求曲线的方程-高二数学理科选修教学课件(人教A版)

求曲线的方程

怎样求点的轨迹方程?它有哪些基本步骤?学习要点

问题2.

由“例1”的第(1)步证明,你能思考怎样求曲线的方程吗?设轨迹上的任一点为M(x0,y0).因为点M(x0,y0)与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0),所以|x0|·|y0|=k,即得x0y0=±k.如果设轨迹上的任一点M(x,y)为变量,则得方程xy=±k,这样就得到了轨迹方程,只需再检验第二步即可.

例1.

设A、B

两点的坐标是(-1,-1)、(3,7),求线段AB

的垂直平分线的方程.设线段AB

的垂直平分线上任一点为M(x,y).则点M

与A,B

两点的距离相等,把点的坐标代入等式|MA|=|MB|得,x+2y-7=0.解:其M

的集合为P={M||MA|=|MB|},(如图)Mxyo37-1AB●两边平方并整理得以上过程说明了满足条件的任一点的坐标是方程的解.方程的任一解(x1,y1)的点M1是否在AB

的垂直平分线上呢?Mxyo37-1AB●

例1.

设A、B

两点的坐标是(-1,-1)、(3,7),求线段AB

的垂直平分线的方程.设线段AB

的垂直平分线上任一点为M(x,y).则点M

与A,B

两点的距离相等,把点的坐标代入等式|MA|=|MB|得,x+2y-7=0.解:其M

的集合为P={M||MA|=|MB|},(如图)两边平方并整理得以上过程说明了满足条件的任一点的坐标是方程的解.方程的任一解(x1,y1)的点M1是否在AB

的垂直平分线上呢?由

x1+2y1-7=0得x1=7-2y1.现在检查|M1A|与|M1B|是否相等?得|M1A|=|M1B|.即方程的任一解为坐标的点都在曲线上.所以

x+2y-7=0是AB

垂直平分线的方程.求曲线方程,一般有下面几个步骤:

(1)

建立适当的坐标系,设曲线上任一点的坐标为M(x,y);(2)

写出满足题设条件p

的点M

的集合P={M|p(M)};(3)

用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;(4)

化方程f(x,y)=0为最简形式;(5)

说明以化简后方程的解为坐标的点都在曲线上.

一般地,化简前后方程的解集是相同的,步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况,需适当说明.另外,也可以根据情况省略步骤(2),直接列出曲线方程.

例3.

已知一条直线l

和它上方的一个点F,点F到l

的距离是2.一条曲线也在l

的上方,它上面的每一点到F

的距离减去到l

的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条曲线的方程.lF2M分析:如图,若设点M直线l

的距离用d

表示,是曲线上的任一点,点M

到则有关系式|MF|-d=2.为了使计算和方程都较简洁,坐标系如何建立较为恰当?将定直线作为一条坐标轴,定点置于另一条坐标轴上.

例3.

已知一条直线l

和它上方的一个点F,点F到l

的距离是2.一条曲线也在l

的上方,它上面的每一点到F

的距离减去到l

的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条曲线的方程.解:以直线l

为x

轴,过点F且垂直l

的直线为y

轴,建立直角坐标系xOy.xlF2MyO则F(0,2).设曲线上任一点为M(x,y),由题意得|MF|-d=2,且M

到l

的距离为d.用点的坐标表示上式得移项后两边平方化简得x2-8y=0.

例3.

已知一条直线l

和它上方的一个点F,点F到l

的距离是2.一条曲线也在l

的上方,它上面的每一点到F

的距离减去到l

的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条曲线的方程.解:以直线l

为x

轴,过点F且垂直l

的直线为y

轴,建立直角坐标系xOy.xlF2MyO则F(0,2).设曲线上任一点为M(x,y),由题意得|MF|-d=2,且M

到l

的距离为d.用点的坐标表示上式得移项后两边平方化简得x2-8y=0.因曲线在l

上方,检查方程有无y≤0的解,(0,0)是方程的解,不满足题设(l在直线上方),应去掉.所以曲线的方程为x2-8y=0(x≠0).练习:(课本37页)第3题.练习:(课本37页)3.

如图,已知点C

的坐标是(2,2),过点C

的直线CA

与x

轴交于点A,过点C且与直线CA

垂直的直线CB

与y

轴交于点B,设点M

是线段AB

的中点,求点M的轨迹方程.·xyOABMC思路:M是AB

的中点,则A,B

两点的坐标可用点M

的坐标表示.由AC⊥BC

得kAC·kBC=-1.练习:(课本37页)3.

如图,已知点C

的坐标是(2,2),过点C

的直线CA

与x

轴交于点A,过点C且与直线CA

垂直的直线CB

与y

轴交于点B,设点M

是线段AB

的中点,求点M的轨迹方程.·xyOABMC解:设

M(x,y),则A(2x,0),B(0,2y).∵AC⊥BC,∴kAC·kBC=-1.用坐标表示上式得化简得x+y-2=0.(虽然方程化简不是同解变形,但点(1,1)在曲线上)【课时小结】求曲线方程的基本步骤

(1)

建立适当的坐标系,设曲线上任一点的坐标为M(x,y);(2)

写出满足题设条件p

的点M

的集合P={M|p(M)};(3)

用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;(4)

化方程f(x,y)=0为最简形式;(5)

检验方程的某些特殊解为坐标的点是否在曲线上.习题2.1A组第2、3、4题.B组第1、2题.

2.

求和点O(0,0)与A(c,0)的距离的平方差为常数c

的点的轨迹方程.解:设满足条件的点为M(x,y),由题意得|MO|2-|MA|2=c,化简整理得2cx-c2=c.当c=0时,点O,A

重合,轨迹为坐标平面;当c≠0时,轨迹方程为2x-c-1=0.即x2+y2-[(x-c)2+y2]=c,习题2.1A组3.

两个定点的距离为6,点M

到这两个定点的距离的平方和为26,求点M

的轨迹方程.xyO·ABM解:以A,B

所在直线为x

轴,AB

的中点为原点建立平面直角坐标系xOy.则A(-3,0),B(3,0).设点M

的坐标为(x,y),由题意得|MA|2+|MB|2=26,用点的坐标表示为(x+3)2+y2+(x-3)2+y2=26,化简得x2+y2-4=0.

4.

过原点的直线与圆x2+y2-6x+5=0相交于A,B两点,求弦AB

的中点M

的轨迹方程.解:如图,已知圆的圆心为C(3,0),xyABM3CO则CM⊥OM,得kCM·kAM=-1.设点M

的坐标为(x,y),则有化简得x2+y2-3x=0.这是圆心在半径为的圆.因为点M

不可能在圆外,所以M

的轨迹方程为求得两圆的交点为x2+y2-3x=0(x≥).B组

1.

过点P(3,4)的动直线与两坐标轴的交点分别为A,B,过A,B

分别作两轴的垂线交于点M,求点M

的轨迹方程.xy·OABP34M解:如图,设点M(x,y),则A(x,0),B(0,y).由P,A,B

三点共线得kPA=kPB.用坐标表示为化等得4x+3y-xy=0,即点M

的轨迹方程为4x+3y-xy=0.

2.

一动圆截直线3x-y=0和3x+y=