《高考备考指南 文科数学》课件-第8章 第4讲

第八章第4讲[A级基础达标]1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，点D∈/l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥β D．AC⊥β【答案】D【解析】如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D不一定成立．故选D．2．(2016年东阳模拟)下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于βD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β【答案】C【解析】对于A，平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，则l⊥γ，命题正确；对于B，平面α⊥平面β，不妨设α∩β＝a，作直线b∥a，且b⊂α，则b∥β，命题正确；对于C，平面α⊥平面β，过α与β交线上的点作交线的垂线时，该垂线不一定垂直于β，命题错误；对于D，假设平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α垂直于平面β，这与已知平面α与平面β不垂直矛盾，所以假设不成立，命题正确．故选C．3．如图所示，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D－ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是()A．①②④ B．①②③C．②③④ D．①③④【答案】B【解析】由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错．故选B．4.若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为()A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB．过点P垂直于直线l的直线在平面α内C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β【答案】B【解析】由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此也平行于平面β，因此A正确．过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B不正确．根据面面垂直的性质定理知，选项C、D正确．5．(2017年冀州月考)设PH⊥平面ABC，且PA，PB，PC相等，则H是△ABC的()A．内心 B．外心C．垂心 D．重心【答案】B【解析】由题意知，过点P作平面ABC的射影H，且PA＝PB＝PC，因为PH⊥底面ABC，所以△PAH≌△PBH≌△PCH，即HA＝HB＝HC，所以H为三角形的外心．故选B．6．如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，其中正确的是()A．①② B．①②③C．① D．②③【答案】B【解析】对于①，∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC.∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA.∵PA⊂平面PAC，∴OM∥平面PAC，对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．7．如图所示，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有________(写出全部正确命题的序号)．①平面ABC⊥平面ABD；②平面ABD⊥平面BCD；③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.【答案】③【解析】由AB＝CB，AD＝CD知AC⊥DE，AC⊥BE，从而AC⊥平面BDE，故③正确8．(2017年华蓥测试)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下面结论①AC∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1与底面ABCD所成角的正切值是eq\f(\r(2),2)；④AD1与BD为异面直线．其中正确的结论的序号是________．【答案】②③④【解析】①因为AC∩平面CB1D1＝C，所以AC∥平面CB1D1错误，所以①错误．②连接BC1，A1C1，则AC1⊥B1D1，AC1⊥A1因为B1D∩B1C＝B所以AC1⊥平面CB1D1，所以②正确．③因为AC1在底面ABCD的射影为AC，所以∠C1AC是AC1与底面ABCD所以tan∠C1AC＝eq\f(C1C,AC)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以③正确．④由异面直线的定义可知，AD1与BD为异面直线，所以④正确．故答案为：②③④.9．(2016年衡水模拟)如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.【证明】(1)如图所示，连接AC，BD，设AC∩BD＝O，连接NO，MO，则NO∥PA.∵PA⊥平面ABCD，∴NO⊥平面ABCD.∴NO⊥AB，∵MO⊥AB，∴AB⊥平面MNO.∴MN⊥AB.而CD∥AB，∴MN⊥CD.(2)∵∠PDA＝45°∴PA＝AD＝BC，由△PAM≌△CMB，得PM＝CM，又∵N为PC的中点，∴MN⊥PC.又MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD.10．(2016年肇庆三模)如图所示，ABCD是平行四边形，已知AB＝2BC＝4，BD＝2eq\r(3)，BE＝CE，平面BCE⊥平面ABCD.(1)证明：BD⊥CE；(2)若BE＝CE＝eq\r(10)，求三棱锥B－ADE的高．【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝4.∵BC＝2，BD＝2eq\r(3)，∴BD2＋BC2＝CD2.∴BD⊥BC，又平面BCE⊥平面ABCD，平面BCE∩平面ABCD＝BC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面BCE.∵CE⊂平面BCE，∴BD⊥CE.(2)取BC的中点F，连接EF，DF，AF，如图所示．∵EB＝EC，∴EF⊥BC.∵平面EBC⊥平面ABCD，平面EBC∩平面ABCD＝BC，∴EF⊥平面ABCD.∵BE＝CE＝eq\r(10)，BC＝2，∴EF＝eq\r(BE2－BF2)＝3，DF＝eq\r(BD2＋BF2)＝eq\r(13)，AF＝eq\r(AD＋BF2＋BD2)＝eq\r(21).∴DE＝eq\r(EF2＋DF2)＝eq\r(22)，AE＝eq\r(AF2＋EF2)＝eq\r(30).∴VE－ABD＝eq\f(1,3)S△ABD·EF＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)×3＝2eq\r(3).cos∠AED＝eq\f(22＋30－4,2×\r(22)×\r(30))＝eq\f(12,\r(165))，sin∠AED＝eq\f(\r(21),\r(165)).∴S△ADE＝eq\f(1,2)AE·DEsin∠AED＝eq\f(1,2)×eq\r(30)×eq\r(22)×eq\f(\r(21),\r(165))＝eq\r(21).设点B到平面ADE的高为h，则VB－ADE＝eq\f(1,3)S△ADE·h＝eq\f(\r(21),3)h＝2eq\r(3)，∴h＝eq\f(6\r(7),7).∴三棱锥B－ADE的高为eq\f(6\r(7),7).[B级能力提升]11．(2017年哈尔滨模拟)如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在A．直线AB上 B．直线BC上C．直线CA上 D．△ABC内部【答案】A【解析】∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(CA⊥AB，,CA⊥BC1，))∴CA⊥平面ABC1.∴平面ABC⊥平面ABC1.∴过点C1在平面ABC内作垂直于平面ABC，垂线在平面ABC1内，也在平面ABC内，∴点H在两面的交线上，即H∈AB.故选A．12．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1FA．eq\f(1,2) B．1C．eq\r(2) D．2【答案】A【解析】设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1＝eq\r(2)，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝eq\f(1,2)h.又2×eq\r(2)＝heq\r(22＋\r(2)2)，所以h＝eq\f(2\r(3),3)，DE＝eq\f(\r(3),3).在Rt△DB1E中，B1E＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(6),6).由面积相等得eq\f(\r(6),6)×eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(2),2)x，得x＝eq\f(1,2).13．(2016年哈尔滨校级一模)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，在折起过程中，下列结论中能成立的序号为________．①ED⊥平面ACD；②CD⊥平面BED；③BD⊥平面ACD；④AD⊥平面BED.【答案】④【解析】∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，E为DC边的中点，∴在折起过程中，D点在平面BCE上的投影如图．∵DE与AC所成角不能为直角，∴DE不会垂直于平面ACD，故①错误；只有D点投影位于点O2位置时，即平面AED与平面AEB重合时，才有BE⊥CD，此时CD不垂直于平面AEBC，故CD与平面BED不垂直，故②错误；BD与AC所成角不能成直角，∴BD不能垂直于平面ACD，故③错误；∵AD⊥ED，并且在折起过程中，有AD⊥BC，∴存在一个位置使AD⊥BE.∴在折起过程中AD⊥平面BED，故④正确．故答案为④.14．(2016年河南模拟)如图所示，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，DC＝2AB＝2a，DA＝eq\r(3)a，E为BC中点．(1)求证：平面PBC⊥平面PDE；(2)线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由．【证明】(1)证明：连接BD，如图所示．∵∠BAD＝90°，AB＝a，DA＝eq\r(3)a，∴BD＝DC＝2a.