曲边梯形的面积与汽车行驶的路程（两课时）-高二数学理科选修教学课件(人教A版)

第一章导数及其应用1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程1.

课本中的曲边梯形是指的什么样的图形?2.

求曲边梯形的面积是基于什么样的思想?学习要点3.

求曲边梯形面积的具体步骤是怎样的?

问题1.

如图,你能求出x=1,x=2,y=0和y=x2所围成的图形的面积吗?如果一个运动物体的位移函数S(t)=0.5t2+t,你能求出它的瞬时速度吗?反之,如果一个运动物体作变速直线运动,它的速度函数是v(t)=-t2+2,你能求出这个物体在某段时间内所经过的路程是多少吗?Oxy12y=x2

我们可以求各边为直边的多边形面积,如图中有一边是曲边,该如何求得面积呢?

S(t)的瞬时速度,我们可以用导数求得,按速度v(t)在某段时间内运动所经过的路程又怎样求得呢?将要学的定积分为我们解决这类问题.Oxyaby=f(x)f(a)f(b)

如图的阴影部分近似于一个梯形,但有一腰是曲线段,我们称这个图形为曲边梯形.这个图形的面积怎样求呢?思想:将图形分成无数多的小块.每小块近似于直边梯形,可用直边梯形求面积.这无数小块之和即为整块面积.下面取a=0,b=1,f(x)=x2

为例.OxyS1y=x2

如图是抛物线y=x2

与直线x=1,y=0围成的曲边多边形.

对这个图形求面积S,我们用无数个矩形的面积之和逼近曲边多边形的面积.请看几何画板的动态效果.

如图是抛物线y=x2

与直线x=1,y=0围成的曲边多边形.

对这个图形求面积S,我们用无数个矩形的面积之和逼近曲边多边形的面积.请看几何画板的动态效果.OxyS1y=x2

如图是抛物线y=x2

与直线x=1,y=0围成的曲边多边形,

对这个图形求面积S,我们将按以下四个步骤进行:(1)

分割;(2)

近似代替;(3)

求和;(4)

取极限.Oxy1y=x2(1)

分割

在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将区间分成n

个小区间:记第i

个区间为(i=1,2,…,n),其长度为

过各分点作x

轴的垂线,将图形分成了n

个小曲边梯形,各面积分别记作:△S1,△S2,…,△Sn,则Oxy1y=x2Oxy1y=x2(2)

近似代替

把每一个小曲边梯形的面积用一个矩形的面积代替,第i

个矩形的宽为高为则第i

个矩形的面积为当分点无限多,即n

无限大时,△Si

就几乎等于△Si.Oxy1y=x2(2)

近似代替

把每一个小曲边梯形的面积用一个矩形的面积代替,第i

个矩形的宽为高为则第i

个矩形的面积为当分点无限多,即n

无限大时,△Si

就几乎等于△Si.Oxy1y=x2(3)

求和

将n个近似代替的小矩形面积求和

当n

无限大时,S

n

就近似等于Sn.

这时,S

n

是Sn的不足近似值.(3)

求和

将n个近似代替的小矩形面积求和

当n

无限大时,S

n

就近似等于Sn.

这时,S

n

是Sn的过剩近似值.Oxy1y=x2第i

个矩形的高也可取Oxy1y=x2(4)

取极限Oxy1y=x2如图,当n

趋向无限大时,无限小,趋近于0,此时小矩形与小曲边梯形的误差接近于0,即S

n等于Sn.即∴阴影部分面积为(4)

取极限如图,当n

趋向无限大时,无限小,趋近于0,此时小矩形与小曲边梯形的误差接近于0,即S

n等于Sn.即同样得阴影部分面积为Oxy1y=x2Oxy1y=x2可以证明,取f(x)=x2

在区间上任意一点xi

处的值f(xi)作为近似值,都有Oxyaby=f(x)f(a)f(b)

一般地,对右下图的曲边梯形,我们也可采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求面积.Oxy1y=x2【小结】1.

曲边梯形

由函数曲线y=f(x)和直线x=a,x=b,y=0所围成的图形.2.

求曲边梯形面积的基本思想(1)大块分小块,每块近似矩形,即可有矩形求各块面积.(2)块数无限多时,每小块矩形几乎等于小梯形.(3)这无数小块之和即为整块面积.【小结】3.

求曲边梯形面积的基本步骤(1)分割:将区间[0,a]分割成n

等分,每等分宽为(2)近似代替:每个小曲边梯形面积用矩形面积代替,第i个矩形面积为(3)求和:将n个小矩形的面积相加(4)取极限:将n个小矩形面积和取极限练习:(课本42页)

求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2

所围成的曲边梯形的面积.解:(1)分割:将区间[0,2]分成n

等分,每一等分为(2)近似代替:用小矩形面积△S

i近似代替小曲边梯形的面积△Si≈△S

i(3)求和:(4)取极限:汽车行驶的路程1.

给定一个变速运动关于时间t

的速度函数,它的图象是什么?2.

在速度函数图象的坐标系中,用什么表示某段时间内所经过的路程?学习要点3.

怎样求变速运动的路程?

问题2.

我们知道,汽车以速度v

作匀速直线运动时,经过时间t

所行驶的路程为s=vt.如果汽车作变速直线运动,在时刻t

的速度为v(t)=-t2+2(t

的单位:h,v

的单位:km/h),那么它在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s(单位:km)是多少?Otss=2t(图1)

图1是匀速运动中,v=2时路程与时间的函数图象.

图2是变速运动中,速度与时间的函数图象,速度与时间的乘积即为路程.在0≤t≤1这段时间内行驶的路程即为影阴部分的面积.1Otvv=-t2+2(图2)

问题2.

我们知道,汽车以速度v

作匀速直线运动时,经过时间t

所行驶的路程为s=vt.如果汽车作变速直线运动,在时刻t

的速度为v(t)=-t2+2(t

的单位:h,v

的单位:km/h),那么它在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s(单位:km)是多少?Otss=2t(图1)

求变速运动的路程,类似于求曲边梯形的面积.四个步骤:(1)

分割(2)

近似代替(3)

求和(4)

取极限1Otvv=-t2+2(图2)

问题2.

我们知道,汽车以速度v

作匀速直线运动时,经过时间t

所行驶的路程为s=vt.如果汽车作变速直线运动,在时刻t

的速度为v(t)=-t2+2(t

的单位:h,v

的单位:km/h),那么它在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s(单位:km)是多少?Otss=2t(图1)1Otvv=-t2+2(图2)(1)

分割

在区间[0,1]内插入n-1个分点,分成n

个小区间每个区间长度为则第i

个小区间的路程为△si,

问题2.

我们知道,汽车以速度v

作匀速直线运动时,经过时间t

所行驶的路程为s=vt.如果汽车作变速直线运动,在时刻t

的速度为v(t)=-t2+2(t

的单位:h,v

的单位:km/h),那么它在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s(单位:km)是多少?Otss=2t(图1)1Otvv=-t2+2(图2)(2)

近似代替以宽为高为的小矩形面积△s

i近似代替△si,即

问题2.

我们知道,汽车以速度v

作匀速直线运动时,经过时间t

所行驶的路程为s=vt.如果汽车作变速直线运动,在时刻t

的速度为v(t)=-t2+2(t

的单位:h,v

的单位:km/h),那么它在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s(单位:km)是多少?Otss=2t(图1)1Otvv=-t2+2(图2)(3)

求和n

个小矩形的面积和为

问题2.

我们知道,汽车以速度v

作匀速直线运动时,经过时间t

所行驶的路程为s=vt.如果汽车作变速直线运动,在时刻t

的速度为v(t)=-t2+2(t

的单位:h,v

的单位:km/h),那么它在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s(单位:km)是多少?Otss=2t(图1)1Otvv=-t2+2(图2)(4)

取极限当n

趋向于无穷大时,sn趋向于s,的路程为汽车在0≤t≤1这段时间内行驶

问题2.

我们知道,汽车以速度v

作匀速直线运动时,经过时间t

所行驶的路程为s=vt.如果汽车作变速直线运动,在时刻t

的速度为v(t)=-t2+2(t

的单位:h,v

的单位:km/h),那么它在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s(单位:km)是多少?Otss=2t(图1)1Otvv=-t2+2(图2)

一般地,如果物体做变速直线运动,速度函数为v=v(t),那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法,求出它在a≤t≤b

内所作的位移s.【小结】变速运动的路程(1)变速运动的速度函数是一条曲线.(2)变速运动的路程是速度函数曲线与时间段t=a,t=b

以及横轴所围成的曲边梯形的面积.(3)求变速运动的路程就是求曲边梯形的面积,基本步骤为:①

分割;②

近似代替;③