2022年北京市初三一模数学试题汇编：圆解答题（第24题）

第1页/共1页2022北京初三一模数学汇编圆解答题（第24题）一、解答题1．（2022·北京东城·统考一模）如图，在中，，以AB为直径作，交BC于点D，交AC于点E，过点B作的切线交OD的延长线于点F．(1)求证：；(2)若，，求AE的长．2．（2022·北京西城·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在弧BC上，AF与CD交于点G，点H在DC的延长线上，且HG=HF，延长HF交AB的延长线于点M．(1)求证：HF是⊙O的切线；(2)若，BM=1，求AF的长．3．（2022·北京朝阳·统考一模）如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．(1)求证：平分；(2)若，，求的长．4．（2022·北京石景山·统考一模）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，=，连接AC，BC，AD，BD，过点D作DE//AB交CB的延长线于点E．(1)求证：直线DE是⊙O的切线；(2)若AB=10，BC=6，求AD，BE的长．5．（2022·北京丰台·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC．过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点D，在AD上取一点E，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点F，连接AF．(1)求证：∠BAF＝∠EBD；(2)过点E作EG⊥BD于点G．如果AB＝5，BE＝2，求EG，BD的长．6．（2022·北京门头沟·统考一模）如图，是的直径，点、在上，，过点作的切线，交的延长线于．(1)求证：；(2)如果的半径为5.．求的长．7．（2022·北京通州·统考一模）如图1，AB是的直径，点C是上不同于A，B的点，过点C作的切线为BA的延长线交于点D，连接AC，BC．(1)求证：；(2)如图2，过点C作于点E，交于点F，FO的延长线交CB于点G．若的直径为4，，求线段FG的长．8．（2022·北京顺义·统考一模）如图，四边形ABCD内接于，AB为的直径，点D为的中点，对角线AC，BD交于点E，的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A．(1)求证：AE=AF；(2)若AF=6，BF=10，求BE的长．9．（2022·北京房山·统考一模）如图，BE是⊙O直径，点A是⊙O外一点：OA⊥OB，AP切⊙O于点P，连接BP交AO于点C．(1)求证：∠PAO=2∠PBO；(2)若⊙O的半径为5，，求BP的长．10．（2022·北京平谷·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接AC、BC，过O作OF∥AC，交BC于G，交DC于F．(1)求证：∠DCB＝∠DOF；(2)若tan∠A＝，BC＝4，求OF、DF的长．11．（2022·北京大兴·统考一模）如图，A是上一点，BC是的直径，BA的延长线与的切线CD相交于点D，E为CD的中点，AE的延长线与BC的延长线交于点P．(1)求证：AP是的切线；(2)若，，求CD的长．

参考答案1．(1)见解析(2)【分析】(1)首先根据等边对等角可证得，再根据平行线的判定与性质，即可证得结论；(2)首先根据圆周角定理及切线的性质，可证得，即可证得，再根据相似三角形的性质即可求得．（1）证明：（2）解：如图：连接BE是的直径，AB=4，是的切线又又，解得【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，作出辅助线，证得是解决本题的关键．2．(1)见解析(2)【分析】（1）连接OF，根据CD⊥AB，可得∠A+∠AGE=90°，再由HG=HF，可得∠HFG=∠AGE，然后根据OA=OF，可得∠A=∠OFA，即可求证；（2）连接BF，先证得△BFM∽△FAM，可得，再由，可得OM=5，AM=9，AB=8，FM=3，从而得到，然后由勾股定理，即可求解．【详解】（1）证明：连接OF，∵CD⊥AB，∴∠AEG=90°，∴∠A+∠AGE=90°，∵HG=HF，∴∠HFG=∠HGF，∵∠HGF=∠AGE，∴∠HFG=∠AGE，∵OA=OF，∴∠A=∠OFA，∴∠OFA+∠HFG=90°，即∠OFH=90°，∴HF是⊙O的切线；（2）解：如图，连接BF，由（1）得：∠OFM=90°，∴∠BFO+∠BFM=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠A+∠ABF=90°，∵OB=OF，∴∠ABF=∠BFO，∴∠BFM=∠A，∵∠M=∠M，∴△BFM∽△FAM，∴，∵，∴，∵BM=1，OB=OF，∴，解得：OF=4，∴OM=5，AM=9，AB=8，∴FM=，∴，∴，∵，∴，解得：．【点睛】本题主要考查了圆的综合题，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，理解锐角三角函数是解题的关键．3．(1)证明见详解(2)【分析】（1）连接OC，可证明，推导出，又因为，可得，即可证明，即平分；（2）连接BC，由为的直径可证明，由（1）可知，利用三角函数分别解、，解得AC、AD长度，再由勾股定理计算CD的长即可．【详解】（1）证明：如图1，连接OC，∵CD为切线，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即平分；（2）解：如图2，连接BC，∵为的直径，∴，∵，∴，即，解得，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、三角函数解直角三角形以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．4．(1)见解析(2)AD=5，BE=．【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠AOD=∠AOB=90°，根据平行线的性质得到∠ODE=90°，于是得到结论；（2）连接CD，根据圆周角定理得到∠ADB=∠ACB=90°，推出△ABD是等腰直角三角形，得到AB=10，解直角三角形得到AC=8，求得∠CAD=∠DBE，根据平行线的性质得到∠BDE=∠OBD=45°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OD，∵AB为⊙O的直径，点D是半圆AB的中点，∴∠AOD=∠AOB=90°，∵DE∥AB，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∴直线DE是⊙O的切线；（2）解：连接CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90°，∵=，∴DB=AD，∴△ABD是等腰直角三角形，∵AB=10，∴AD=10sin∠ABD=10sin45°=10×=5，∵AB=10，BC=6，∴AC==8，∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠CAD+∠CBD=180°，∵∠DBE+∠CBD=180°，∴∠CAD=∠DBE，由（1）知∠AOD=90°，∠OBD=45°，∴∠ACD=45°，∵DE∥AB，∴∠BDE=∠OBD=45°，∴∠ACD=∠BDE，∴△ACD∽△BDE，∴，∴，解得：BE=．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，特殊角的三角函数，正确的作出辅助线是解题的关键．5．(1)证明见解析(2)，【分析】（1）由直径所对的圆周角为90°，可得，由切线的性质可得，由，可得；（2）如图，由，，可得，由可得，求出的值，在，由勾股定理得，求出的值，证明，则，计算求解即可．（1）证明：∵是的直径∴∵是的切线∴∵，∴．（2）解：如图，∵，∴∵∴∴即解得在中，由勾股定理得∵，∴∴即解得∴EG的长为2，BD的长为．【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角为90°，等腰三角形的性质，正弦，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．6．(1)见解析；(2)【分析】（1）连接OE，AB是⊙的直径，∠A＋∠ABD＝90°，CE是⊙的切线，得∠C＋∠COE＝90°，由∠A＝2∠BDE，∠COE＝2∠BDE，即可得到结论；（2）先判断出∠ADF＝∠DFA，得出AD＝AF，再证明△BEF∽△BOE，然后根据相似三角形的性质即可得出结论．（1）证明：如图1，连接OE，∵AB是⊙的直径∴∠ADB＝90°∴∠A＋∠ABD＝90°∵CE是⊙的切线∴OE⊥CE∴∠OEC＝90°∴∠C＋∠COE＝90°∵∠A＝2∠BDE，∠COE＝2∠BDE∴∠C＝∠ABD（2）解：如图2，连接BE，解：设∠BDE＝α，∴∠ADF＝90°﹣α，∠A＝2α，∠DBA＝90°﹣2α，在△ADF中，∠DFA＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，∴∠ADF＝∠DFA，∴AD＝AF＝AO+OB－BF＝8，∴AD＝AF＝8∵∠ADF＝∠AFD，∠ADF＝∠FBE，∠AFD＝∠BFE，∴∠BFE＝∠FBE，∴BE＝EF，由（1）知，∠A＝2∠BDE＝∠COE，∵∠BED＝∠A，∴∠BEF＝∠COE，∵∠FBE＝∠OBE，∴△BEF∽△BOE，∴∴∴EF＝，故EF的长为．【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定和性质，证明△BEF∽△BOE是解本题的关键．7．(1)见解析(2)3【分析】（1）根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角，即可求解；（2）根据垂径定理和圆的切线，可证∠OGC=90°，根据角平分线的性质可知OG=OE，根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半可求OG，即可求解．（1）解：连接OC，∵CD是圆的切线∴∠OCD=90°∴∠DCA+∠ACO=90°∵AB是圆的直径∴∠ACB=90°∴∠B+∠CAO=90°∵∠CAO=∠ACO∴∠DCA=∠B．（2）解：连接OC，∵CD是圆的切线∴∠OCD=90°∵∠D=30°∴∠COD=60°∴∠B=∠BCO=∵CE⊥AB，OC=OF∴∠EOF=∠COE=60°，∠OCE=30°∴∠COG=60°∴∠OGC=90°∴OE=OG=∴FG=OF+OG=3．【点睛】本题考查圆的切线的性质、垂径定理、直角三角形的性质、角平分线的性质，熟练掌握这性质定理是解题的关键．8．(1)见详解(2)【分析】（1）根据同弧或等弧所对应的圆周角相等得出，根据直径对应的圆周角是直角及切线的性质即可得出，再根据等角或同角的余角相等即可得出，最后根据等角对等边即可得证；（2）根据同弧或等弧所对应的圆周角相等得出，根据直径对应的圆周角是直角及切线的性质即可得出，再根据等角或同角的余角相等即可得出，利用ASA证明，根据全等三角形的性质及勾股定理得出，根据三角形的面积公式及勾股定理得出BE的值．【详解】（1）证明：∵点D为弧的中点∴，∵为的直径，为的切线∴，∴，∴；（2）∵是的直径，∴，由（1），在中，，∴，∵，∴，∴∴【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，勾股定理，全等三角形的判定及性质定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质定理．9．(1)见解析(2)【分析】（1）连接，由切线的性质及垂直条件可得，再由等腰三角形的性质即可证得结果；（2）过点作于点，，设，则可求得OB，从而可得k的值，则在中由勾股定理即可求得PB的长．(1)证明：连接∵切⊙O于点∴∴∵∴∴∵OP=OB∴∠OPB=∠PBO∴∴(2)解：过点作于点∵∴∴设∴由勾股定理得：∵⊙O半径为5∴∴∴∴∴在中，【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及正切函数的定义等知识，连接半径是关键．10．(1)见解析(2)，【分析】（1）如图所示，连接OC，先证明∠DCB=∠OCA，由OC=OA，可证∠OAC=∠OCA=∠DCB，再由，可证∠DOF=∠OAC，即可证明∠DOF=∠DCB；（2）先证△OBG∽△ABC，∠BGO=∠ACB=90°得到，则CG=2，再由∠BCD=∠OAC，，求出，则，，即可得到，可证△OFD∽△ACD，得到，则．（1）解：如图所示，连接OC，∵CD是圆O的切线，AB是圆O的直径，∴∠OCD=∠ACB=90°，∴∠DCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB，∴∠DCB=∠OCA，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA=∠DCB，∵，∴∠DOF=∠OAC，∴∠DOF=∠DCB；（2）解：设OF与BC交于点G，∵，∴△OBG∽△ABC，∠BGO=∠ACB=90°∴，∠CGF=90°∴，∴CG=2，∵∠BCD=∠OAC，，∴，∴，∴，，∴，同理可证△OFD∽△ACD，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了圆切线的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，平行线的性质，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角等等，正确作出辅助线是解题的关键．11．(1)见解析(2)【