2024-2025学年江苏省徐州市高二上学期第一次月考数学检测试题合集2套（附解析）

2024-2025学年江苏省徐州市高二上学期第一次月考数学检测试题（一）一、单选题（本大题共8小题）1．已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（

）A．7 B．6 C．5 D．42．若是圆上任一点，则点到直线的距离的值不可能等于（

）A．4 B．6 C． D．83．设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．4．设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．5．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．6．设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，为的准线，则（

）A． B．C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形7．对于一段曲线，若存在点，使得对于任意的，都存在，使得，则称曲线为“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任何椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则下列正确的是（

）A．①成立②不成立 B．①不成立②成立C．①成立②成立 D．①不成立②不成立8．2024年3月，某科技公司启用具备“超椭圆”数学之美的新logo．设计师的灵感来源于曲线C：．其中星形线E：常用于超轻材料的设计．则下列关于星形线说法错误的是（

）E关于y轴对称 E上的点到x轴、y轴的距离之积不超过曲线E所围成图形的面积小于2 E上的点到原点距离的最小值为二、多选题（本大题共3小题）9．已知定圆，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段的中垂线交直线于点Q，则点Q的轨迹可能为（

）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆10．已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（

）A．C的准线为 B．直线AB与C相切C． D．11．已知是圆上任意一点，过点向圆引斜率为的切线，切点为，点，则下列说法正确的是（

）A．时， B．C． D．的最小值是三、填空题（本大题共3小题）12．已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值．13．抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.过抛物线：上的点（不为原点）作的切线，过坐标原点作，垂足为，直线（为抛物线的焦点）与直线交于点，点，则的取值范围是.14．天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线（CassiniOval）．在平面直角坐标系中，设定点为，，点O为坐标原点，动点满足（且为常数），化简得曲线E：．下列命题中正确序号是．①曲线E既是中心对称又是轴对称图形；②的最小值为2a；③当时，的最大值为；④面积不大于．四、解答题（本大题共5小题）15．已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，直线交于两点，且.(1)求双曲线的标准方程；(2)若点，直线与轴分别相交于两点，且为坐标原点，证明：直线过定点.16．已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．(1)求椭圆的方程和离心率；(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．17．已知抛物线，在上有一点A位于第一象限，设A的纵坐标为.(1)若A到抛物线准线的距离为3，求的值；(2)当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离；(3)直线，是第一象限内上异于A的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为.若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围.18．在平面直角坐标系中，已知抛物线和点.点在上，且.(1)求的方程；(2)若过点作两条直线与，与相交于，两点，与相交于，两点，线段和中点的连线的斜率为，直线，，，的斜率分别为，，，，证明：，且为定值.19．直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点且斜率存在的直线族，表示斜率为1的直线族.直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.(1)若直线族的包络曲线是圆，求满足的关系式；(2)若点不在直线族的任意一条直线上，对于给定的实数，求的取值范围和直线族的包络曲线；(3)在（2）的条件下，过直线上一个动点作曲线的两条切线，切点分别为，求原点到直线距离的最大值.

参考答案1．【答案】D【分析】利用抛物线的定义求解即可.【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，所以到准线的距离为，又到直线的距离为，所以，故.故选：D.2．【答案】D【详解】如图，圆的圆心坐标为，半径为1，直线过定点．由图可知，圆心C到直线距离的最大值为，则点P到直线距离的最大值为；当直线与圆有公共点时，点P到直线距离的最小值为0．即距离的范围是.选项中仅D选项不在范围内.故选：D.3．【答案】C【详解】依题意，设椭圆的长轴为，半焦距为，则，则，，于是，.故选：C.4．【答案】D【详解】设，则的中点，可得，因为在双曲线上，则，两式相减得，所以.对于选项A：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得，则由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：，则，联立方程，消去y得，此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；故选：D.5．【答案】B【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，因为，则，可得，则，，即为钝角，所以；法二：圆的圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，连接，可得，则，因为且，则，即，解得，即为钝角，则，且为锐角，所以；方法三：圆的圆心，半径，若切线斜率不存在，则切线方程为x=0，则圆心到切点的距离，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为，即，则，整理得，且设两切线斜率分别为，则，可得，所以，即，可得，则，且，则，解得.故选：B.

6．【答案】C【详解】对于A，直线过抛物线的焦点，可得，所以，故A错误；对于B，抛物线方程为：，与交于两点，直线方程代入抛物线方程可得，，所以，所以，故B不正确；对于C，的中点的横坐标为，中点到抛物线的准线的距离为，所以以为直径的圆与相切，故C正确；对于D，由B得，，解得或，不妨设，则，所以，，所以不是等腰三角形，故D错误；故选：C7．【答案】A【详解】由于椭圆是封闭的，则总可以找到满足题意的点，使得成立，不妨设椭圆方程为，取点，由椭圆性质可知，椭圆上的任意点P，总有，若，则，由，得，整理得，所以在椭圆上必存在点Q，使得成立，①成立；在双曲线中，假定存在点，显然的最大值趋于正无穷大，的最小值是定值，即的最小值是定值，设，则，由，显然，不妨令，取，则，与矛盾，②不成立．故选：A8．【答案】D【详解】对于A，若在星形线E上，则也在E上，故E关于轴对称，A正确；对于B，由，则，当且仅当时等号成立，B正确；对于C，曲线E过点，在所围成的区域内部，而所围成的面积为2，故曲线E所围成的面积小于2，C选项正确；对于D，由，当且仅当时等号成立，故上的点到原点的距离最小值为，故D选项错误.故选：D9．【答案】ABD【分析】是线段的中垂线上的点，可得．对点的位置分类讨论，利用线段垂直平分线的定义与性质、圆锥曲线的定义即可判断出结论．【详解】因为是线段的中垂线上的点，，若在圆内部，且不为圆心，则，，所以点轨迹是以，为焦点的椭圆，故A正确；

若在圆外部，则，，所以点轨迹是以，为焦点的双曲线，故B正确；

若在圆上，则的中垂线恒过圆心，即的轨迹为点．若为圆的圆心，即与重合时，为半径的中点，所以点轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，故D正确，不存在轨迹为抛物线的可能，故C错误，故选ABD.10．【答案】BCD【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；，所以直线的方程为，联立，可得，解得，故B正确；设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，所以，直线的斜率存在，设其方程为，，联立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正确；因为，，所以，而，故D正确.故选：BCD11．【答案】BCD【详解】当时，圆的方程为，圆心为，半径为，过点向圆引切线，根据题意可知，切线斜率存在，设切线方程为，即，由点到直线的距离公式可得，又因为，所以，故A不正确；设直线，由，得，由，即，又因为，所以，所以，所以，故B正确；因为，令，，当时，，所以在上单调递减，因为，而，所以，即，故C正确；设，此时，故而，等号成立当且仅当在上，故D正确.故选：BCD.12．【答案】（中任意一个皆可以）【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案为：（中任意一个皆可以）．13．【答案】【分析】设点，切线的方程为，可求得切线的斜率，由可求得的方程，与直线联立可求得点的坐标，消参可求得点的轨迹方程，结合图形可求得的范围.【详解】因为点为抛物线：上的点（不为原点），所以可设点，且，当切线的斜率不存在时，不合题意；当切线的斜率存在时，可设为，联立，消去可得，化简可得，令，可得，化简可得，即，又，所以的斜率，所以的方程，因为点，，所以的斜率为，则的方程为，联立，解得，即，由两式相除可得，即，由，可得，再代入，可得，化简可得，可得，可知点轨迹为半径为的圆，圆心为，结合图形可知，又，，则.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题难点在于如何求出点的轨迹方程，可借助参数得出两直线的方程，联立后用参数表示该交点坐标，借助交点坐标消去参数，即可求得该点的轨迹方程.14．【答案】①③④【详解】①：以代x，得：，所以曲线关于纵轴对称；以代y，得：，所以曲线关于横轴对称；同时以代x，以代y得：，所以曲线关于原点对称，所以曲线E既是中心对称又是轴对称图形，故正确；②：因为，所以当时，有，当时，显然P与，中一点重合，故此时，故错误；③：当时，由，化简得，因此有，所以，故正确；④：面积为：，当时，面积的最大值为，故正确.故答案为：①③④15．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据双曲线的定义，结合离心率得，，进而得答案；（2）设，则，进而求出直线，的方程，并与椭圆联立方方程解得，进而得直线的方程为，并整理得即可证明结论.【详解】（1）解：因为，所以，解得，设双曲线的半焦距为，因为离心率为，所以，解得，则，所以双曲线的标准方程为.（2）证明：设，则，，直线的方程为，直线的方程为.联立方程消去并整理得显然，即所以，，联立方程消去并整理得，显然，即，，即当时，直线的方程为，将上面求得的的解析式代入得，整理得，所以直线过定点.16．【答案】(1)椭圆的方程为，离心率为.(2).【分析】（1）由解得，从而求出，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率.（2）先设直线的方程，与椭圆方程联立，消去，再由韦达定理可得，从而得到点和点坐标.由得，即可得到关于的方程，解出，代入直线的方程即可得到答案.【详解】（1）如图，

由题意得，解得，所以，所以椭圆的方程为，离心率为.（2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得，设直线的方程为，联立方程组，消去整理得：，由韦达定理得，所以，所以，，所以,,，所以，所以，即，解得，所以直线的方程为.17．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）抛物线的准线为，由于A到抛物线准线的距离为3，则点A的横坐标为2，则，解得；（2）当时，点A的横坐标为，则，设，则的中点为，由题意可得，解得，所以，则，由点斜式可得，直线的方程为，即，所以原点到直线的距离为；（3）如图，

设，则，故直线的方程为，令，可得，即，则，依题意，恒成立，又，则最小值为，即，即，则，解得，又当时，，当且仅当时等号成立，而，即当时，也符合题意.故实数的取值范围为.18．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）由己知，根据点坐标，借助可表示出点坐标，然后带入抛物线方程，即可完成方程的求解；（2）由已知，分别设出四点坐标，然后利用坐标分别表示出直线，，，的斜率,即可证得，设和的中点分别为，，分别联立与抛物线方程，求得，的坐标，利用斜率公式表示，化简计算即可得出结果.【详解】（1）设点，则，因为，，所以，，所以点，代入方程中，得，所以的方程为.（2）设点，，，，则直线的斜率，同理得直线的斜率，直线的斜率，直线的斜率，所以，，从而得.由，消去得，所以，，由，得或.设和的中点分别为，，则，，同理，，所以，即，所以得.19．【答案】(1)；(2)，；(3).【详解】（1）依题意，直线族与圆相切，即圆心到直线族的距离为4，则，所以满足的关系式为.（2）点不在直线族的任意一条直线上，则对，方程无解，则，解得，即的取值范围为.猜想：直线族的包络曲线为，证明如下：①设曲线上任意一点，求导得，则曲线在点处的切线斜率为，切线方程为，即，令，则切线方程为，因此曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线；②，直线族中的每条直线都是曲线在点处的切线，所以直线族的包络曲线为.（3）由（2）知，曲线：，设，直线的方程为，直线的方程为，于是，即点，设直线的方程为，由得，，则，点，而在直线上，则，即，因此直线：过定点，该点与原点确定直线的斜率为2，当时，原点到直线距离的最大值为.2024-2025学年江苏省徐州市高二上学期第一次月考数学检测试题（二）一、单选题（本大题共8小题）1．若数列为等差数列，且，则等于（

）A．5 B．4 C．3 D．22．已知等比数列的前2项和为12，，则公比的值为（

）A． B．2 C． D．33．公比为的等比数列满足，，则（

）A． B．1 C．3 D．94．已知是等比数列的前n项和，，，则公比（

）A． B． C．3或 D．或5．首项为-24的等差数列，从第10项起为正数，则公差d的取值范围是（

）A． B． C． D．6．等差数列的前四项之和为，后四项之和为，各项和为，则此数列的项数为（

）A． B． C． D．7．在等比数列中，若，是方程的两根，则（

）A． B． C．2 D．8．已知等差数列{an}中，其前n项和为Sn，若则（

）A．2021 B．-2022 C．2024 D．-2023二、多选题（本大题共3小题）9．若数列是等比数列，则（

）A．数列是等比数列 B．数列是等比数列C．数列是等比数列 D．数列是等比数列10．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且，则（

）A．d＜0 B．a10＝0 C．S18＜0 D．S8＜S911．已知等比数列的各项均为正数，公比为，，，记的前项积为，则下列选项正确的是（

）A． B． C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．若数列是等比数列，且则13．数列{an}的通项公式an＝－n2＋10n＋11，则该数列前项的和最大．14．等差数列、满足对任意都有，则=．四、解答题（本大题共5小题）15．为等差数列的前n项和，已知(1)求数列的通项公式;(2)求，并求的最小值.16．求数列，，，…，，…的前n项和．17．已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列．.(1)求数列的通项公式；(2)若对任意都有成立，求正整数的值.18．已知数列中，，(1)证明数列是等比数列；(2)若数列的通项公式为,求数列的前n项和.19．在数列中，．(1)求的通项公式；(2)若，求的前项和．参考答案1．【答案】D【详解】依题意，.故选：D2．【答案】A【详解】由题意知，设等比数列的公比为，则，即，解得，.所以.故选：A3．【答案】C【详解】由，知，又，则，，解得（舍），或.故选：C.4．【答案】D【详解】由，因，代入得，，即，解得，或.故选：D.5．【答案】D【详解】由等差数列的通项公式可得：，∵从第10项开始为正数，∴，解得，∴公差的取值范围是，故选：D.6．【答案】B【解析】由题意可得，两式左右两端分别相加，根据等差数列的性质，可求的值，再根据等差数列前项和公式，求项数.【详解】由题意可得，以上两式左右两端分别相加，可得.数列是等差数列，，.又.故选：.7．【答案】A【解析】，是方程的两根，根据韦达定理可得，，，可得，利用是的等比中项，即可求解.【详解】由题意可得，，则，所以，又，故.故选:A.8．【答案】C【详解】在等差数列中，，其前项和为，，，解得，则．故选：C．9．【答案】AD【详解】设等比数列的公比为，，则是以为公比的等比数列，A对；时，，则不是等比数列，B错；，时，，此时不是等比数列，C错；