河北省石家庄二中教育集团2025届高三上学期期末考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页河北省石家庄二中教育集团2025届高三上学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知1+2i是关于x的方程x2−px+q=0的一个根，p,q均为实数，则p+q=(

)A.7 B.3 C.−1 D.−32.已知菱形ABCD的边长为1，且∠BAD=60∘，AB=a，DB=b，A.2 B.23 C.3 3.已知直线ax−y+2=0与圆x−12+y2=4相交于A，B两点，若|AB|=2A.43 B.1 C.−344.在x+1x−2x+3x−4x+5x−a展开式中，含x5的项的系数是A.−6 B.−3 C.3 D.65.在数学中，有很多“若p，则q”形式的命题，有的是真命题，有的是假命题．例如：①若x>−1，则x+1>2；②若一个三角形是等边三角形，则这个三角形是等腰三角形．这里，命题①②都是省略了量词的全称量词命题．则命题①的否定为(

)A.若x>−1，则x+1≤2 B.若x≤−1，则x+1≤2

C.∀x>−1，x+1≤2 D.∃x>−1，x+1≤26.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：ℎ)间的关系为：P=P0e−kt，其中P0、k是正的常数．如果在前5ℎ消除了10%的污染物，那么污染物减少23大约需要花费A.55 B.60 C.64 D.657.sin2A.1 B.2 C.14 D.8.已知平面上两定点A、B，则所有满足|PA||PB|=λ(λ>0且λ≠1)的点P的轨迹是一个圆心在AB上，半径为λ1−λ2⋅AB的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为3的正方体ABCD−A1BA.2π B.4π3+3π 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列结论正确的是(

)A.随机变量X服从二项分布B3,12,Y=2X+1，则DY=3

B.数据x1,x2,x3,⋯,xn的平均数为2，则3x1+1,3x2+1,3x3+1,⋯,3xn+1的平均数为6

C.10.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A、B、C、D都在同一个平面内，若四边形ABCD是边长为2的正方形，则(

)

A.AF//EC

B.ED⊥FC

C.平面ABE与平面CDE不垂直

D.平面CDE与平面ABF之间的距离为211.将锐角三角形▵ABC置于平面直角坐标系中，B−1,0,C1,0，A为x轴上方一点，设▵ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c且bccosA=8，则▵ABC的外心纵坐标可能落在以下(A.0,1 B.12,75 C.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=|ln|x+2||−m，m为正的常数，则f(x)的零点之和为

13.若函数y=ax2与y=lnx+1在公共点处存在公共的切线，则a=14.已知点F是抛物线y2=2pxp>0的焦点，过点F且倾斜角为60∘的直线交抛物线于A、B两点(点A在第一象限)，且OA⋅OB=−3(其中O为坐标原点)，点P在抛物线的准线上，动点H满足：PH=λ四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知数列{an}(1)求{a(2)在an和an+1之间插入n个数，使这n+2个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为dn，求数列{1dn16.(本小题15分)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB

(1)证明：B1C1(2)若B1C=1，B1C1=317.(本小题15分)某校高一学生共有500人，年级组长利用数字化学习软件记录每位学生每日课后作业完成的时长，期中考试之后统计得到了如下平均作业时长n与学业成绩m的数据表：平均作业时长n(单位：小时)1,1.51.5,22,2.52.5,33,3.5学业成绩优秀：90≤m≤10011437435学业成绩不优秀：0≤m≤90136137102187(1)试判断：是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于2小时且小于3小时有关？(2)常用LBA=PBAPBA表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比．已知该校高一学生女生中成绩优秀的学生占比25%附：χ2=nad−bc18.(本小题17分)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且焦距为23，短轴长为(1)求椭圆C的方程；(2)过点A1,0的直线交椭圆C于M、N两点，动点P与M、N、A四点不共线，设直线PM、PN、PA的斜率分别为k1、k2、k3，且满足：219.(本小题17分)帕德近似是法国数学家亨利⋅帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，在计算机数学中有着广泛的应用．给定自然数m,n，我们定义函数fx在x=0处的m,n阶帕德近似为：Rx=a0+a1x+⋅⋅⋅+amxm1+b1x+⋅⋅⋅+bnxn，且满足：f0=R0，(1)求实数a,b的值；(2)证明：x>0时，fx(3)已知x1,x2,x3是函数gx=x参考答案1.A

2.C

3.C

4.B

5.D

6.B

7.D

8.C

9.AC

10.ACD

11.BD

12.−8

13.e214.5

15.解：(1)由题意，得a1=1．

由a1+3a2+5a3+⋯+(2n−1)an=(n−1)3n+1， ①

得a1+3a2+5a3+⋯+(2n−3)an−1=(n−2)3n−1+1(n≥2)， ②

 ①− ②，得(2n−1)an=[(n−1)3n+1]−[(n−2)3n−1+1]=(2n−1)3n−1(n≥2)，

所以a16.【详解】(1)过B1作B1H⊥AC因为面AB1C⊥面ABC，面AB1C∩面所以B1H⊥面ABC，而BC⊂平面ABC，故因为AB1⊥面BCC1所以AB1⊥BC，B所以BC⊥面AB因为在三棱柱ABC−A1B所以BC//B1C1，所以

(2)解法一：由(1)可知：直线B1A，B1由题意B1C=1，B1可得：AA1=BB所以在平行四边形CAA1可得：CA由(1)知：B1H⊥面ABC，由直角三角形AB可得：B1所以点B1到面ABC的距离为又因为A1B1//AB，而A1B1所以A1B1//面ABC，所以点A1设直线A1C与面ABC所成的角为θ，则故直线A1C与面ABC所成的角的正弦值为解法二：

由(1)可知：直线B1A，B1C1，B1C两两垂直，故以B1为坐标原点，分别以因为B1C=1，B1所以A0,0,2，B−3设面ABC的法向量为m=x,y,z，CA由m⋅CA=0m⋅BC=0所以m所以cosm故直线A1C与面ABC所成的角的正弦值为

17.【详解】(1)2×2列联表数据如下：时长n2≤n<3其他总计优秀8020100不优秀120280400总计200300500χ所以有95%的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于2小时且小于3小时有关．(2)设PA=x，则由PBA=0.25而PB=PB∩A又LBA=得PB∩APA而PA=PB∩A由0.25x−0.05=x6，得x=0.6，所以

18.【详解】(1)由题意知，b=1，c=3，a=b2(2)设Mx1,y1当直线MN斜率为0时，不妨令M2,0、N则：k1因为P、M、N、A四点不共线，所以y0≠0，解得当直线MN斜率不为0时，设直线MN的方程为x=ty+1．联立x=ty+1x24+y由韦达定理得y1

于是，k=2因为2k3=2x整理得：−2x0因为P、M、N、A四点不共线，所以x0−1t−综上，点P在定直线x=4上．【点睛】关键点睛：根据斜率公式，结合一元二次方程根与系数关系进行正确的数学运算是解题的关键．

19.【详解】(1)依题意可知，f0=0，R0=a此时，Rx=3x2所以f′0=1，R′0=1故a=0，b=1．(2)设ℎx所以ℎ′x=11+x−由ℎ0=0，所以x>0时，ℎx(3)因为gx=x令φx=lnx−kx−不妨设0<x1<①当k≤0时，φ′x>0，此时φx在0,+∞②当k>0时，令sx=−kx若Δ=1−4k2≤0，即k≥12此时φx在0,+∞单调递减，此时φ若Δ=1−4k2>0，即0<k<12当x∈0,r1时，φ′当x∈r1,r2当x∈r2,+∞时，φ′因为φ′1=1−2k>0，所以0<r1<1<r2因为lnx<x−1x≠1