2024-2025学年山西省吕梁市高二上学期9月月考数学质量检测试卷合集2套（附解析）

2024-2025学年山西省吕梁市高二上学期9月月考数学质量检测试卷（一）一、单选题（本大题共8小题）1．已知向量若则（

）A．−2 B．1 C． D．12．已知是坐标原点，空间向量，，，若线段的中点为，则（

）A． B． C． D．3．若平面的法向量，直线l的方向向量，则（

）A． B． C． D．或4．已知，，，为空间中不共面的四点，且，若，，，四点共面，则函数的最小值是（

）A．2 B．1 C． D．5．在平行六面体中，，分别是，的中点.设，，，则（

）A． B． C． D．6．已知向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（

）A． B． C． D．7．在长方体中，，，为的中点，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．8．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（

）A． B．2 C． D．3二、多选题（本大题共3小题）9．已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（

）A．对于空间中的任意一个向量，总存在实数，使得B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底C．若，，则D．若所在直线两两共面，则共面10．已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（

）A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上11．如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（

）

A．，，，四点共面B．与所成角的大小为C．在线段上存在点，使得平面D．在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值三、填空（本大题共3小题）12．点1,2,3关于yOz平面的对称点坐标为______.13．如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则.

14．已知正方体的棱长为，点在线段上（不含端点）.若是锐角，则线段长度的取值范围为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知向量，，.（1）若，求的值；（2）若，，求的值.16．如图，在四面体中，，，，，点，分别在棱，上，且，.

(1)用，，表示，；(2)求异面直线，所成角的余弦值.17．如图，在四棱锥中，，，平面平面ABCD，，M，N分别是AD，CQ的中点．(1)证明：；(2)若，直线MN与平面QBC所成角的正弦值为，求QM的长度．18．如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为，，AB的中点.

(1)证明：平面；(2)求直线CE与平面所成角的正弦值.19．如图，在三棱台中，是等边三角形，，，侧棱平面，点是棱的中点，点是棱上的动点（不含端点）.

(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面所成角的余弦值的最小值.

参考答案1．【答案】D【分析】由空间向量垂直的坐标公式求解即可【详解】因为，所以，即，解得．故选D．2．【答案】C【分析】根据模长的坐标计算公式直接计算.【详解】由题意，则，所以，所以.故选C.3．【答案】D【分析】根据法向量与方向向量数量积的运算结果，结合线面关系进行判断即可.【详解】因为，所以或.故选D4．【答案】D【分析】根据点共面可得系数和为1，即可结合二次函数的性质求解最值.【详解】因为，，，四点共面，所以存在，使得，故,整理得，又，所以，所以，所以，当时，函数取最小值，且最小值为.故选D.5．【答案】A【分析】根据题意，由空间向量的线性运算，即可得到结果.【详解】

由题意可得，.故选A.6．【答案】C【分析】根据待定系数法利用向量相等，列方程组求解.【详解】在基底下的坐标为，得，设向量在基底下的坐标是，则，所以解得.故选C.7．【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求点到平面的距离.【详解】如图所示，

以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，所以，，，，则，，设是平面的一个法向量，则，令，则，又，所以点到平面的距离为.故选D.8．【答案】C【分析】作出辅助线，得到线面垂直，进而得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，求出点到直线距离，求出最小值.【详解】取的中点为，连接，，，因为，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以⊥平面，因为平面，所以，又底面是矩形，所以，以点为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，由，，，得，所以，，，则，设，则，，，，因此点到直线的距离，故当时，取最小值，即线段上的动点到直线的距离的最小值为．故选C．9．【答案】ACD【分析】根据空间向量基本定理逐一判断.【详解】由空间向量基本定理知：仅当不共面时，才能作为基底，即，A错误；若是空间的一个基底，则不共面，若共面，则，，显然无解，即不共面，故也是空间的一个基底，B正确；若，，在空间中不一定平行，C错误；若所在直线两两共面，如四面体中共顶点的侧棱所在直线，即不一定共面，D错误.故选ACD.10．【答案】ABD【分析】利用空间向量的数乘运算与共线定理逐项判断即可.【详解】作出三棱柱，如图，对于A，当时，，则，所以点在棱上，故A正确；对于B，当时，，所以点在线段上，故B正确；对于C，当时，由B知，所以为棱的中点，故C错误；对于D，当时，，所以，则，即，所以点在线段上，故D正确.故选ABD.11．【答案】AD【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的共面定理可判断A选项，利用坐标法求异面直线夹角可直接判断B选项，假设在线段上存在点，设，，利用坐标法验证线面垂直，可判断C选项；分别证明与上的所有点到平面的距离为定值，即可判断D选项.【详解】以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，设，

则，所以，解得，故，即，，，四点共面，故A正确；因为，，所以，所以与所成角的大小为，故B错误；假设在线段上存在点，符合题意，设（），则，若平面，则，,因为，，所以，此方程组无解，所以在线段上不存在点，使得平面，故C错误；因为，所以，又平面，平面，所以平面，故上的所有点到平面的距离即为到平面的距离，是定值，又的面积是定值，所以在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值，故D正确；故选ABD.12．【答案】−1,2,3【详解】求一个点关于yOz平面的对称点坐标，就是将x轴的分量取相反数，而y轴和z轴的分量不变.故点1,2,3关于yOz平面的对称点坐标是−1,2,3.13．【答案】【分析】根据题意，得到，利用，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】因为二面角的大小为，所以与的夹角为，又因为，所以，所以.故答案为：.14．【答案】【分析】建立空间直角坐标系，设，，根据是锐角，得到，求出的取值范围，再由求出的取值范围.【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，，，设，，则，则，所以，，显然与不可能同向，因为是锐角，所以，则，解得或，又，所以，又，所以，即线段长度的取值范围为.故答案为：.15．【答案】（1）7；（2）或.【分析】（1）根据题意，由，列出方程求得的值，求得，得到，利用模的公式，即可求解；（2）由，求得，又由，求得，分类讨论，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】（1）由，则存在实数，使，即，所以，解得，所以.则，所以.（2）由，可得，即，解得，又由，可得，解得，当时，，，所以.当时，，，所以.16．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据向量的线性运算直接表示各向量；（2）利用转化法求向量数量积及夹角.【详解】（1）因为点，分别在棱，上，且，，所以，，所以，；（2）因为，，，，所以，，所以，，，所以，即异面直线，所成角的余弦值为.17．【答案】(1)证明见详解(2)或【详解】（1）M是AD中点，，，平面平面ABCD，平面平面，平面QAD，平面ABCD，又平面ABCD，．（2）取BC中点F，连接MF，M，F分别为AD，BC中点，，，又，；以F为坐标原点，，正方向为x，y轴正方向，过F作z轴，可建立如图所示空间直角坐标系.设，，，，，，，，，，；设平面QBC的法向量，则，令，解得，，；设直线MN与平面QBC所成角为，，解得或，故QM的长为或.18．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点G，连接，，利用线线平行证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面夹角正弦值.【详解】（1）证明：取的中点，连接，，因为F，G分别为，的中点，所以，，又E为的中点，，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）

解：在直三棱柱中，平面，又平面，平面，所以，，又，故以B为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则令得，，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成的角的正弦值为.19．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）利用线面垂直证明面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设，，利用坐标法求面面夹角余弦值，再利用换元法结合二次函数最值求法可得面面夹角余弦值的最小值.【详解】（1）因为是等边三角形，点是棱的中点，所以，平面，平面，，又，，平面，平面，又平面，平面平面；（2）在平面中，过点作，，，又平面，平面，，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，

是等边三角形，，，，，，，，设（），所以，，设平面的法向量为，，，因为，令，得，所以平面的一个法向量为，设平面的法向量为，，因为，令，得，所以平面的一个法向量为.设平面与平面所成角为，所以（），设，则，所以，所以，所以当，即时，取到最小值.2024-2025学年山西省吕梁市高二上学期9月月考数学质量检测试卷（二）一、单选题（本大题共8小题）1．一组数据：2，5，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差2．某场乒乓球单打比赛按三局两胜的赛制进行，甲乙两人参加比赛．已知每局比赛甲获胜的概率为0.4，乙获胜的概率为0.6．现用计算机产生1~5之间的整数随机数，当出现1或2时，表示此局比赛甲获胜，当出现3，4或5时，表示此局比赛乙获胜．在一次试验中，产生了20组随机数如下：534123512114125334432332314152423443423344541453525151354345根据以上数据，利用随机模拟试验，估计甲获得冠军的概率为（）A．0.24 B．0.3 C．0.7 D．0.763．如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是（

）A．众数<中位数<平均数 B．众数<平均数<中位数C．中位数<平均数<众数 D．中位数<众数<平均数4．已知两条不同直线m，n与三个不同平面α，β，γ，则下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，n⊥α，则m//n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α//βC．若α⊥β，m⊥β，则m//α D．若α⊥β，m⊥α，n//β，则m⊥n5．在正四面体的棱中任取两条棱，则这两条棱所在直线成角的概率是（

）A． B． C． D．6．《九章算术》中将正四梭台（上､下底面均为正方形）称为“方亭”.现有一方亭，上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱与下底面所成的角为，则此方亭的体积为（）A． B．C． D．7．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧（含端点）上的一点，则的范围为（

）A． B． C． D．8．已知直三棱柱的体积为8，二面角的大小为，且，，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．若复数z=i2024A．z=25 C．复数z的实部与虚部不相等 D．复数z在复平面内对应的点在第四象限10．某超市在两周内的蓝莓每日促销量如图所示，根据此折线图，下面结论正确的是（）A．这14天日促销量的众数是214B．这14天日促销量的中位数是196C．这14天日促销量的极差为195D．这14天日促销量的第80百分位数是24311．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b−2a+4asin2A．角C为钝角 B．a2C．3tanA+tanC=0 D．tanB的最小值为33三、填空题（本大题共3小题）12．已知事件与事件相互独立，且，，则．13．某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，样本中有39名女员工，女员工的平均体重为50kg，方差为36；有21名男员工，男员工的平均体重为70kg，方差为16．则样本中所有员工的体重的方差为_______．14．如图，，分别是正方形的边，的中点，把，，折起构成一个三棱锥（，，重合于点），则三棱锥的外接球与内切球的半径之比是.

四、解答题（本大题共5小题）15．已知向量，.(1)若，求实数m的值；(2)若非零向量满足，求与的夹角.16．某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，否则直到三次机会用完.已知甲､乙､丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是，假设甲､乙､丙每次答题是相互独立的，且甲､乙､丙的答题结果也是相互独立的.(1)求甲第二次答题通过初赛的概率；(2)求乙通过初赛的概率；(3)求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率.17．某学校为了解本校历史，物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在，的有10个．（1）求和乙样本直方图中的值；（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）．（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在，和，的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在，中的概率．18．在中，内角，，的对边分别为，，，且．(1)求角的大小；(2)若，．①求的面积；②若，求．19．如图，在四棱锥P−ABCD中，已知底面ABCD为矩形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，AD=2．(1)证明：AM⊥平面PCD；(2)若二面角M−BC−D的余弦值为63，求异面直线AB与PC

参考答案1．【答案】A【详解】由这组数据：2，5，2，3，可得，平均数是3，中位数是2.5，众数是2，方差是2−32+加入数据3后，平均数是3，中位数是3，众数是2和3，方差是2−32+故选：A.2．【答案】B【详解】根据题意，在20组随机数中，表示甲获胜的有：123，512，114，125，152，151，共6种情况，所以可估计甲获得冠军的概率为620=0.3.故选：3．【答案】A【详解】由频率分布直方图知，数据组的众数为左起第2个小矩形下底边中点值，显然在过该中点垂直于横轴的直线及左侧的矩形面积和小于0.5，则众数<中位数，由频率分布直方图呈现右拖尾形态，得中位数<平均数，所以众数<中位数<平均数.故选：A4．【答案】A【详解】A：若m⊥α，n⊥α，则m//n，故A正确；B：若α⊥γ,β⊥γ，则α与β可能平行或相交，故B错误；C：若α⊥β，m⊥β，则m//α或m⊂α，故C错误；D：若α⊥β，m⊥α，n//β，则m与n可能相交、平行或异面，故D错误.故选：A.5．【答案】D【分析】根据正四面体的结构特征，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，正四面体共有6条棱，其中任取两条，共有种取法，其中在正四面体中，只有与，与，与，三组互相垂直，其余任意两条棱夹角都为，所以这两条棱所在直线成的概率.故选：D.6．【答案】C【分析】根据题意找到侧棱与下底面所成的角，求出侧棱长，求出正四棱台的高即可求出此方亭的体积.【详解】如图，分别是正四棱台不相邻两个侧面的高，是一条侧棱，过作，连接,所以是正四棱台的高，所以，因为，所以，所以方亭的体积为.故选C.7．【答案】A【分析】利用向量数量积的运算量，结合即可求解.【详解】取中点为，连接，显然，则.故选：A.8．【答案】A【详解】取的中点，连接，，，则二面角的平面角为，二面角的大小为，则，所以，，又直三棱柱的体积为8，，则，，又平面平面，平面平面，且平面，平面，设点到平面的距离为，又，，解得，故选：A.9．【答案】BCD【详解】对于A，由题知z=i20242+i=12+i=对于B，z+z=2−i5对于C，复数z的实部为25，虚部为−15对于D，复数z在复平面内对应的点为25,−15故选：BCD.10．【答案】AC【详解】根据题意，提取出蓝莓每日促销量.从小到大排列得到数据：80,83,138,155,157,165,179,214,214,221,243,260,263,275．则这14天蓝莓每日促销量的众数是214，故A正确；则这14天蓝莓每日促销量的中位数是第7和8个平均值,即179+2142=196.5，故则这14天蓝莓每日促销量的极差是275−80=195，故C正确；则这14天蓝莓每日促销量的第80百分位数，因为14×0.8=11.2，则取第12个，即260．故D错误.故选：AC．11．【答案】ABC【详解】对于A，∵b−2a+4asin2A+B∴b−2a+4acos2C2=0∴cosC=−b2a＜0，又C∈0,π，∴C对于B，由余弦定理知，cosC=a2+b2−c对于C，∵tanAtanC=∴3tanA+tanC=0，故选项C正确；对于D，∵A+B+C=π，∴tanB=−tanA+C=−∵C为钝角，则A∈0,π2，∴1tanA+3tanA⩾21tanA⋅3tanA=23，当且仅当1tanA=3tanA，即tanA=3故选：ABC.12．【答案】0.6【分析】利用任意两个事件的和事件的概率计算公式以及相互独立事件的概率乘法公式即可求解.【详解】因为事件与事件相互独立，，，所以，所以.故答案为：.13．【答案】120【详解】依题意样本中所有员工的体重的平均值为3939+21×50+则样本中所有员工的体重的方差s2=所以样本中所有员工的体重的方差为120.14．【答案】【详解】因为两两垂直，所以三棱锥的外接球也是以为长，宽，高的长方体的外接球，设其外接球半径为，因为正方形边长为，所以，，即，解得．因为三棱锥的表面积即为正方形的面积，，设其内切球的半径为，所以，，即．因此，．15．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示即可求解；（2）由，得，又，得，设向量与的夹角为，，则，然后分和讨论即可得答案.【详解】（1）解：∵，，∴，又，∴，即，∴；（2）解：，由，得，∵，∴，设向量与的夹角为，，则，当时，，，当时，，，∴与的夹角为或.16．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得；（2）根据相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得；（3）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得.【详解】（1）记甲第二次答题通过初赛为事件，则；（2）记乙通过初赛为事件，则；（3）依题意甲、乙、丙每人通过初赛的概率均为，记甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛为事件，则.17．【答案】见详解【详解】（1）由直方图可知，乙样本中数据在，的频率为，则，解得；由乙样本数据直方图可知，，解得；（2）甲样本数据的平均值估计值为，乙样本数据直方图中前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，所以乙样本数据的中位数在第4组，设中位数为，，解得，所以乙样本数据的中位数为82，即理科学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数为82；由频率分布直方图可知从分数在，和，的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在，中抽取的2名学生分别记为，，从分数在，中抽取的4名学生分别记为，，，，则从