几何问题课件人教版九年级数学上册

21.3.3几何问题第21章一元二次方程人教版数学九年级上册【公开课精品课件】授课教师：********班级：********时间：********展示生活中与一元二次方程相关的实际问题情境，如：一个面积为120平方米的矩形花园，长比宽多2米，求花园的长和宽。设宽为x米，则长为(x+2)米，可列方程x(x+2)=120。某种药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率。设每次降价的百分率为x，则可列方程56(1-x)²=31.5。引导学生观察列出的方程，与之前学过的一元一次方程进行对比，发现这些方程的特点，从而引出本节课要学习的一元二次方程的内容，让学生感受到一元二次方程在解决实际问题中的广泛应用。（二）知识讲解（30分钟）一元二次方程的概念给出几个不同形式的方程，如x²-3x+2=0，2x²+5x=0，3(x-1)²=27等，让学生观察方程的结构特征。总结一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。强调“整式方程”这一条件，举例说明如1/x²+x-1=0不是一元二次方程，因为它不是整式方程。讲解一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。让学生指出前面给出方程的各项系数，注意当系数为1或-1时，“1”常省略不写，但在确定系数时要写出。一元二次方程的解法直接开平方法：以方程x²=9为例，讲解直接开平方法的原理和步骤。因为x是9的平方根，所以x=±3。推广到一般形式，对于方程(x-m)²=n（n≥0），可以直接开平方得到x-m=±√n，进而解得x=m±√n。通过练习如(x-2)²=16，让学生掌握直接开平方法。配方法：以x²+6x-7=0为例，引导学生思考如何将方程左边配成完全平方式。首先在方程两边加上一次项系数一半的平方，即x²+6x+9-9-7=0，变形为(x+3)²-16=0，再利用直接开平方法求解。总结配方法的步骤：移项（把常数项移到方程右边）、配方（在方程两边加上一次项系数一半的平方）、变形（将方程左边配成完全平方式）、开平方、求解。通过练习如x²-4x-5=0，让学生巩固配方法。强调配方时加上的数是一次项系数一半的平方，且方程两边都要加。公式法：对于一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），通过配方法推导求根公式。\(\begin{align*}ax²+bx+c&=0\\ax²+bx&=-c\\x²+\frac{b}{a}x&=-\frac{c}{a}\\x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})²&=(\frac{b}{2a})²-\frac{c}{a}\\(x+\frac{b}{2a})²&=\frac{b²-4ac}{4a²}\end{align*}\)当b²-4ac≥0时，x+\frac{b}{2a}=±\frac{\sqrt{b²-4ac}}{2a}，得到求根公式x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}。讲解利用公式法解方程的步骤：先确定a、b、c的值，计算判别式Δ=b²-4ac的值，判断方程根的情况，当Δ≥0时，代入求根公式求解。通过练习如2x²-5x+2=0，让学生熟练运用公式法。因式分解法：以方程x²-3x=0为例，方程左边可因式分解为x(x-3)=0，根据“若两个因式的积为0，则至少有一个因式为0”，得到x=0或x-3=0，从而解得x₁=0，x₂=3。总结因式分解法的步骤：将方程右边化为0，把方程左边因式分解，令每个因式为0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。通过练习如(x-1)(x+2)=6，先将方程化为一般形式x²+x-8=0，再尝试因式分解（若不能分解则考虑其他解法），让学生掌握因式分解法。一元二次方程根的判别式回顾公式法中求根公式x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}，引出根的判别式Δ=b²-4ac。分析当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根。通过具体方程如x²-2x+1=0（Δ=0），x²-2x-3=0（Δ>0），x²+2x+3=0（Δ<0），让学生计算判别式并判断根的情况，加深理解。应用举例：已知关于x的一元二次方程x²-2x+k=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。根据Δ>0，即(-2)²-4k>0，解得k<1。一元二次方程的实际应用传播问题：以流感传播为例，假设一开始有1个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人。第一轮传染后有(x+1)个人患流感，第二轮传染后有(x+1)+x(x+1)=(x+1)²个人患流感，可列方程(x+1)²=121，解得x₁=10，x₂=-12（舍去）。总结传播问题的一般模型：设每轮传染中平均一个对象传染了x个对象，经过n轮传染后共有a(1+x)ⁿ个对象被传染（a为最初的对象数）。增长率问题：某工厂去年的利润为200万元，预计今年和明年的利润总和为1200万元，求该工厂利润的年平均增长率。设年平均增长率为x，则今年的利润为200(1+x)万元，明年的利润为200(1+x)²万元，可列方程200(1+x)+200(1+x)²=1200，整理得(1+x)²+(1+x)-6=0，设y=1+x，方程化为y²+y-6=0，解得y₁=2，y₂=-3（舍去），即1+x=2，x=1=100%。总结增长率问题的一般模型：设初始量为a，平均增长率为x，经过n次增长后的量为b，则a(1+x)ⁿ=b；若为平均降低率，则a(1-x)ⁿ=b。几何图形面积问题：在一块长为32米，宽为20米的矩形空地上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种植花草，使种植花草的面积为540平方米，求道路的宽度。设道路的宽度为x米，将两条道路平移到矩形的边上，可得种植花草部分的长为(32-x)米，宽为(20-x)米，可列方程(32-x)(20-x)=540，展开并整理得x²-52x+100=0，解得x₁=2，x₂=50（舍去，因为道路宽度不可能大于矩形的宽）。强调在解决几何图形问题时，要根据图形的特点合理设未知数，列出方程，并检验解是否符合实际情况。5课堂检测4新知讲解6变式训练7中考考法8小结梳理9布置作业学习目录1复习引入2新知讲解3典例讲解1.通过复习回顾学生可以根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型.2.通过教师讲解学生可以根据几何图形的周长或面积公式，建立一元二次方程来解决几何问题，培养学生的模型意识.3.学生经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能列出一元二次方程，提高学生解决问题的能力.重点难点在一块长32米，宽20米的草地上修筑两条道路，使剩余的草坪的面积为540平方米，请大家画出示意图，求道路的宽.提起代数，大家会想到什么？事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究，特别是对方程解法的研究.下面是我国南宋数学家杨辉提出的一个问题:“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，阔及长各几步？”大家试试解决这个问题假如有一幅画，长60cm，宽40cm，现在要给这幅画的四周裱上同样宽度的木框，使它的总面积达到3500㎡，那么木框的宽度是多少？请同学们阅读课本20页探究3并完成下面问题如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为为540m²，求道路的宽.

问题：（1）你能用几种方法表示出草坪的面积？（2）你能用学过的数学知识表述你是如何建立的等量关系吗？（3）通过这道题，你想到了我们学过的哪种数学方法？（4）你能列出方程并快速计算出结果吗?解

：(1)2种.分别为32×20-(20+32)x+x²,(20-x)(32-x).(4)列方程为(20-x)(32-x)=540,整理得x²-52x+100=0,因式分解得(x-50)(x-2)=0,

解得x₁=50(不合题意，舍去),x₂=2.(2)略.(3)略小组讨论上题中，对比你和同学的不同列式情况，你发现了什么快速列式的方法吗？小组展示我提问我回答我补充我质疑提疑惑：你有什么疑惑？越展越优秀教师讲评知识点1．面积与几何问题（重点）

教师讲评知识点2．动态几何问题（难点）1.关键：“以静代动”把动的点进行转换，变为用时间表示长度.2.方法：时间变路程3.求“动点的运动时间”可以转化为求“动点的运动路程”，也就是求线段的长度4.常找的数量关系——面积，勾股定理等

学会把动点问题转化为静点的问题，是解这类问题的关键.【题型一】篱笆和开门问题

例1如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2m宽的门，另外三边用篱笆围成，篱笆总长33m.（1）若墙长为18m，要围成鸡场的面积为150㎡，则鸡场的长和宽各为多少米？

（2）围成鸡场的面积可能达到200㎡吗？解：设鸡场的宽为ym,根据题意得y(33-2y+2)=200,整理得2y²-35y+200=0,因为(-35)²-4×2×200=1225-1600=-375<0,所以方程没有实数根，所以围成的鸡场面积不可能达到200m².变式如图，有长为30m的篱笆，一面靠墙(墙的最大可用长度为12m),围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃，设花圃的一边AB为xm,面积为ym².(1)用含x的代数式表示y,并求出x的取值范围；(2)如果要围成面积为63m²的花圃，AB的长是多少?的长是多少？解：(1)y=x(30-3x)=-3x²+30x.由题意得0<30-3x≤12,解得6≤x<10.(2)由题意得-3x²+30x=63,整理，得x²-10x+21=0.解得x₁=7,x₂=3.由(1)知6≤x<10,所以x=7,所以如果要围成面积为63m²的花圃，AB的长是7m.【题型二】道路问题

变式如图，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224㎡，则图中x的值为_______.11

变式：如图，矩形ABCD

中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P

从点A

开始沿AB

边以1厘米/秒的速度向点B

移动，点Q

从点B

开始沿BC

边以2厘米/秒的速度向点C

移动，如果P,Q

分别从A,B

同时出发.(1)经过几秒时，△PBQ

的面积等于8平方厘米?

1.[2023杭州月考]如图，某校音乐教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺一块长方形地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，若地毯面积为18m2，则四周未铺地毯的条形区域的宽度是________.1m变式1如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是(

) A.5m B.70m C.5m或70m D.10m A返回【点拨】设小路的宽是xm，则余下的部分可合成长为(100－2x)m，宽为(50－2x)m的矩形，根据题意得(100－2x)(50－2x)＝3600，解得x1＝5，x2＝70(不合题意，舍去)，∴小路的宽是5m.2.[2023合肥期中]空地上有一段长为18m的旧墙AB，工人师傅欲利用旧墙和木栅栏围成一个封闭的长方形菜园(如图)，已知木栅栏总长为40m，所围成的长方形菜园面积为194m2，则(

) A.只有一种围法

B.有两种围法

C.不能围成菜园