离散型随机变量的均值教学设计

离散型随机变量的均值教学设计一、教学目标1.知识与技能目标理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值。掌握离散型随机变量均值的性质，并能运用这些性质解决相关问题。会根据离散型随机变量的分布列求其均值，能根据均值对实际问题作出决策。2.过程与方法目标通过实例，经历离散型随机变量均值概念的形成过程，体会从具体到抽象的数学思维方法。在探究离散型随机变量均值性质的过程中，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。通过解决实际问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，培养学生的数学建模素养。3.情感态度与价值观目标通过对实际问题的分析，让学生体会数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。在小组合作探究活动中，培养学生的团队合作精神和勇于探索的精神。

二、教学重难点1.教学重点离散型随机变量均值的概念和计算方法。离散型随机变量均值的性质及应用。2.教学难点对离散型随机变量均值概念的理解。运用均值解决实际问题，并能根据均值作出合理决策。

三、教学方法讲授法、讨论法、探究法相结合

四、教学过程

（一）创设情境，引入新课1.展示两个抽奖方案：方案一：从装有3个红球、2个白球的袋子中任取2个球，若取出的2个球都是红球，则中奖，奖金为100元；否则不中奖。方案二：从装有1个红球、4个白球的袋子中任取2个球，若取出的2个球都是红球，则中奖，奖金为100元；否则不中奖。2.提出问题：如果你参加抽奖，你会选择哪个方案？为什么？如何衡量抽奖的获利情况？3.引导学生思考：要判断哪个方案更有利，需要考虑中奖的概率以及中奖后的奖金数额。可以通过计算每个方案的平均获利来进行比较，从而引出离散型随机变量均值的概念。

（二）探究新知，形成概念1.离散型随机变量均值的定义设离散型随机变量\(X\)的分布列为：

|\(X\)|\(x_1\)|\(x_2\)|\(\cdots\)|\(x_n\)||||||||\(P\)|\(p_1\)|\(p_2\)|\(\cdots\)|\(p_n\)|

则称\(E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n\)为随机变量\(X\)的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。

2.对均值概念的理解均值是一个加权平均数，它与一般的平均数的区别在于，这里的平均数是考虑了每个取值的概率的。均值是一个常数，它不依赖于试验的结果，只与随机变量的分布列有关。均值的单位与随机变量\(X\)的单位相同。

3.计算离散型随机变量均值的步骤明确随机变量\(X\)的所有可能取值\(x_i\)。求出每个取值\(x_i\)对应的概率\(p_i\)。根据均值公式\(E(X)=\sum_{i=1}^{n}x_ip_i\)进行计算。

（三）例题讲解，巩固应用例1：已知离散型随机变量\(X\)的分布列为：

|\(X\)|1|2|3|||||||\(P\)|0.2|0.5|0.3|

求\(E(X)\)。

解：根据均值公式可得：

\(E(X)=1\times0.2+2\times0.5+3\times0.3\)\(=0.2+1+0.9\)\(=2.1\)

例2：一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取4个球，记取到白球的个数为\(X\)，求\(E(X)\)。

解：1.确定\(X\)的取值：\(X\)可能取值为\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)。2.计算\(X\)取每个值的概率：\(P(X=0)=\frac{C_{5}^{0}C_{5}^{4}}{C_{10}^{4}}=\frac{5}{210}\)\(P(X=1)=\frac{C_{5}^{1}C_{5}^{3}}{C_{10}^{4}}=\frac{50}{210}\)\(P(X=2)=\frac{C_{5}^{2}C_{5}^{2}}{C_{10}^{4}}=\frac{100}{210}\)\(P(X=3)=\frac{C_{5}^{3}C_{5}^{1}}{C_{10}^{4}}=\frac{50}{210}\)\(P(X=4)=\frac{C_{5}^{4}C_{5}^{0}}{C_{10}^{4}}=\frac{5}{210}\)3.计算均值：\(E(X)=0\times\frac{5}{210}+1\times\frac{50}{210}+2\times\frac{100}{210}+3\times\frac{50}{210}+4\times\frac{5}{210}\)\(=\frac{0+50+200+150+20}{210}\)\(=2\)

例3：某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3:2:1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？

解：设混合糖果的单价为\(X\)元/kg。1.确定\(X\)的取值：混合糖果单价为三种糖果价格的加权平均，\(X\)取值为三种糖果价格按比例加权后的结果。2.计算\(X\)取每个值的概率：三种糖果按\(3:2:1\)的比例混合，则\(P(X=18)=\frac{3}{3+2+1}=\frac{1}{2}\)\(P(X=24)=\frac{2}{3+2+1}=\frac{1}{3}\)\(P(X=36)=\frac{1}{3+2+1}=\frac{1}{6}\)3.计算均值：\(E(X)=18\times\frac{1}{2}+24\times\frac{1}{3}+36\times\frac{1}{6}\)\(=9+8+6\)\(=23\)（元/kg）

所以混合糖果定价为23元/kg才合理。

通过以上例题，让学生进一步掌握离散型随机变量均值的计算方法，体会均值在实际问题中的应用。

（四）小组讨论，探究性质1.提出问题：已知离散型随机变量\(X\)的分布列为\(P(X=x_i)=p_i\)，\(i=1,2,\cdots,n\)，设\(Y=aX+b\)（\(a\)，\(b\)为常数），那么\(E(Y)\)与\(E(X)\)有什么关系？2.学生分组讨论将学生分成小组，讨论上述问题，教师巡视各小组，参与学生的讨论，及时给予指导和启发。3.小组代表发言各小组代表汇报讨论结果，教师对学生的发言进行点评和总结，得出离散型随机变量均值的性质：若\(Y=aX+b\)，其中\(a\)，\(b\)为常数，则\(E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b\)。

4.性质的应用例4：已知随机变量\(X\)的分布列为：

|\(X\)|1|0|1|||||||\(P\)|\(\frac{1}{2}\)|\(\frac{1}{3}\)|\(\frac{1}{6}\)|

求\(E(X)\)，若\(Y=2X+1\)，求\(E(Y)\)。

解：\(E(X)=(1)\times\frac{1}{2}+0\times\frac{1}{3}+1\times\frac{1}{6}\)\(=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\)\(=\frac{1}{3}\)

因为\(Y=2X+1\)，根据均值性质可得：

\(E(Y)=E(2X+1)=2E(X)+1\)\(=2\times(\frac{1}{3})+1\)\(=\frac{1}{3}\)

通过该例题，让学生进一步理解和应用离散型随机变量均值的性质。

（五）课堂小结，归纳提升1.引导学生回顾本节课所学内容，包括离散型随机变量均值的概念、计算方法、性质以及在实际问题中的应用。2.请学生谈谈自己在本节课中的收获和体会，以及遇到的问题和困惑。3.教师对学生的发言进行总结和补充，强调本节课的重点和难点，鼓励学生在课后继续思考和探索相关知识。

（六）布置作业，拓展延伸1.书面作业已知离散型随机变量\(X\)的分布列为：

|\(X\)|0|1|2|3||||||||\(P\)|0.1|0.2|0.3|0.4|

求\(E(X)\)。设随机变量\(X\)的分布列为\(P(X=k)=\frac{k}{15}\)，\(k=1,2,3,4,5\)，求\(E(X)\)。若随机变量\(X\)满足\(P(X=c)=1\)，其中\(c\)为常数，求\(E(X)\)。已知随机变量\(X\)的分布列为：

|\(X\)|2|0|2|||||||\(P\)|0.4|0.3|0.3|

若\(Y=2X3\)，求\(E(Y)\)。

2.拓展作业某射手射击所得环数\(X\)的分布列如下：

|\(X\)|4|5|6|7|8|9|10|||||||||||\(P\)|0.02|0.04|0.06|0.09|0.28|0.29|0.22|

（1）求此射手"射击一次命中环数\(X\)的均值"。（2）假设该射手在一次射击中所得环数小于9环则不获奖，在5次射击中，求该射手至少有3次获奖的概率。

通过书面作业，让学生巩固本节课所学的基础知识；拓展作业则进一步加深学生对离散型随机变量均值的理解和应用，培养学生运用所学知识解决综合问题的能力。

五、教学反思在本节课的教学过程中，通过创设抽奖情境引入新课，激发了学生的学习兴趣，让学生感受到数学与生活的紧密联系。在探究离散型随机变量均值概念的过程中，引导学生从具体实例出发，逐步理解均值的含义，培养了学生的数学思维能力。通过例题讲解和小组讨论，让学生掌握了离散型随机变量均值的