2025年高考数学总复习《集合、常用逻辑用语、不等式、复数》专项测试卷及答案

第页2025年高考数学总复习《集合、常用逻辑用语、不等式、复数》专项测试卷及答案（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合，则（

）A． B．C． D．2．已知集合，，，，若，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．3．已知向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．5．设，则函数的最小值为（

）A．0 B． C．-1 D．6．是虚数单位，复数满足，其中.：“复数在复平面内对应的点在第一象限”，则下列条件是的充分不必要条件的是（

）A． B． C． D．7．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（

）A． B．C． D．8．设S是整数集Z的非空子集，如果任意的，有，则称S关于数的乘法是封闭的.若、是Z的两个没有公共元素的非空子集，．若任意的，有，同时，任意的，有，则下列结论恒成立的是(

)A．、中至少有一个关于乘法是封闭的B．、中至多有一个关于乘法是封闭的C．、中有且只有一个关于乘法是封闭的D．、中每一个关于乘法都是封闭的二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知表示集合的整数元素的个数，若集合（

）A． B．C． D．10．下列结论正确的是（

）A．若a，b为正实数，，则B．若a，b，m为正实数，，则C．若，则“”是“”的充分不必要条件D．不等式成立的充分不必要条件是，则m的取值范围是11．设，，是复数，则下列说法中正确的是（

）A．若，则或 B．若且，则C．若，则 D．若，则12．若，，且，则下列说法正确的是（

）A．有最大值 B．有最大值2C．有最小值4 D．有最小值第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设命题：，.写出一个实数，使得为真命题.14．“生命在于运动”，某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为．15．若复数z满足，则的最小值为16．已知正实数，满足，则的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）设命题：“对任意，恒成立”．且命题为真命题．(1)求实数的取值集合；(2)在（1）的条件下，设非空集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．18．（12分）已知复数，，其中i为虚数单位，且满足，且为纯虚数.(1)若复数，在复平面内对应点在第一象限，求复数z；(2)求；(3)若在（1）中条件下的复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值.19．（12分）第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在四川成都举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．20．（12分）已知关于的不等式的解集为或.(1)求，的值；(2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围.21．（12分）已知函数．(1)若不等式的解集是空集，求m的取值范围；(2)当时，解不等式；(3)若不等式的解集为D，若，求m的取值范围．22．（12分）已知集合的元素全为实数，且满足：若，则．(1)若，求出中其它所有元素；(2)0是不是集合中的元素？请你设计一个实数，再求出中的所有元素？(3)根据（1）（2），你能得出什么结论．参考答案第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，所以.故选：C2．已知集合，，，，若，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，则由题意可设，，其中，则，且，故，故选：D．3．已知向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若与的夹角为锐角，则且与不共线，所以，解得且，所以“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选：B．4．“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，恒成立，当时，则，解得，综上所述，不等式恒成立时，，所以选项中“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是.故选：D.5．设，则函数的最小值为（

）A．0 B． C．-1 D．【答案】C【解析】设，，则，，当且仅当，即时等号成立.故选：C.6．是虚数单位，复数满足，其中.：“复数在复平面内对应的点在第一象限”，则下列条件是的充分不必要条件的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，则，若复数在复平面内对应的点在第一象限，则，解得，即：，因为选项中只有为的真子集，所以选项中只有是的充分不必要条件.故选：D.7．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，可得或，由，即，得，，当，即时，不等式的解为，此时不等式组的解集为，又因为不等式组仅有一个整数解，则，解得；当，即时，不等式的解为，又因为不等式组仅有一个整数解，则，解得；综上所述，的取值范围为.故选：B.8．设S是整数集Z的非空子集，如果任意的，有，则称S关于数的乘法是封闭的.若、是Z的两个没有公共元素的非空子集，．若任意的，有，同时，任意的，有，则下列结论恒成立的是(

)A．、中至少有一个关于乘法是封闭的B．、中至多有一个关于乘法是封闭的C．、中有且只有一个关于乘法是封闭的D．、中每一个关于乘法都是封闭的【答案】A【解析】若为奇数集，为偶数集，满足题意，此时与关于乘法都是封闭的，排除B、C；若为负整数集，为非负整数集，也满足题意，此时只有关于乘法是封闭的，排除D；从而可得、中至少有一个关于乘法是封闭的，A正确.故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知表示集合的整数元素的个数，若集合（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由，因此，由，因此.A：因为集合中的整数有，共10个，所以，因此本选项正确；B：因为，所以本选项不正确；C：因为集合中的整数有，共9个，所以，因此本选项正确；D：因为，所以，因为，所以，因此本选项正确，故选：ACD10．下列结论正确的是（

）A．若a，b为正实数，，则B．若a，b，m为正实数，，则C．若，则“”是“”的充分不必要条件D．不等式成立的充分不必要条件是，则m的取值范围是【答案】ACD【解析】对于A，因为，为正实数，，所以，所以，故A正确；对于B，因为，，为正实数，，所以，所以，故B错误；对于C，由，可得或，故由可得，但是不一定得到，故“”是“”的充分不必要条件，故C正确；对于D，由可得，由于成立的充分不必要条件是，所以或，解得，故D正确．故选：ACD11．设，，是复数，则下列说法中正确的是（

）A．若，则或 B．若且，则C．若，则 D．若，则【答案】ABC【解析】对于A：，则，则或，即或，故A正确；对于B：，，且，所以，，故B正确；对于C：设，则，，，故C正确；对于D，取，，则，但，，则，故D错误．故选：ABC12．若，，且，则下列说法正确的是（

）A．有最大值 B．有最大值2C．有最小值4 D．有最小值【答案】AC【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以有最大值，故A正确；对于B，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以有最大值，故B错误；对于C，，当且仅当，即时取等号，所以有最小值4，故C正确；对于D，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以有最小值，故D错误.故选：AC.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设命题：，.写出一个实数，使得为真命题.【答案】(答案不唯一)【解析】若正确，时,有解，时,则或，所以，综上，真，则，即中任取一个值都可以.故答案为：(答案不唯一)14．“生命在于运动”，某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为．【答案】20【解析】首先设是会打乒乓球的教师，是会打羽毛球球的教师，是会打蓝球的教师，根据题意得，，，，，再使用三元容斥原理得：，有，而中把的区域计算了3次，于是要减掉这3次，才能得到会且仅会其中两个体育项目的教师人数.因此会且仅会其中两个体育项目的教师人数为.故答案为：20.15．若复数z满足，则的最小值为【答案】/【解析】设，（不同时为0），，由题意可知，得或，当时，的轨迹是轴（除原点外），此时的几何意义表示复数表示的点和的距离，此时，当时，复数的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，如图，根据复数模的几何意义可知，的几何意义是圆上的点到的距离，如图可知，的最小值是点与的距离.故答案为：.16．已知正实数，满足，则的最小值为．【答案】12【解析】因为正实数，满足，故，当且仅当时等号成立，故，当且仅当，即时取等号，符合题意，故的最小值为12，故答案为：12四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）设命题：“对任意，恒成立”．且命题为真命题．(1)求实数的取值集合；(2)在（1）的条件下，设非空集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．【解析】（1）对任意，恒成立，即，即对任意恒成立，而，即，故，当且仅当，即时取等号，故，则实数的取值集合.（2）解，即，得或，由于“”是“”的充分条件，故,故，即，所以实数的取值范围为或.18．（12分）已知复数，，其中i为虚数单位，且满足，且为纯虚数.(1)若复数，在复平面内对应点在第一象限，求复数z；(2)求；(3)若在（1）中条件下的复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值.【解析】（1）因为复数，，所以，又为纯虚数，所以，又，所以，又因为复数z在复平面内对应点在第一象限，所以，故.（2）由（1）可知当时，，当时，.（3）法一：由（1）可知是关于x的方程的一个根，所以把，代入得，化简得，即，解得：，法二：由（1）可知是关于x的方程的一个根，所以此方程的另一根为：，则，解得：，19．（12分）第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在四川成都举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．【解析】（1）设每件定价为元，依题意得，整理得，解得．所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．（2）依题意知当时，不等式有解，等价于时，有解．由于，当且仅当，即时等号成立，所以．故当该商品改革后的销售量至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．20．（12分）已知关于的不等式的解集为或.(1)求，的值；(2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围.【解析】（1）因为不等式的解集为或，所以1和是方程的两个实数根，且，所以，解得，即，.（2）由（1）知，于是有，故，当且仅当，结合，即时，等号成立，依题意有，即，得，即，所以的取值范围为.21．（12分）已知函数．(1)若不等式的解集是空集，求m的取值范围；(2)当时，解不等式；(3)若不等式的解集为D，若，求m的取值范围．【解析