高中数学 第三章 圆锥曲线性质的探讨 3.1 平行射影教学实录 新人教A版选修4-1

高中数学第三章圆锥曲线性质的探讨3.1平行射影教学实录新人教A版选修4-1科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）高中数学第三章圆锥曲线性质的探讨3.1平行射影教学实录新人教A版选修4-1课程基本信息1.课程名称：高中数学第三章圆锥曲线性质的探讨3.1平行射影教学实录

2.教学年级和班级：高一年级

3.授课时间：2023年X月X日星期X第X节

4.教学时数：1课时核心素养目标分析本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等核心素养。通过平行射影的概念和应用，学生能够理解圆锥曲线的几何性质，提升空间想象能力；通过分析射影变换，锻炼逻辑推理和数学建模能力；同时，通过计算和证明，强化数学运算和数据分析能力。教学难点与重点1.教学重点

-重点一：平行射影的概念及其几何意义。学生需要理解平行射影是如何将空间中的点映射到平面上的，以及这种映射如何保持点的相对位置关系。

-重点二：圆锥曲线的射影性质。学生需要掌握圆锥曲线在平行射影下的几何变换规律，例如椭圆、双曲线和抛物线在射影下的形状变化。

-重点三：射影变换下的圆锥曲线方程。学生需要能够推导出射影变换后圆锥曲线的方程，并理解其几何意义。

2.教学难点

-难点一：空间几何图形的直观理解。学生可能难以直观地理解空间中的射影变换和圆锥曲线的形状变化，需要通过多次练习和图形辅助来克服。

-难点二：射影变换与方程的对应关系。学生可能难以理解射影变换如何影响圆锥曲线的方程，需要通过具体的例子和推导过程来建立联系。

-难点三：计算复杂射影变换下的圆锥曲线方程。在处理复杂的射影变换时，学生可能面临计算上的困难，需要教授有效的计算方法和技巧。教学资源-软硬件资源：多媒体教学设备（投影仪、计算机）、几何画板软件、教学黑板或白板。

-课程平台：学校网络教学平台，用于发布教学资料和在线答疑。

-信息化资源：圆锥曲线的几何性质相关动画、视频教程、在线练习题库。

-教学手段：实物教具（圆锥曲线模型）、PPT演示文稿、课堂讨论、小组合作学习。教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：通过展示生活中常见的圆锥曲线形状，如自行车轮胎、灯泡等，提问学生这些形状是否可以在数学中找到对应的几何图形，从而引出圆锥曲线的概念。

-回顾旧知：简要回顾平面几何中直线、圆的方程和性质，以及点、线、面之间的位置关系。

2.新课呈现（约20分钟）

-讲解新知：详细讲解平行射影的概念，包括射影中心、射影平面、射影线等基本元素，以及射影变换的性质。

-举例说明：通过具体例子，如从不同角度观察圆锥曲线，展示射影变换如何改变圆锥曲线的形状和大小。

-互动探究：组织学生分组讨论，分析不同射影变换对圆锥曲线的影响，引导学生发现射影变换与圆锥曲线方程之间的关系。

3.巩固练习（约20分钟）

-学生活动：让学生根据所学知识，完成几个简单的射影变换题目，加深对射影变换的理解。

-教师指导：在学生完成练习过程中，巡视课堂，对有困难的学生进行个别指导，确保他们能够理解和掌握知识点。

4.深入探究（约20分钟）

-讲解射影变换下的圆锥曲线方程：引导学生推导射影变换后圆锥曲线的方程，并解释方程中各项的几何意义。

-举例说明：通过具体的射影变换，如从圆锥的侧面投影到水平面，展示如何推导圆锥曲线的方程。

-互动探究：继续分组讨论，让学生尝试推导不同类型圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）在射影变换下的方程。

5.应用拓展（约20分钟）

-学生活动：让学生应用所学知识解决实际问题，如设计一个投影仪，使其能够准确地投影圆锥曲线。

-教师指导：在学生设计过程中，提供必要的指导，帮助他们运用所学知识解决实际问题。

6.总结反思（约5分钟）

-学生总结：请学生总结本节课所学的主要内容，包括平行射影的概念、射影变换的性质、射影变换下的圆锥曲线方程等。

-教师总结：教师对本节课的教学内容进行总结，强调重点和难点，并指出学生在学习过程中可能存在的问题。

7.布置作业（约5分钟）

-作业内容：布置与射影变换和圆锥曲线方程相关的课后练习题，要求学生独立完成，并按时提交。

-作业要求：要求学生认真审题，仔细计算，确保解题过程的准确性。教学资源拓展1.拓展资源

-专题讲座：邀请数学教育专家进行圆锥曲线性质的专题讲座，深入探讨圆锥曲线在现代数学和其他科学领域中的应用。

-课外阅读：推荐学生阅读《圆锥曲线的现代几何》等书籍，了解圆锥曲线在高等数学和物理学中的重要性。

-在线课程：推荐学生观看相关在线课程，如《圆锥曲线的几何性质与应用》等，以获取更丰富的学习资源。

2.拓展建议

-数学建模：鼓励学生尝试使用圆锥曲线的性质来解决实际问题，如设计光学系统中的透镜成像问题。

-实验探究：组织学生进行圆锥曲线实验，通过实际操作加深对圆锥曲线性质的理解，如利用光学实验验证圆锥曲线的成像特性。

-数学竞赛：鼓励学生参加数学竞赛，如美国数学竞赛（AMC）中的圆锥曲线相关题目，以提升解题能力和数学思维能力。

-科普活动：参与学校或社区组织的科普活动，如数学讲座、科技展览等，了解圆锥曲线在科技发展中的作用。

-跨学科学习：结合物理学、工程学等其他学科知识，探讨圆锥曲线在不同领域中的应用，如天体物理学中的轨道计算、工程学中的光学设计等。

-小组合作：鼓励学生组成学习小组，共同研究圆锥曲线的性质，通过合作学习提升团队协作能力和问题解决能力。

-个人研究：指导学生进行个人研究项目，如探讨圆锥曲线在特定领域中的应用，或者研究圆锥曲线的性质在不同条件下的变化。板书设计①平行射影概念

-射影中心：点P

-射影平面：平面α

-射影线：通过点P垂直于平面α的直线

②射影变换性质

-保持点的顺序关系

-保持线的平行关系

-保持角的大小

③圆锥曲线的射影性质

-椭圆：在平行射影下保持形状

-双曲线：在平行射影下形状发生变化，渐近线保持不变

-抛物线：在平行射影下形状发生变化，对称轴保持不变

④射影变换下的圆锥曲线方程

-椭圆方程：通过射影变换得到的椭圆方程

-双曲线方程：通过射影变换得到的双曲线方程

-抛物线方程：通过射影变换得到的抛物线方程

⑤射影变换计算步骤

-确定射影中心和射影平面

-选择圆锥曲线上的任意一点

-求出该点在射影平面上的射影

-重复上述步骤，得到圆锥曲线在射影平面上的方程课后作业1.作业题目：已知椭圆的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)），求其在平行射影下的方程。

-解答：由于平行射影保持椭圆的形状，因此射影后的椭圆方程仍然是\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)。

2.作业题目：一个点P在圆锥曲线C上，其射影P'在x轴上，且|PP'|=3，求圆锥曲线C的方程。

-解答：设点P的坐标为\((x_0,y_0)\)，射影P'的坐标为\((x_0,0)\)，则根据距离公式有\(|PP'|=\sqrt{(x_0-x_0)^2+(y_0-0)^2}=3\)。解得\(y_0=\pm3\)。由于点P在圆锥曲线上，可以假设C是椭圆，则椭圆方程为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，代入\(y_0\)的值，得到\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1\)。

3.作业题目：若点P在抛物线y^2=4x上，其射影P'在x轴上，且|PP'|=4，求点P的坐标。

-解答：设点P的坐标为\((x,y)\)，射影P'的坐标为\((x,0)\)，则\(|PP'|=\sqrt{(x-x)^2+(y-0)^2}=4\)。解得\(y=\pm4\)。代入抛物线方程\(y^2=4x\)，得到\(x=4\)。因此，点P的坐标为\((4,\pm4)\)。

4.作业题目：已知双曲线的渐近线为y=±\frac{b}{a}x，求其在平行射影下的渐近线方程。

-解答：由于平行射影保持双曲线的渐近线，因此射影后的渐近线方程仍然是y=±\frac{b}{a}x。

5.作业题目：一个点P在抛物线x^2=4y上，其射影P'在y轴上，且|PP'|=5，求点P的轨迹方程。

-解答：设点P的坐标为\((x,y)\)，射影P'的坐标为\((0,y)\)，则\(|PP'|=\sqrt{(x-0)^2+(y-y)^2}=5\)。解得\(x=\pm5\)。代入抛物线方程\(x^2=4y\)，得到\(y=\pm\frac{25}{4}\)。因此，点P的轨迹方程为\(x^2=4y\)，即原抛物线的方程。教学反思与总结今天这节课，我们探讨了圆锥曲线的平行射影性质，这是一个比较抽象的数学概念，但我发现学生们对这部分内容表现出了浓厚的兴趣。下面，我就这节课的教学情况进行一些反思和总结。

首先，我觉得导入环节的设计比较成功。通过生活中的实例引入，学生们对圆锥曲线有了直观的认识，这为后续的学习打下了良好的基础。在回顾旧知时，我特别强调了直线、圆的方程和性质，因为这些是理解圆锥曲线性质的前提。

在讲解新知的过程中，我尽量用简洁明了的语言解释平行射影的概念，并结合具体的例子帮助学生理解。我发现，当我在黑板上画出圆锥曲线的图像，并展示射影变换的效果时，学生的注意力更加集中。在互动探究环节，我鼓励学生们提出问题，并引导他们通过讨论和实验来寻找答案，这种教学方法让学生们更加主动地参与到学习中来。

然而，我也发现了一些不足。例如，在讲解射影变换下的圆锥曲线方程时，部分学生表现出了一定的困惑。这说明我在这部分内容的讲解上可能需要更加细致，或者可以通过更多的实例来帮助学生理解。此外，有些学生对于空间几何图形的直观理解还有一定的困难，这需要我在今后的教学中加强空间几何的教学，比如使用更多的教具和模型。

在巩固练习环节，我安排了一些基础题目让学生练习，但感觉题目的难度还不够，有些学生觉得过于简单，没有达到预期的练习效果。因此，我需要在今后的教学中设计更多层次、难度适中的练习题，以满足不同学生的学习需求。

教学总结方面，我认为学生们在这节课上收获颇丰。他们对圆锥