向量的数乘运算课件高一下学期数学人教A版2

6.2.3向量的数乘运算第六章

平面向量及其6.2平面向量的运算整体感知[学习目标]

1．了解向量数乘的概念．2．理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算．3．理解并掌握向量共线定理及其判定方法．[讨论交流]

预习教材P13－P16的内容，思考以下问题：问题1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？问题2．向量数乘运算满足哪三条运算律？问题3．向量共线定理是怎样表述的？[自我感知]经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1向量的数乘运算探究问题1如图，已知非零向量a，你能作出a＋a＋a，(－a)＋(－a)＋(－a)吗？它们的长度和方向分别是怎样的？

向量数乘

0【教用·微提醒】

(1)数乘向量仍是向量．(2)实数λ与向量不能相加．探究2向量的线性运算探究问题2类比实数的乘法的运算律，那么数乘向量有什么运算律呢？[提示]

数乘向量满足乘法对加法的分配律．[新知生成]1．数乘运算的运算律设λ，μ为实数，那么(1)λ(μa)＝______．(2)(λ＋μ)a＝__________．(3)λ(a＋b)＝__________．特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝

λa－

λb．(λμ)aλa＋μaλa＋

λb2．向量的线性运算向量的__、__、____运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝___________．加

减

数乘λμ1a±

λμ2b【链接·教材例题】例5计算：(1)(－3)×4a；(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)．[解]

(1)原式＝(－3×4)a＝－12a；(2)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b；(3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c．

[解]

(1)原式＝2a＋2b－2a＋2b＝2a－2a＋2b＋2b＝4b．(2)原式＝－a－b＋c＋2a－2b＋2c＝a－3b＋3c．(3)原式＝2a－b＋2a＝4a－b．(4)原式＝(λ＋μ)a－(λ＋μ)b＋(λ－μ)a＋(λ－μ)b＝[(λ＋μ)＋(λ－μ)]a＋[(λ－μ)－(λ＋μ)]b＝2λa＋(－2μ)b＝2λa－2μb．反思领悟

向量线性运算的基本方法(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当地运用运算律，简化运算．[学以致用]

1．已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y．

探究3向量共线定理探究问题3结合探究1，思考一下：如果b＝λa(a≠0)，那么向量a，b是否共线？反过来，若向量b与非零向量a共线，那么是否存在一个实数λ，使得b＝λa(a≠0)?[提示]

共线，存在．[新知生成]

向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．【教用·微提醒】

定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数，若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa．

√

反思领悟

用已知向量表示其他向量的方法(1)直接法：结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中，然后利用向量的三角形法则或平行四边形法则，用已知向量表示未知向量．

√

243题号1应用迁移

√

23题号14

√23题号14

23题号41

√√√23题号41ABC

[对于A，b＝－a，有a∥b；对于B，b＝－2a，有a∥b；对于C，a＝4b，有a∥b；对于D，a与b不一定共线．故选ABC．]243题号1

－41．知识链：(1)向量的数乘及运算律．(2)向量共线定理．(3)三点共线的常用结论．2．方法链：数形结合法、分类讨论法．3．警示牌：运用向量共线定理时注意不要忽视零向量这一个特殊向量．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．向量λa的几何意义是什么？[提示]

λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方