函数单调性教学设计

函数单调性教学设计一、教学目标1.知识与技能目标学生能理解函数单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法。能根据函数的单调性解决相关问题，如求函数的最值、比较函数值大小等。2.过程与方法目标通过对函数单调性概念的探究，培养学生观察、分析、归纳和抽象概括的能力。在判断函数单调性的过程中，让学生体会从特殊到一般、从直观到抽象的数学思维方法。3.情感态度与价值观目标让学生在探究活动中体验成功的喜悦，增强学习数学的兴趣和自信心。通过函数单调性的学习，培养学生严谨的科学态度和创新精神。

二、教学重难点1.教学重点函数单调性的概念。利用定义判断函数单调性的步骤。2.教学难点对函数单调性概念中"任意"的理解。用定义证明函数单调性时，作差变形的技巧。

三、教学方法讲授法、讨论法、探究法相结合

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）通过展示生活中一些与函数单调性相关的实例，如气温随时间的变化、股票价格的波动等，引导学生观察函数值随自变量的变化情况，从而引出本节课的主题函数的单调性。

（二）讲授新课（20分钟）1.函数单调性的概念给出几个具体函数，如\(y=2x+1\)，\(y=x^2\)等，让学生观察函数图象，描述函数值随自变量的变化趋势。引导学生归纳出函数单调性的直观定义：如果函数\(y=f(x)\)在某个区间上，当自变量增大时，函数值也随之增大（或减小），那么就说函数\(y=f(x)\)在这个区间上是单调递增（或单调递减）的。进一步给出函数单调性的严格定义：设函数\(f(x)\)的定义域为\(I\)，如果对于定义域\(I\)内的某个区间\(D\)上的任意两个自变量的值\(x_1\)，\(x_2\)，当\(x_1<x_2\)时，都有\(f(x_1)<f(x_2)\)（或\(f(x_1)>f(x_2)\)），那么就说函数\(f(x)\)在区间\(D\)上是增函数（或减函数）。强调定义中的几个关键要素："定义域内""某个区间""任意"等，帮助学生准确理解函数单调性的概念。2.函数单调性的判断方法图象法结合前面给出的函数图象，引导学生总结用图象法判断函数单调性的方法：观察函数图象在哪个区间上是上升的（即函数值随自变量增大而增大），哪个区间上是下降的（即函数值随自变量增大而减小）。例如，对于函数\(y=2x+1\)，其图象是一条上升的直线，所以函数在\(R\)上是单调递增的；对于函数\(y=x^2\)，其图象开口向下，对称轴为\(y\)轴，所以函数在\((\infty,0]\)上是单调递增的，在\([0,+\infty)\)上是单调递减的。定义法以函数\(f(x)=2x+1\)为例，讲解用定义法证明函数单调性的步骤：1.取值：设\(x_1\)，\(x_2\)是给定区间内的任意两个自变量的值，且\(x_1<x_2\)。2.作差：计算\(f(x_2)f(x_1)\)，即\(f(x_2)f(x_1)=(2x_2+1)(2x_1+1)=2(x_2x_1)\)。3.变形：对\(f(x_2)f(x_1)\)进行变形，使其能够判断符号。这里\(f(x_2)f(x_1)=2(x_2x_1)\)，因为\(x_1<x_2\)，所以\(x_2x_1>0\)，从而\(f(x_2)f(x_1)>0\)。4.定号：根据变形后的结果，确定\(f(x_2)f(x_1)\)的符号。因为\(f(x_2)f(x_1)>0\)，即\(f(x_2)>f(x_1)\)。5.结论：根据定义得出函数的单调性。所以函数\(f(x)=2x+1\)在给定区间上是单调递增的。强调作差变形的技巧：一般要将差式进行因式分解或配方等变形，以便能够判断其符号。

（三）课堂练习（15分钟）1.基础练习已知函数\(f(x)=3x2\)，判断其在\(R\)上的单调性，并证明。画出函数\(y=x^24x+3\)的图象，根据图象写出函数的单调区间。2.提高练习已知函数\(f(x)=\frac{1}{x}\)，判断其在\((0,+\infty)\)和\((\infty,0)\)上的单调性，并证明。若函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上单调递增，且\(f(a)=1\)，\(f(b)=1\)，对于任意\(x\in[a,b]\)，不等式\(1\leqf(x)\leq1\)恒成立，求满足条件的\(x\)的取值范围。

（四）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾函数单调性的概念，强调定义中的关键要素。2.总结判断函数单调性的两种方法：图象法和定义法，以及用定义法证明函数单调性的步骤。3.让学生谈谈本节课的收获和体会。

（五）布置作业（5分钟）1.书面作业：课本第[X]页练习第[X]题，习题第[X]题。2.拓展作业：已知函数\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)，判断其在\((0,1]\)和\([1,+\infty)\)上的单调性，并思考如何利用函数单调性求函数的最值。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对函数单调性的概念有了较清晰的理解，掌握了判断函数单调性的方法。在教学过程中，通过实例引入、图象观察、小组讨论等方式，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的观察、分