第26章　反比例函数综合题 教学设计　2024-2025学年人教版数学九年级下册

第26章反比例函数综合题教学设计2024—2025学年人教版数学九年级下册学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容第26章反比例函数综合题教学设计

2024—2025学年人教版数学九年级下册

本节课主要围绕反比例函数的综合应用展开，包括反比例函数图像与性质、反比例函数的解析式求解、反比例函数在实际问题中的应用等。通过本节课的学习，学生能够掌握反比例函数的综合解题方法，提高解决实际问题的能力。核心素养目标培养学生运用数学思维解决实际问题的能力，提高学生的逻辑推理和数学建模素养。通过反比例函数的综合题训练，引导学生学会从实际问题中抽象出数学模型，运用数学语言进行表达和求解，增强数学应用意识和创新能力。同时，强化学生数据分析与几何直观的结合，提升学生在解决复杂问题时综合运用多种数学方法的能力。教学难点与重点1.教学重点，

①掌握反比例函数图像与性质，能够根据反比例函数的性质判断图像的位置和形状；

②熟练运用反比例函数的解析式求解相关量，包括比例系数和自变量；

③理解反比例函数在实际问题中的应用，能够将实际问题转化为数学模型，并运用反比例函数求解。

2.教学难点，

①理解反比例函数图像与坐标轴的交点问题，特别是在交点存在与否的判断上；

②将实际问题转化为反比例函数模型时，如何准确提取信息，建立合适的数学模型；

③解决反比例函数综合题时，如何综合运用代数、几何和实际应用知识，形成完整的解题思路。教学方法与策略1.采用讲授与讨论相结合的教学方法，通过教师讲解反比例函数的基本概念和性质，引导学生进行小组讨论，加深对概念的理解。

2.设计案例研究活动，让学生通过分析实际问题，逐步建立反比例函数模型，并学会运用解析式解决问题。

3.利用多媒体教学，展示反比例函数的图像变化，帮助学生直观理解函数性质；同时，通过在线平台提供互动练习，巩固所学知识。教学流程1.导入新课

详细内容：教师通过提问“大家还记得我们之前学习的正比例函数吗？它的图像和性质有哪些？”来激发学生的回忆。随后，教师展示一个反比例函数的实例，如“一个物体在水平方向上做匀速直线运动，速度与时间成反比，即速度乘以时间等于常数。这种关系可以用反比例函数来描述。”以此引出本节课的主题——反比例函数。

2.新课讲授

详细内容：

①教师讲解反比例函数的定义、图像和性质，通过板书和多媒体展示反比例函数的标准形式和图像特点，如双曲线形状、渐近线等。

②学生跟随教师一起分析几个典型反比例函数的图像，如y=k/x（k≠0）的形式，讨论其图像的对称性、渐近线等性质。

③教师引导学生总结反比例函数图像的性质，并举例说明其在实际问题中的应用。

3.实践活动

详细内容：

①学生独立完成几个关于反比例函数性质的选择题，检验对图像和性质的掌握。

②学生分组进行小组活动，每组选择一个实际情境，如物体的运动、浓度变化等，尝试用反比例函数建立数学模型。

③教师提供一些典型反比例函数的应用题，让学生尝试独立解决，并在全班分享解题过程。

4.学生小组讨论

写3方面内容举例回答：

①关于反比例函数图像的对称性，学生讨论并回答：“反比例函数的图像关于原点对称，即如果点(x,y)在图像上，那么点(-x,-y)也在图像上。”

②关于反比例函数的渐近线，学生讨论并回答：“反比例函数的图像有两条渐近线，分别是x轴和y轴，当x或y趋近于无穷大时，函数值趋近于0。”

③关于反比例函数在实际问题中的应用，学生讨论并回答：“在计算物体运动速度与时间的关系时，如果速度与时间的乘积是一个常数，那么它们之间的关系就是反比例函数。”

5.总结回顾

内容：教师引导学生回顾本节课所学内容，强调反比例函数的定义、图像和性质，以及其在实际问题中的应用。教师通过几个实例，让学生再次体验反比例函数的应用过程，并提醒学生在解决实际问题时要注意信息的提取和数学模型的建立。

用时：15分钟

（以下为教学流程的详细时间分配）

1.导入新课：5分钟

2.新课讲授：

-反比例函数定义、图像和性质讲解：10分钟

-学生跟随教师分析典型反比例函数：5分钟

3.实践活动：

-学生独立完成选择题：10分钟

-学生分组进行小组活动：15分钟

-学生分享解题过程：10分钟

4.学生小组讨论：10分钟

5.总结回顾：5分钟知识点梳理1.反比例函数的定义

-反比例函数是指两个变量之间的关系，其中一个变量的值是另一个变量值的倒数乘以一个常数。

-一般形式：y=k/x（k≠0，k为常数）

2.反比例函数的图像

-反比例函数的图像是一条双曲线，其形状和位置取决于比例系数k的符号和大小。

-当k>0时，图像位于第一和第三象限；当k<0时，图像位于第二和第四象限。

3.反比例函数的性质

-反比例函数的图像有两条渐近线，分别是x轴和y轴。

-反比例函数的图像关于原点对称。

-当x或y趋近于无穷大时，函数值趋近于0。

4.反比例函数的解析式求解

-已知反比例函数的图像上一点（x₀,y₀），可以求出函数的解析式：y=k/x，其中k=x₀y₀。

-已知反比例函数的图像上一点（x₀,y₀）和比例系数k，可以求出函数的解析式：y=k/x。

5.反比例函数在实际问题中的应用

-物理问题：速度与时间的关系、电流与电阻的关系等。

-化学问题：浓度与体积的关系、化学反应速率与反应物浓度的关系等。

-经济问题：成本与产量的关系、收入与支出的关系等。

6.反比例函数综合题解题技巧

-提取信息：从实际问题中提取关键信息，如变量之间的关系、已知量和未知量等。

-建立模型：根据提取的信息，建立合适的反比例函数模型。

-求解问题：运用反比例函数的性质和解析式，求解实际问题。

7.反比例函数与正比例函数的区别

-正比例函数的图像是一条通过原点的直线，其斜率是常数。

-反比例函数的图像是一条双曲线，其渐近线是坐标轴。

8.反比例函数与一次函数、二次函数的关系

-一次函数的图像是一条直线，其斜率和截距是常数。

-二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向和顶点位置取决于二次项系数和常数项。

-反比例函数的图像是一条双曲线，其渐近线是坐标轴。

9.反比例函数在坐标系中的应用

-利用坐标系绘制反比例函数的图像，观察图像的特点。

-在坐标系中分析反比例函数的性质，如对称性、渐近线等。

10.反比例函数在数学竞赛中的应用

-在数学竞赛中，反比例函数常常作为问题背景，要求参赛者运用反比例函数的知识解决问题。板书设计①反比例函数定义

-定义：y=k/x（k≠0，k为常数）

-关键词：变量关系、倒数、常数

②反比例函数的图像

-图像：双曲线

-关键词：第一、三象限；第二、四象限；渐近线

③反比例函数的性质

-对称性：关于原点对称

-渐近线：x轴和y轴

-无穷大时的值：趋近于0

④解析式求解

-已知点（x₀,y₀）：k=x₀y₀

-已知点和k：y=k/x

⑤实际应用

-物理问题：速度与时间

-化学问题：浓度与体积

-经济问题：成本与产量

⑥解题技巧

-提取信息

-建立模型

-求解问题

⑦区别

-正比例函数：直线，斜率和截距

-二次函数：抛物线，开口方向和顶点

-反比例函数：双曲线，渐近线

⑧坐标系应用

-绘制图像

-分析性质

-对称性、渐近线

⑨竞赛应用

-问题背景

-应用反比例函数知识

-解决实际问题课后拓展1.拓展内容：

-阅读材料：《数学的故事》中关于反比例函数的章节，通过故事形式了解反比例函数的历史背景和应用实例。

-视频资源：数学教育频道中的反比例函数专题视频，通过动画和实例讲解反比例函数的图像和性质。

2.拓展要求：

鼓励学生在课后时间自主学习和拓展以下内容：

-**阅读《数学的故事》中关于反比例函数的章节**：这本书通常会包含数学家们如何发现和利用反比例函数的故事，以及它在不同领域中的应用。学生可以通过阅读这些故事，了解反比例函数的起源和发展，以及它在科学、工程和日常生活中的重要性。

-**观看数学教育频道中的反比例函数专题视频**：这些视频通常以清晰的方式解释反比例函数的概念，并通过实际例子展示其应用。学生可以通过观看视频，加深对反比例函数图像和性质的理解，同时学习如何将这些数学知识应用到实际问题中。

-**解决实际生活中的问题**：学生可以尝试在日常生活中寻找反比例函数的应用，例如，在购物时计算折扣和总价的关系，或者在烹饪时根据食材的分量调整配料比例。

-**设计反比例函数模型**：学生可以自己设计一个反比例函数模型，比如描述两辆车相向而行，速度与相遇时间的关系，或者描述一个变量随另一个变量增加而减少的情况。

-**小组合作研究**：学生可以组成小组，选择一个与反比例函数相关的研究课题，如“反比例函数在物理学中的应用”或“反比例函数在经济学中的模型构建”，并进行研究和讨论。

教师可提供以下指导和支持：

-推荐阅读《数学的故事》中关于反比例函数的章节，并提供购买或借阅的途径。

-分享数学教育频道中反比例函数专题视频的链接，或者指导学生如何搜索这些资源。

-鼓励学生将实际问题带入课堂，分享他们在家庭作业或日常生活中的发现。

-提供一些在线资源，如数学教育网站、数学论坛等，供学生自主学习和讨论。

-定期组织小组展示会，让学生分享他们的研究成果和模型设计。教学反思教学反思

这节课下来，我觉得收获颇丰，但也发现了一些需要改进的地方。

首先，我觉得课堂的导入环节做得不错。通过提问和实例引入，学生们很快就进入了学习状态。我发现，当问题与学生的实际生活相关时，他们的兴趣会更高，参与度也更积极。比如，我提到了物体运动的速度与时间的关系，这是一个非常贴近学生生活的例子，他们很快就能够理解反比例函数的基本概念。

然后，我在新课讲授环节，尝试通过板书和多媒体展示来讲解反比例函数的性质和图像。我发现，多媒体的使用对于直观展示函数图像非常有帮助，学生们能够更清楚地看到函数的变化趋势。但是，我也注意到，有些学生对于函数图像的理解还是不够深入，他们可能需要更多的练习来巩固这一部分的知识。

在实践活动环节，我设计了几个实际问题，让学生尝试用反比例函数来解决问题。这个环节我觉得做得还可以，学生们在小组讨论中能够积极地交流想法，互相帮助。但是，我也发现，有些学生在面对复杂问题时，还是不太会提取关键信息，这可能是他们在之前的学习中缺乏这方面的训练。

总结回顾环节，我通过几个实例让学生再次体验反比例函数的应用过程。我觉得这个环节做得比较成功，学生们能够清晰地回顾所学内容，并且能够将理论知识与实际问题相结合。但是，我也发现，有些学生在回答问题时，对于一些细节的处理不够准确，这可能是因为他们在练习时不够细致。

1.在今后的教学中，我需要更加注重学生的个体差异，针对不同层次的学生提供相应的教学策略。

2.我需要设计更多样化的实践活动，让学生在解决问题的过程中，更好地掌握反比例函数的应用。

3.我需要在课堂上更多地鼓励学生提问和讨论，培养他们的自主学习能力。

4.我需要加强对学生细节处理能力的训练，让他们在解答问题时更加准确无误。

我相信，通过不断的反思和改进，我能够更好地帮助学生们掌握反比例函数的知识，提高他们的数学素养。教学评价与反馈1.课堂表现：

学生们在课堂上的参与度很高，能够积极回答问题，尤其是在讨论反比例函数图像和性质时，学生们表现出浓厚的兴趣。大部分学生能够准确理解并复述反比例函数的定义和图像特征，但对于一些抽象的概念，如渐近线，部分学生理解起来较为困难。

2.小组讨论成果展示：

在小组讨论环节，学生们展现了良好的合作精神。他们能够有效地分工合作，共同解决问题。在展示成果时，每个小组都能够清晰地阐述他们的解题思路和过程。尤其是在设计反比例函数模型的部分，学生们能够结合实际情境，提出合理的假设，并运用所学知识进行计算和验证。

3.随堂测试：

随堂测试结果显示，学生们对于反比例函数的基本概念和图像性质掌握得较好，但在解决实际问题时，部分学生对于如何提取信息和建立数学模型还存在困难。测试中也发现，一些学生在计算过程中出现了一些错误，需要加强练习。

4.学生自评与互评：

学生们在课后填写了自我评价表，同时也对同伴进行了互评。通过这些评价，我发现学生们对自己的学习态度和能力有了更清晰的认识。在互评中，学生们能够提出建设性的意见，这有助于他们互相学习，共同进步。

5.教师评价与反馈：

针对学生们在课堂上的表现，以下是我的评价与反馈：

-**积极态度**：学生们对反比例函数的学习表现出很高的热情，这为后续的学习奠定了良好的基础。

-**知识掌握**：大部分学生能够掌握反比例