2024秋七年级数学上册 第五章 相交线与平行线5.1 相交线 2垂线-垂线的定义与性质教学实录（新版）华东师大版

2024秋七年级数学上册第五章相交线与平行线5.1相交线2垂线——垂线的定义与性质教学实录（新版）华东师大版科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2024秋七年级数学上册第五章相交线与平行线5.1相交线2垂线——垂线的定义与性质教学实录（新版）华东师大版设计意图本节课旨在帮助学生掌握垂线的定义和性质，通过实例分析和课堂互动，使学生能够理解垂线的概念，并能够运用垂线的性质解决实际问题。教学设计紧密围绕华东师大版七年级数学上册第五章“相交线与平行线”5.1“相交线2垂线——垂线的定义与性质”展开，注重理论与实践相结合，提高学生的数学应用能力。核心素养目标分析本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等核心素养。通过学习垂线的定义和性质，学生能够发展抽象思维，理解几何图形中的关系；通过逻辑推理，学生能够发现和证明垂线的性质；通过数学建模，学生能够将实际问题转化为几何问题；通过数学运算，学生能够熟练进行相关计算，提高解决几何问题的能力。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在此前已经学习了直线、角的初步知识，对平面几何有一定的认识。他们已经能够识别和绘制直线，理解角度的概念，并能够进行简单的角度计算。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

七年级学生对几何学有着浓厚的好奇心，尤其对图形的形状和关系感兴趣。他们的数学能力处于基础阶段，具备一定的逻辑推理能力。学习风格上，部分学生偏好通过视觉图形来理解概念，而另一部分学生则更倾向于通过文字描述和符号推导来学习。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

学生在理解垂线的定义和性质时可能遇到的困难包括：对垂直概念的理解不够深入，难以区分垂直与平行；在证明垂线性质时，可能难以找到合适的推理步骤；在解决实际问题时，可能难以将实际问题转化为几何模型。此外，学生可能对证明过程感到困惑，尤其是在逻辑推理方面需要进一步提高。教学资源-教材：华东师大版七年级数学上册第五章“相交线与平行线”5.1“相交线2垂线——垂线的定义与性质”

-教学课件：包含垂线定义、性质及例题演示

-实物教具：直尺、三角板、量角器

-多媒体设备：计算机、投影仪

-信息化资源：在线几何图形绘制软件、互动白板

-教学手段：课堂讲解、小组讨论、实际操作练习教学过程一、导入新课

（教师）同学们，我们之前学习了直线的性质，知道直线可以相交，那么当两条直线相交时，会形成什么特殊的角呢？今天我们就来探究相交线中的垂线及其性质。

（学生）两条直线相交会形成四个角。

（教师）很好，那么这四个角中，哪两个角是相等的呢？请大家结合手中的三角板和直尺，动手量一量，互相讨论一下。

（学生）我发现，当两条直线相交时，相对的两个角是相等的。

（教师）很好，这就是我们之前学习的对顶角。今天我们要学习的是当两条直线相交时，形成的一种特殊的角——垂线。

二、探究新知

1.垂线的定义

（教师）同学们，什么是垂线呢？请大家结合课本上的定义，用自己的话描述一下。

（学生）垂线是一条直线垂直于另一条直线。

（教师）非常好，那么垂线有什么特点呢？请大家观察课本上的图，找出垂线的特点。

（学生）垂线与被垂直的直线形成的角是直角。

（教师）没错，垂线与被垂直的直线形成的角是直角。这就是垂线的第一个性质。

2.垂线的性质

（教师）接下来，我们来看垂线的第二个性质。请大家观察课本上的图，找出垂线的第二个性质。

（学生）垂线与被垂直的直线相交，且相交点在垂线上。

（教师）很好，这就是垂线的第二个性质。也就是说，垂线必须与被垂直的直线相交，且相交点在垂线上。

3.垂线的判定

（教师）那么，如何判断两条直线是否垂直呢？请大家结合课本上的例子，讨论一下。

（学生）如果两条直线相交，且相交点形成的角是直角，那么这两条直线就是垂直的。

（教师）非常好，这就是垂线的判定方法。如果两条直线相交，相交点形成的角是直角，那么这两条直线就是垂直的。

三、课堂练习

1.请同学们完成课本上的例题，巩固今天所学的知识。

2.请同学们在黑板上画出两条相交的直线，并找出它们的垂线。

3.请同学们用三角板和直尺，测量两条相交的直线，找出它们的垂线。

四、课堂小结

（教师）同学们，今天我们学习了垂线的定义、性质和判定方法。垂线是几何学中非常重要的一部分，它在解决实际问题中有着广泛的应用。希望大家能够熟练掌握垂线的知识，并在今后的学习中灵活运用。

（学生）我明白了，老师。垂线的定义和性质都很重要，我会好好学习的。

五、布置作业

1.完成课本上的练习题。

2.观察生活中的垂线现象，并尝试用数学知识解释。

六、课堂反思教学资源拓展1.拓展资源：

-垂线在建筑中的应用：介绍垂线在建筑设计、施工中的重要性，如建筑物的垂直度测量、高楼大厦的垂直定位等。

-垂线在工程测量中的角色：探讨垂线在土地测绘、地形分析中的使用，以及如何利用垂线进行精确的测量工作。

-垂线在物理实验中的应用：介绍垂线在物理实验中的使用，如测量重力加速度、验证物体自由落体运动等。

-垂线在艺术创作中的体现：分析垂线在绘画、雕塑等艺术创作中的美学价值，如何通过垂线构图增强视觉效果。

2.拓展建议：

-学生可以查阅相关书籍或资料，了解垂线在不同领域的应用案例。

-鼓励学生参与实践活动，如实地观察建筑物的垂直度，或者在家中尝试使用直尺和三角板进行垂线测量。

-引导学生设计简单的物理实验，利用垂线来验证物理定律，如重力加速度的测量。

-组织学生进行艺术创作活动，利用垂线原理进行构图练习，提高审美能力和创造力。

-建议学生通过小组合作，探讨垂线在不同学科中的交叉应用，如数学与物理、艺术与建筑等。

-鼓励学生撰写小论文或制作报告，总结垂线在不同领域中的应用及其重要性。

-提供在线几何工具，让学生在虚拟环境中进行垂线练习，加深对垂线性质的理解。

-安排学生参观建筑工地或城市规划展览，实地感受垂线在实际工程中的应用。课堂1.课堂评价：

（1）提问环节：

在课堂教学中，我会通过提问的方式检验学生对垂线定义、性质的理解程度。例如，我会问：“什么是垂线？请举例说明垂线在实际生活中的应用。”通过学生的回答，我可以了解到他们对知识的掌握情况。同时，我会对学生的回答进行及时的点评和反馈，鼓励他们积极参与课堂讨论。

（2）观察环节：

在课堂上，我会关注学生的参与度、互动性以及合作能力。例如，我会观察学生在小组讨论中的表现，看他们是否能够准确地表达自己的观点，以及是否能够倾听他人的意见。此外，我还会关注学生在动手操作环节的表现，看他们是否能够熟练地使用直尺、三角板等工具进行垂线测量。

（3）测试环节：

在课堂结束后，我会进行小测验，以检测学生对垂线定义、性质的记忆和理解。测试形式可以是选择题、填空题或简答题。通过测试结果，我可以了解到学生对知识的掌握程度，及时发现他们在学习过程中存在的问题，并在后续的教学中进行针对性辅导。

2.作业评价：

（1）批改作业：

我会对学生的作业进行认真批改，包括对题目的解答、解答过程的正确性以及解答思路的合理性。在批改过程中，我会重点关注学生的易错点，如垂线的定义、性质的运用等。

（2）点评与反馈：

对于学生的作业，我会给出详细的点评和反馈，指出他们在解题过程中的优点和不足。同时，我会鼓励学生在遇到困难时，勇于提问，积极寻求帮助。

（3）持续跟踪：

我会定期对学生的作业进行跟踪，了解他们的学习进步情况。对于进步较大的学生，我会给予表扬和鼓励；对于进步缓慢的学生，我会给予更多的关注和指导。课后作业1.实际应用题：

题目：一栋大楼的高度为20米，从大楼底部向东测量，距离为30米处有一棵树，从树顶向西测量，距离大楼底部为15米处有一窗户，求窗户距离树顶的高度。

解答步骤：

-画图表示大楼、树和窗户的位置关系。

-根据题意，大楼、树和窗户形成一个直角三角形，其中大楼的高度为直角三角形的一条直角边，距离为斜边。

-利用勾股定理计算大楼与树之间的水平距离，即斜边长度：\(c=\sqrt{a^2+b^2}\)，其中\(a=30\)米，\(b=15\)米。

-计算得到斜边长度\(c=\sqrt{30^2+15^2}=\sqrt{900+225}=\sqrt{1125}\approx33.54\)米。

-由于大楼高度为20米，树的高度加上窗户到树顶的距离等于斜边长度，即\(h+20=33.54\)米。

-解得树的高度\(h=33.54-20=13.54\)米。

-因此，窗户距离树顶的高度为13.54米。

2.垂线性质应用题：

题目：在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,3)，点B的坐标为(4,1)。求过点A和B的直线与x轴的交点C的坐标。

解答步骤：

-由于直线AB不垂直于x轴，需要先求出直线的斜率。

-斜率\(k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{1-3}{4-2}=-1\)。

-直线方程为\(y-y_1=k(x-x_1)\)，代入点A的坐标得到\(y-3=-1(x-2)\)。

-化简得到直线方程\(y=-x+5\)。

-当y=0时，求出x轴的交点C的横坐标：\(0=-x+5\)，解得\(x=5\)。

-因此，交点C的坐标为(5,0)。

3.垂线判定题：

题目：在平面直角坐标系中，直线y=2x+1与直线y=-1/2x+b相交于点P。若点P到原点的距离为5，求b的值。

解答步骤：

-将两条直线的方程联立，得到\(2x+1=-1/2x+b\)。

-解得\(5/2x=b-1\)，即\(x=\frac{2}{5}(b-1)\)。

-将x代入任意一条直线方程，得到\(y=2(\frac{2}{5}(b-1))+1\)。

-点P的坐标为\((\frac{2}{5}(b-1),2(\frac{2}{5}(b-1))+1)\)。

-根据点到原点的距离公式，得到\(\sqrt{(\frac{2}{5}(b-1))^2+(2(\frac{2}{5}(b-1))+1)^2}=5\)。

-解这个方程得到b的值。

4.垂线性质证明题：

题目：已知三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，AD垂直于BC。证明：BD=CD。

解答步骤：

-画出三角形ABC，并标记出点D和垂直于BC的AD。

-由于AB=AC，三角形ABC是等腰三角形。

-在等腰三角形中，底边上的高也是底边的中线，因此BD=CD。

5.实际测量题：

题目：在操场上，有一棵树高10米，从操场的一角A处，沿着操场的边缘走到树底部的B点，然后垂直向上走到树顶C点。如果A到B的距离是20米，求A到C的距离。

解答步骤：

-画出树、操场和点A、B、C的位置关系图。

-根据题意，三角形ABC是一个直角三角形，其中AB是斜边，AC是直角边。

-利用勾股定理计算AC的长度：\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}\)，其中AB是树的高度，BC是A到B的距离。

-计算得到\(AC=\sqrt{10^2+20^2}=\sqrt{100+400}=\sqrt{500}=10\sqrt{5}\)米。

-因此，A到C的距离是\(10\sqrt{5}\)米。板书设计①垂线的定义

-垂线的概念：一条直线垂直于另一条直线。

-垂线的形成：两条直线相交形成的四个角中，其中一个角是直角。

②垂线的性质

-性质一：垂线与被垂直的直线相交，且相交点在垂线上。

-性质二：垂线与被垂直的直线形成的角是直角。

③垂线的判定

-判定方法：如果两条直线相交，相交点形成的角是直角，那么这两条直线垂直。

-实际应用：通过观察图形或测量角度来判定两条直线是否垂直。

④垂线与几何图形的关系

-直角三角形的性质：直角三角形的斜边上的高是斜边的中线。

-等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的高是底边的中线。

⑤垂线在实际生活中的应用

-建筑测量：利用垂线进行建筑物的垂直度测量。

-工程施工：在工程中利用垂线进行定位和测量。

-物理实验：在物理实验中利用垂线验证物理定律。教学反思与总结今天上了关于垂线的定义与性质这一课，我觉得整体来说效果还不错，但也有些地方可以改进。

首先，我觉得我在教学方法上做了一些尝试。比如，我让学生自己动手画图，通过观察图形来理解垂线的概念。我发现这种方法挺有效的，学生们在画图的过程中，对垂线的定义和性质有了更直观的认识。但是，我也注意到有些学生对于图形的理解还是有些困难，他们可能需要更多的指导。

在教学策略方面，我尝试了一些新的教学方法，比如通过多媒体展示垂线在实际生活中的应用，让学生们更加直观地感受到数学与生活的联系。这个方法收到了不错的效果，学生们对垂线的兴趣明显提高了。但同时，我也发现，多媒体的使用可能会分散学生的注意力，所以在今后的教学中，我需要更好地控制多媒体的使用时间。

在课堂管理上，我注意到有些学生上课时容易走神，这可能会影响他们的学习效果。因此，我需要在今后的教学中加强课堂纪律，让学生们保持专注。

至于教学效果，我觉得学生们对垂线的定义和性质有了比较清晰的理解，能够运用这些知识解决一些简单的实际问题。在课堂练习中，大部分学生能够正确地画出垂线，并能够根据题目要求进行计算。这让我感到欣慰。

当然，也有一些不足之处。比如，有些学生在证明垂线性质时，逻辑推理能力还不够强，可能会出现证明过程不