中考数学复习一次函数与反比例函数综合题型教案

中考数学复习一次函数与反比例函数综合题型教案一、教学目标1.知识与技能目标学生能够熟练掌握一次函数和反比例函数的表达式、图象及性质。学会运用一次函数与反比例函数的相关知识解决综合题型，包括求函数解析式、交点坐标、函数值的比较、图形面积计算等问题。提高学生运用函数思想解决实际问题的能力，培养学生的逻辑思维和综合分析能力。2.过程与方法目标通过对一次函数与反比例函数综合题型的分析与讲解，引导学生经历观察、分析、推理、归纳等过程，掌握解题方法和技巧。鼓励学生自主探究、合作交流，培养学生的自主学习能力和团队协作精神。3.情感态度与价值观目标激发学生对数学学习的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。让学生体会数学知识之间的内在联系，感受数学的严谨性和科学性，增强学生学习数学的自信心。

二、教学重难点1.教学重点一次函数与反比例函数的图象和性质的综合运用。解决一次函数与反比例函数综合题型的常见方法和思路。2.教学难点如何引导学生根据题目条件准确地建立函数模型，灵活运用函数性质解决问题。培养学生在综合题型中运用数学思想方法（如数形结合思想、方程思想等）解题的能力。

三、教学方法1.讲授法：系统讲解一次函数与反比例函数综合题型的知识点、解题方法和技巧。2.讨论法：组织学生对典型例题进行讨论，激发学生的思维，培养学生的合作交流能力。3.练习法：通过课堂练习和课后作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。4.多媒体辅助教学法：利用多媒体展示函数图象、动画等，直观形象地帮助学生理解抽象的函数知识。

四、教学过程

（一）知识回顾（5分钟）1.一次函数的表达式为______，其图象是______，当______时，y随x的增大而增大；当______时，y随x的增大而减小。2.反比例函数的表达式为______，其图象是______，当k>0时，图象在______象限，在每一象限内，y随x的增大而______；当k<0时，图象在______象限，在每一象限内，y随x的增大而______。3.求一次函数解析式通常需要______个条件，求反比例函数解析式通常需要______个条件。

通过提问的方式让学生回顾一次函数和反比例函数的基础知识，为后续的综合题型讲解做好铺垫。

（二）典型例题讲解（30分钟）例1：已知一次函数\(y=k_1x+b\)（\(k_1\neq0\)）与反比例函数\(y=\frac{k_2}{x}\)（\(k_2\neq0\)）的图象交于点\(A(1,4)\)和\(B(4,n)\)。（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求\(\triangleAOB\)的面积。

分析：1.对于（1），已知点\(A(1,4)\)在反比例函数\(y=\frac{k_2}{x}\)上，将点\(A\)的坐标代入反比例函数解析式可求出\(k_2\)的值，进而得到反比例函数解析式；再把点\(B(4,n)\)代入反比例函数解析式求出\(n\)的值，然后将\(A(1,4)\)和\(B(4,1)\)代入一次函数解析式，利用待定系数法求出一次函数解析式。2.对于（2），要求\(\triangleAOB\)的面积，可先求出直线\(AB\)与\(x\)轴的交点坐标，然后将\(\triangleAOB\)的面积分割为两个三角形的面积之和，利用三角形面积公式求解。

解答：（1）把\(A(1,4)\)代入\(y=\frac{k_2}{x}\)，得\(4=\frac{k_2}{1}\)，解得\(k_2=4\)，所以反比例函数解析式为\(y=\frac{4}{x}\)。把\(B(4,n)\)代入\(y=\frac{4}{x}\)，得\(n=\frac{4}{4}=1\)，所以\(B(4,1)\)。将\(A(1,4)\)和\(B(4,1)\)代入\(y=k_1x+b\)，得\(\begin{cases}k_1+b=4\\4k_1+b=1\end{cases}\)，解方程组：用第一个方程\(k_1+b=4\)减去第二个方程\(4k_1+b=1\)，可得：\[\begin{align*}k_1+b(4k_1+b)&=4(1)\\k_1+b+4k_1b&=5\\5k_1&=5\\k_1&=1\end{align*}\]把\(k_1=1\)代入\(k_1+b=4\)，得\(1+b=4\)，解得\(b=3\)，所以一次函数解析式为\(y=x+3\)。

（2）设直线\(y=x+3\)与\(x\)轴交于点\(C\)，令\(y=0\)，则\(x+3=0\)，解得\(x=3\)，所以\(C(3,0)\)。\(S_{\triangleAOB}=S_{\triangleAOC}+S_{\triangleBOC}\)\(=\frac{1}{2}\times|OC|\times|y_A|+\frac{1}{2}\times|OC|\times|y_B|\)\(=\frac{1}{2}\times3\times4+\frac{1}{2}\times3\times1\)\(=6+\frac{3}{2}\)\(=\frac{15}{2}\)

总结：1.求函数解析式时，要准确运用待定系数法，根据已知点的坐标代入相应函数解析式求解。2.求图形面积时，要善于利用图形的特点，合理分割图形，转化为易求面积的三角形或四边形来计算。

例2：如图，一次函数\(y=kx+b\)的图象与反比例函数\(y=\frac{m}{x}\)的图象交于\(A(2,1)\)，\(B(1,n)\)两点。（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的\(x\)的取值范围。

分析：1.（1）同例1，先将点\(A(2,1)\)代入反比例函数求出\(m\)，再把点\(B(1,n)\)代入反比例函数求出\(n\)，最后将\(A\)、\(B\)两点代入一次函数求出\(k\)、\(b\)。2.（2）通过观察图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方时\(x\)的取值范围。

解答：（1）把\(A(2,1)\)代入\(y=\frac{m}{x}\)，得\(1=\frac{m}{2}\)，解得\(m=2\)，所以反比例函数解析式为\(y=\frac{2}{x}\)。把\(B(1,n)\)代入\(y=\frac{2}{x}\)，得\(n=2\)，所以\(B(1,2)\)。将\(A(2,1)\)和\(B(1,2)\)代入\(y=kx+b\)，得\(\begin{cases}2k+b=1\\k+b=2\end{cases}\)，解方程组：用第二个方程\(k+b=2\)减去第一个方程\(2k+b=1\)，可得：\[\begin{align*}k+b(2k+b)&=21\\k+b+2kb&=3\\3k&=3\\k&=1\end{align*}\]把\(k=1\)代入\(k+b=2\)，得\(1+b=2\)，解得\(b=1\)，所以一次函数解析式为\(y=x1\)。

（2）由图象可知，当\(x<2\)或\(0<x<1\)时，一次函数的值大于反比例函数的值。

总结：1.利用函数图象比较函数值大小是数形结合思想的重要应用，要准确观察图象，找出满足条件的区域。2.这种类型的题目关键在于理解函数图象的交点坐标与函数值大小关系之间的联系。

（三）课堂练习（15分钟）1.已知一次函数\(y=kx+b\)的图象与反比例函数\(y=\frac{8}{x}\)的图象交于\(A(2,4)\)，\(B(4,m)\)两点。（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求\(\triangleAOB\)的面积。

2.如图，一次函数\(y=ax+b\)的图象与反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象交于\(M(2,3)\)，\(N(1,n)\)两点。（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的\(x\)的取值范围。

学生在练习本上完成，教师巡视指导，及时纠正学生的错误，然后请两位同学上台板演，最后进行点评讲解，强化学生对知识点的理解和掌握。

（四）课堂小结（5分钟）1.教师引导学生回顾本节课所学内容，包括一次函数与反比例函数的图象和性质、求函数解析式的方法、利用函数图象解决问题（如求交点坐标、比较函数值大小、计算图形面积等）。2.强调在解决综合题型时，要注重运用数形结合思想和方程思想，准确分析题目条件，建立合适的函数模型。3.鼓励学生在课后多做相关练习题，进一步巩固所学知识，提高解题能力。

（五）布置作业（5分钟）1.已知一次函数\(y=x+5\)的图象与反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\neq0\)）的图象交于\(A(1,a)\)，\(B(b,2)\)两点。（1）求\(a\)，\(b\)的值；（2）求反比例函数的解析式；（3）求\(\triangleAOB\)的面积。

2.如图，一次函数\(y=kx+b\)的图象与反比例函数\(y=\frac{m}{x}\)的图象交于\(A(3,1)\)，\(B(1,n)\)两点。（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求使一次函数的值小于反比例函数的值的\(x\)的取值范围；（3）点\(P\)是\(x\)轴上一动点，当\(\triangleABP\)的面积为\(4\)时，求点\(P\)的坐标。

通过作业巩固课堂所学知识，加深对一次函数与反比例函数综合题型的理解和掌握，培养学生独立思考和解决问题的能力。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对一次函数与反比例函数的综合题型有了更深入的理解和掌握，能够熟练运用相关知识