《高考备考指南 数学 》课件-第1讲　导数的概念及其运算

一元函数的导数及其应用第三章第1讲导数的概念及其运算(本讲对应系统复习P67)课标要求考情概览考向预测：从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容，预测本年度高考将会涉及导数的运算及几何意义，以客观题的形式考查导数的定义、求曲线的切线方程，导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档.学科素养：主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算的能力栏目导航01基础整合

自测纠偏03素养微专直击高考02重难突破

能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义记法几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f'(x0)就是过该点切线的斜率k0，即k0＝

＝

.相应地，切线方程为y－f(x0)＝f'(x0)(x－x0)

f'(x0)一个确定的值

这个确定的值

2.函数f(x)的导函数函数

为函数f(x)的导函数.

3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝C(C为常数)f'(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q)f'(x)＝

f(x)＝sinxf'(x)＝

f(x)＝cosxf'(x)＝

f(x)＝exf'(x)＝exf(x)＝ax(a＞0，且a≠1)f'(x)＝

f(x)＝lnxf(x)＝logax(a＞0，且a≠1)axlnaαxα－1

cosx

－sinx

f'(x)±g'(x)f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)

5.复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx'＝

，即y对x的导数等于

的导数与

的导数的乘积.

u对xyu'·ux‘y对u【特别提醒】1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.2.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.3.在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆.

CB

ABD

15x－y＋2＝01.求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错.2.(1)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导.(2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元.重难突破能力提升2导数的运算

ADA

【解题技巧】导数运算的原则和方法：(1)基本原则：先化简、再求导；(2)具体方法：［提醒］当函数解析式中含有待定系数(例如f'(x0)，a，b等)，求导时把待定系数看成常数，再根据题意求出即可.

CBCD【解析】(1)令t＝ln

x，则t∈R，x＝et，所以f(t)＝et＋t，所以f'(t)＝et＋1，所以f'(0)＝e0＋1＝2.故选C.

导数的几何意义

考向1求切线方程

(2022年新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为

.

x－ey＝0，x＋ey＝0

考向2求切点坐标(2022年贵阳模拟)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，且函数y＝f(x)的图象在点P(x0，f(x0))处的切线与直线x＋y＝0垂直，则切点P(x0，f(x0))的坐标为

.

(0，0)

考向3求参数值(范围)

A

考向4公切线问题

A

【解题技巧】1.求切线方程的方法：(1)求曲线在点P处的切线，则表明点P是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；(2)求曲线过点P的切线，则点P不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；

(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上.

DA

C

导数与函数图象

BD(2)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g'(x)是g(x)的导函数，则g'(3)＝

.

0

【解题技巧】函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢.【变式精练】3.(1)(2023年江南名校联考)已知函数f(x)的图象如图所示，f'(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(

)A.0＜f'(2)＜f'(3)＜f(3)－f(2)B.0＜f'(3)＜f'(2)＜f(3)－f(2)C.0＜f'(3)＜f(3)－f(2)＜f'(2)D.0＜f(3)－f(2)＜f'(2)＜f'(3)C

(2)如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(

)ABCDD

素养微专直击高考3易错警示——求曲线的切线方程典例精析若存在过点O(0，0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a的值.【考查角度】导数的几何意义.【核心素养】逻辑推理、数学运算.【易错分析】由于题目中没有指明点O(0，0)的位置情况，容易忽略点O在曲线y＝x3－3x2＋2x上这个隐含条件，进而不考虑点O为切点的情况.

【易错警示】1.求曲线过点P的切线方程的方法(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f'(x0)·(x－x0).(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P'(x1，f(x1))；第二步：写出过点P'(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f'(x1)(x－x1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f'(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程.2.对于求曲线的切线方程没有明确切点的情况，要先判断切线所过点是否在曲线上，若所过点在曲线上，要对该点是否为切点进行讨论.

D

2.已知函