初中教学数学建模

初中教学数学建模摘要：本文阐述了初中数学建模的重要性，介绍了数学建模的基本概念和流程。通过具体实例展示了如何引导学生建立方程模型、函数模型、几何模型等解决实际问题，并探讨了在初中教学中开展数学建模教学的策略与方法，包括培养学生的问题意识、数学思维能力，利用多种教学资源等，以提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，提升数学素养。

一、引言数学作为一门基础学科，在日常生活和各个领域都有着广泛的应用。数学建模则是连接数学理论与实际应用的桥梁，它将实际问题转化为数学问题，通过建立数学模型来求解并验证，从而解决实际问题。在初中数学教学中引入数学建模，能够帮助学生更好地理解数学的实用性，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新思维和实践能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的素养。

二、数学建模的基本概念（一）定义数学建模是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。它是一个"现实世界数学模型数学解现实世界解"的过程。

（二）数学建模的一般流程1.问题提出：从实际情境中发现问题，明确问题的背景和条件。2.模型假设：根据问题的特征和目的，对问题进行合理的假设，简化问题。3.模型建立：运用数学知识和方法，将实际问题转化为数学模型，如方程、函数、不等式等。4.模型求解：采用适当的数学方法求解所建立的模型。5.模型检验：将模型的解与实际情况进行比较，检验模型的合理性和准确性。6.模型应用：将经过检验的模型应用于实际问题，解决实际问题，并对结果进行分析和解释。

三、初中数学建模的实例（一）方程模型1.行程问题问题：小明从家到学校，如果每分钟走60米，就会迟到5分钟；如果每分钟走80米，就会早到3分钟。请问小明家到学校的距离是多少米？他按时到校需要多长时间？模型假设：设小明按时到校需要x分钟，家到学校的距离为y米。模型建立：根据路程=速度×时间，可得到方程组：\(\begin{cases}y=60(x+5)\\y=80(x3)\end{cases}\)模型求解：由\(60(x+5)=80(x3)\)，展开得\(60x+300=80x240\)，移项得\(80x60x=300+240\)，即\(20x=540\)，解得\(x=27\)。把\(x=27\)代入\(y=60(x+5)\)，得\(y=60×(27+5)=60×32=1920\)（米）。模型检验：把\(x=27\)，\(y=1920\)代入原方程\(y=60(x+5)\)，左边\(=1920\)，右边\(=60×(27+5)=1920\)；代入\(y=80(x3)\)，左边\(=1920\)，右边\(=80×(273)=1920\)，方程组成立，模型合理。模型应用：通过解决这个行程问题，学生可以掌握利用方程模型解决类似的时间、路程、速度关系的实际问题，如汽车行驶、人员接送等问题。2.工程问题问题：一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。现在甲先做2天后，剩下的工程由甲乙合作完成。请问还需要几天完成？模型假设：设还需要x天完成，把这项工程的工作量看作单位"1"。模型建立：甲每天的工作效率为\(\frac{1}{10}\)，乙每天的工作效率为\(\frac{1}{15}\)。可列方程：\(\frac{1}{10}×2+(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})x=1\)模型求解：化简方程得\(\frac{1}{5}+(\frac{3+2}{30})x=1\)，即\(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}x=1\)，移项得\(\frac{1}{6}x=1\frac{1}{5}\)，即\(\frac{1}{6}x=\frac{4}{5}\)，解得\(x=\frac{24}{5}=4.8\)（天）。模型检验：把\(x=4.8\)代入原方程，左边\(=\frac{1}{10}×2+(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})×4.8=\frac{1}{5}+(\frac{3+2}{30})×4.8=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}×4.8=0.2+0.8=1\)，右边\(=1\)，方程成立，模型合理。模型应用：学生可以运用此方程模型解决其他工程问题，如不同工作效率的人合作完成任务所需时间等问题。

（二）函数模型1.一次函数模型问题：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。设每件衬衫降价x元，商场平均每天的盈利为y元。求y与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，商场盈利最大，最大盈利是多少？模型假设：不考虑其他因素对盈利的影响。模型建立：每件衬衫的利润为\((40x)\)元，每天销售的件数为\((20+2x)\)件。则\(y=(40x)(20+2x)\)，展开得\(y=800+80x20x2x^{2}\)，即\(y=2x^{2}+60x+800\)。模型求解：对于二次函数\(y=2x^{2}+60x+800\)，\(a=2\)，\(b=60\)，\(c=800\)。对称轴为\(x=\frac{b}{2a}=\frac{60}{2×(2)}=15\)。当\(x=15\)时，\(y_{max}=\frac{4acb^{2}}{4a}=\frac{4×(2)×80060^{2}}{4×(2)}=\frac{64003600}{8}=\frac{10000}{8}=1250\)。模型检验：将\(x=15\)代入函数\(y=2x^{2}+60x+800\)，可得\(y=2×15^{2}+60×15+800=450+900+800=1250\)，与计算结果相符，模型合理。模型应用：此函数模型可用于解决商品销售中的利润优化问题，如其他商品的价格调整与利润关系等。2.二次函数模型问题：用长为20m的篱笆围成一个矩形养鸡场，设矩形的一边长为xm，面积为ym²。求y与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，养鸡场的面积最大，最大面积是多少？模型假设：篱笆的长度固定，矩形的四个角为直角。模型建立：矩形的另一边长为\((10x)m\)（因为矩形周长为\(20m\)，一边长为\(x\)，则另一边长为\(\frac{202x}{2}=10x\)）。则\(y=x(10x)=x^{2}+10x\)。模型求解：对于二次函数\(y=x^{2}+10x\)，\(a=1\)，\(b=10\)，\(c=0\)。对称轴为\(x=\frac{b}{2a}=\frac{10}{2×(1)}=5\)。当\(x=5\)时，\(y_{max}=\frac{4acb^{2}}{4a}=\frac{4×(1)×010^{2}}{4×(1)}=\frac{100}{4}=25\)。模型检验：把\(x=5\)代入\(y=x^{2}+10x\)，得\(y=5^{2}+10×5=25\)，与计算结果一致，模型合理。模型应用：可用于解决类似的图形面积优化问题，如用一定长度的材料围图形求最大面积等。

（三）几何模型1.三角形模型问题：如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，且\(\tan\angleBAC=\frac{3}{4}\)。现在计划在斜坡中点D处挖去部分坡体，修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE。求平台DE的长。模型假设：斜坡为直线，平台与水平线平行，不考虑其他因素对斜坡形状的影响。模型建立：在\(Rt\triangleABC\)中，\(\tan\angleBAC=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}\)，\(BC=30m\)，则\(AC=40m\)。因为D是AB中点，\(DE\parallelAC\)，所以E是BC中点。所以\(DE=\frac{1}{2}AC\)。模型求解：\(DE=20m\)。模型检验：根据三角形中位线定理，在\(\triangleABC\)中，D是AB中点，\(DE\parallelAC\)，则\(DE=\frac{1}{2}AC\)，符合几何定理，模型合理。模型应用：可用于解决与斜坡、三角形相关的实际问题，如测量斜坡长度、高度等问题。2.圆模型问题：如图，要在一个圆形广场中央建造一个音乐喷泉，在喷泉的四周铺设一条宽为2m的观赏小路。已知圆形广场的直径为20m，求这条观赏小路的面积。模型假设：圆形广场和喷泉都是标准的圆形，小路宽度均匀。模型建立：广场半径\(R=10m\)，喷泉半径\(r=102=8m\)。小路面积\(S=\piR^{2}\pir^{2}=\pi(R^{2}r^{2})\)。模型求解：\(S=\pi(10^{2}8^{2})=\pi(10064)=36\pi(m^{2})\)。模型检验：通过计算大圆面积减去小圆面积得到小路面积，符合圆的面积计算公式，模型合理。模型应用：可用于解决与圆形区域面积相关的实际问题，如圆形场地的绿化面积、环形跑道面积等。

四、初中数学建模教学的策略与方法（一）培养学生的问题意识1.引导学生观察生活：让学生留意身边的数学问题，如购物打折、行程安排、房屋面积计算等。例如，在超市购物时，观察不同商品的价格、促销活动，思考如何选择最划算的购买方案。2.设置问题情境：教师在课堂上创设生动有趣的问题情境，激发学生的好奇心和求知欲。比如，在讲解一次函数时，提出"随着气温的升高，空调的销售量会如何变化"的问题，引导学生思考函数关系。

（二）提高学生的数学思维能力1.加强逻辑推理训练：通过证明题、逻辑推理游戏等方式，培养学生的逻辑思维能力。例如，在几何教学中，让学生进行几何证明，理清证明思路，逐步推导结论。2.培养创新思维：鼓励学生从不同角度思考问题，尝试多种解题方法。比如，在解决数学应用题时，引导学生突破常规思维，提出新颖的解题思路。

（三）利用多种教学资源1.教材资源：充分挖掘教材中的数学建模素材，将教材中的例题、习题进行拓展和延伸，引导学生建立模型解决问题。2.多媒体资源：运用多媒体展示实际问题的情境，如图片、视频等，让学生更直观地感受问题，提高学生建立模型的兴趣和能力。例如，在讲解行程问题时，播放汽车行驶的视频，帮助学生理解问题。3.生活资源：联系生活实际，让学生收集生活中的数学问题，开展数学建模活动。如让学生调查家庭每月水电费的支出情况，建立函数模型分析水电费与用电量、用水量之间的关系。

（四）组织数学建模活动1.小组合作学习：将学生分成小组，共同完成数学建模任务。在小组中，学生可以分工合作，发挥各自的优势，提高解决问题的效率。例如，在建立方程模型解决实际问题时，小组内成员可以分别负责分析问题、设未知数、列方程、求解和检验等环节。2.数学建模竞赛：组织学生参加数学建模竞赛，通过竞赛提高学生的数学建模水平和团队协作能力。竞赛题目通常来源于实际问题，要求学生在规定时间内建立模型并