，然后点击“确定”。③在出现的对话框中，填入相应内容。其中“Y值输入区域”一栏填入“B2︰B10”，“X值输入区域”一栏填入“A2︰A10”，其他项根据自己的需要加以选择。然后单击“确定”，得表5-13的结果。表5-13最小平均法的Excel计算结果其中，“XVariable1”所对应的“Coefficients”11.13333333就是b的值，“Intercept”所对应的“Coefficients”102.8就是a的值，即直线趋势方程为：

yt＝102.8＋11.13x当然，也可直接把时间做自变量x，只是得到的趋势直线方程中的a会不同。

二、季节变动的测定季节变动(S)，是指时间数列中的指标数值由于受各种因素的影响，在一年内随着季节的更替而产生的周期性变动。测定季节变动的方法，主要分为两种：按月（季）平均法和趋势剔除法。

（一）按月（季）平均法按月（季）平均法是指不考虑现象长期趋势的影响，以历年的各月（季）平均数同全时期月（季）平均数相比求得季节指数来反映现象季节规律的方法。这种方法适合于不含长期趋势的季节变动分析。计算过程是：是先分别计算各年同月（季）平均数，再计算出各年所有月（季）的总平均数，然后将各年同月（季）平均数与总平均数进行对比，求得季节指数（可称为季节比率）。如果某月（季）的季节指数大于100%，则该月（季）为旺季；如果小于100%，则为淡季。例11：某超市2003年—2006年各月毛线销售量如表5-14所示，试计算各月的季节指数。表5-14某超市2003年—2006年各月毛线销售量单位：kg月份20032004200520061801502402802609015014032040608041025403056102012648119781232378122040489203570831050851501401121034042047012250350480510解：第一步：计算各年同月(季)的算术平均数。一月份的平均值=二月份的平均值=……依此类推，计算到十二月份，计算结果填入表5-15的第(6)栏中。第二步：计算总的月(季)平均数。总的月平均值=或全部48个月的销售量除以48，同样得到总平均数113.5kg。第三步：计算每月(季)的季节指数ai。一月份的季节指数二月份的季节指数……计算到十二月份的a12填入表5-15的第(7)栏中。

第四步：调整各月(季)季节指数。从理论上讲，1—12月份季节指数之和应等于1200%(季资料为400%)，但是由于计算中的四舍五入而使得季节指数或大于、或小于1200%。对此，应计算调整系数，予以调整。将调整系数分别与表5-15第(7)栏中1—12月份季节指数相乘，即得调整后的季节指数，填入表5-15的第(8)栏中。一月份调整后季节指数二月份调整后季节指数以此类推，计算到12月份。从计算结果可以看出，显然冬季11、12和1、2月份的销售量很大，是销售旺季，而夏季的销售量很小，是销售的淡季。

==月份2003200420052006月平均值季节指数/%调整后季节指数/%(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)180150240280187.5165.2165.2126090150140110.096.996.9132040608050.044.144.1041025403026.323.223.205610201212.010.610.606481198.07.07.007812323722.319.619.6081220404830.026.426.4092035708352.045.845.80105085150140106.393.793.7111210340420470360.0317.2317.2312250350480510397.5350.2350.23∑————1361.91199.91200.00表5-15季节指数计算表

（二）趋势剔除法趋势剔除法是利用移动平均法来剔除长期趋势影响后，再来测定其季节指数的方法。这种方法适合于时间数列中包含有长期趋势的季节变动分析。例12：某商店某商品2002—2006年销售量（单位：件）如表5-16所示，分析其季节变动规律。年份季度商品销售量（件）y四项移动平均2002315－418－20031612.252912.7531713.2542013.7520041814.2521114.7531915.2542215.75200511016.2521316.7532117.2542417.752006112－215－表5-16某商店某商品销售量的季节变动分析表解：首先，采用四项移动平均法，求出移动平均数（即长期趋势值）。见表5-16第四栏。其次，以y/yt从原时间数列中剔除掉长期趋势的影响，得剔除趋势值。在剔除了长期趋势的影响后，y/yt中只有季节变动的影响，而没有长期趋势的影响。如表5-17所示。最后，根据剔除趋势值所得的结果，计算季节指数。见表5-18。表5-17剔除趋势值年份季度商品销售量（件）y趋势值yt剔除趋势值（％）（y/yt）20031612.548.982913.070.5931713.5128.3042014.0145.4520041814.556.1421115.074.1431915.5124.5942216.0139.68200511016.561.5421317.077.6132117.5121.7442418.0135.21表5-18计算季节指数年份季度合计1234200348.9870.59128.30145.45393.32200456.1474.58124.59139.68394.99200561.5477.61121.74135.21396.10合计166.66222.78374.63420.341184.41平均数55.5574.261