2025年湖南省常德市桃源一中高考数学一模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年湖南省常德市桃源一中高考数学一模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知角θ的始边为x轴非负半轴，终边经过点P(1,2)，则sin(π−θ)sinθ+cosθ的值为(

)A.−13 B.13 C.−2.在(x3−i)(2x+ix)5(其中A.−39−i B.−39i C.−40+i D.−403.已知圆内接四边形ABCD中，AD=2,∠ADB=π4,BD是圆的直径，AC⋅BDA.5π12 B.π2 C.7π124.已知a=ln1.1，b=e0.1−1，c=sin0.1，则a，b，c的大小关系为A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>b>a5.已知函数f(x)=xlnx+x(x−a)2(a∈R)，若存在x∈[12,2]，使得f(x)>xf′(x)A.(94,+∞) B.(32,+∞)6.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1(−23,0)，F2(23,0)，离心率分别为e1，e2，点PA.x29−y23=1 B.7.已知公差不为零的等差数列{an}满足：a3+a8=20，且a5是a2与a14的等比中项.设数列{bA.12(1−12n+1)=n2n+1 B.8.如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.记格子从左到右的编号分别为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，若P(X=k)≤P(X=k0)，则k0A.4B.5C.6D.7二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=sinωx−3cosωx+1(ω>0)的最小正周期为π，则下列结论中正确的是A.f(x)的图像关于点(π6,0)对称 B.f(x)的图像关于直线x=5π12对称

C.f(x)在(0,1)上单调递增 D.10.已知圆C：(x+2)2+y2=4，直线lA.直线l恒过定点(−1,1)

B.当m=0时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1

C.直线l与圆C可能相切

D.若圆C与圆x2+11.四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PA与底面垂直，PA=2，AB=1，动点M在线段PC上，则(

)A.存在点M，使得AC⊥BM

B.MB+MD的最小值为303

C.四棱锥P−ABCD的外接球表面积为5π

D.点M到直线AB的距离的最小值为255

三、填空题：本题共312.在等差数列{an}中，数列{an}的前n项和为Sn，S7=2813.对∀x∈R，都有f(x)=x4−4x314.已知函数f(x)=x3+2x，若m>0，n>0，且f(2m)+f(n−1)=f(0)，则1四、解答题：本题共5小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4sinA−bsinB=csin(A−B)．

(1)求a的值；

(2)若△ABC的面积为3(b216.(本小题12分)

设函数f(x)=−x2+ax+lnx(a∈R)．

(1)若a=1，求函数f(x)的单调区间；

(2)设函数f(x)在[1e,e]上有两个零点，求实数a17.(本小题12分)

已知数列{an}满足a1=a(a∈R,a≠−12)，an=2an−1+1n+1n(n+1)(n∈N,n≥2).18.(本小题12分)

已知四棱锥P−ABCD，AD//BC，AB=BC=1，AD=3，DE=PE=2，E是AD上一点，PE⊥AD．

(1)若F是PE中点，证明：BF//平面PCD．

(2)若AB⊥平面PED，求面PAB与面PCD夹角的余弦值．19.(本小题20分)

某地区举行专业技能考试，共有8000人参加，分为初试和复试，初试通过后，才能参加复试.为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本，绘制了样本频率分布直方图，如图所示．

(1)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ为样本平均数的估计值，σ=11.5，试利用正态分布估计所有考生中初试成绩不低于85分的人数；

(2)复试共四道题，前两道题考生每题答对得5分，答错得0分，后两道题考生每题答对得10分，答错得0分，四道题的总得分为考生的复试成绩.已知某考生进入复试，他在复试中，前两题每题能答对的概率均为34，后两题每题能答对的概率均为35，且每道题回答正确与否互不影响.规定复试成绩上了20分(含20分)的考生能进入面试，请问该考生进入面试的概率有多大？

附：若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)

参考答案1.D

2.C

3.C

4.C

5.C

6.D

7.A

8.B

9.BC

10.AD

11.ABD

12.17

13.[0,+∞)

14.8

15.解：(1)∵4sinA−bsinB=csin(A−B)=c(sinAcosB−cosAsinB)，

∴由正弦定理可得：4a−b2=c(acosB−bcosA)，

∴由余弦定理知：accosB=12(a2+c2−b2)，可得cbcosA=12(c2+b2−a2)，

∴4a−b2=c(acosB−bcosA)=a2−b2⇒4a=a2，

解得：a=0或4，

∵a>0，

∴a=4；

(2)由余弦定理知b2+c2−a2=2bccosA，

又在△ABC中有S=12bcsinA，

∴12bcsinA=3(b216.解：(1)当a=1时，f(x)=−x2+x+lnx，f(x)的定义域为(0,+∞)，

f′(x)=−2x+1+1x=−2x2+x+1x，

令f′(x)>0，则2x2−x−1<0，解得0<x<1，

令f′(x)<0，则2x2−x−1>0，解得x>1．

∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)．

(2)令f(x)=−x2+ax+lnx=0，则a=x−lnxx．

令g(x)=x−lnxx，其中x∈[1e,e]，

则g′(x)=1−1x⋅x−lnxx2=x217.解：(1)证明：根据题意，当n≥2时，an=2an−1+1n+1n(n+1)=2an−1+2n−1n+1，即an+1n+1=2(an−1+1n)，

又由bn=an+1n+1，即bn=2bn−1，

又b1=a+12≠0，即bn≠0，所以数列18.(1)证明：如图，设M为PD的中点，连接FM，CM，

因为F是PE中点，所以FM//ED，且FM=12ED，

因为AD//BC，AB=BC=1，AD=3，DE=PE=2，

所以四边形ABCE为平行四边形，BC/​/ED，且BC=12ED，

所以FM/​/BC，且FM=BC，

即四边形BCMF为平行四边形，

所以BF//CM，

因为BF⊄平面PCD，CM⊂平面PCD，

所以BF/​/平面PCD．

(2)解：因为AB⊥平面PED，

所以CE⊥平面PED，EP，ED，EC相互垂直，

以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则P(0,0,2)，A(0,−1,0)，B(1,−1,0)，C(1,0,0)，D(0,2,0)，

所以AB=(1,0,0)，AP=(0,1,2)，PC=(1,0,−2)，CD=(−1,2,0)，

设平面PAB的一个法向量为m=(x1,y1,z1)，

则m⋅AB=x1=0m⋅AP=y1+219.解：(1)由意得样本平均数的估计值为：

(40×0.010+50×0.020+60×0.030+70×0.024+80×0.012+90×0.004)×10=62，