数学初高中衔接教学讲义

数学初高中衔接教学讲义一、引言初中数学和高中数学在知识内容、思维方式等方面存在较大差异。为了帮助同学们更好地从初中数学过渡到高中数学，顺利适应高中数学的学习，特编写本教学讲义。本讲义将对初高中数学的衔接要点进行梳理，并通过具体的例题和练习进行巩固。

二、知识衔接（一）数与式1.有理数与无理数初中阶段我们已经熟悉了有理数的概念，包括整数和分数。高中在此基础上进一步引入无理数，无理数是无限不循环小数，如\(\sqrt{2}\)、\(\pi\)等。有理数和无理数统称为实数，实数与数轴上的点一一对应。例1：判断下列数哪些是有理数，哪些是无理数：\(0\)，\(\frac{1}{3}\)，\(\sqrt{4}\)，\(\sqrt{5}\)，\(\pi\)。解：有理数有\(0\)，\(\frac{1}{3}\)，\(\sqrt{4}=2\)；无理数有\(\sqrt{5}\)，\(\pi\)。2.代数式的运算初中学习了整式、分式和二次根式的运算。在高中，这些运算依然是基础，但会更加复杂。例如，整式的乘法中多项式乘多项式需要更加熟练地运用分配律。对于分式运算，要注意分母不为零的条件，并且在化简时可能会涉及到更复杂的因式分解。二次根式的运算中，要掌握根式的化简、分母有理化等技巧。例2：化简\(\frac{x^{2}4}{x^{2}+4x+4}\div\frac{x2}{x+2}\)。解：原式\(=\frac{(x+2)(x2)}{(x+2)^{2}}\cdot\frac{x+2}{x2}=1\)。

（二）方程与不等式1.一元二次方程初中已经熟练掌握一元二次方程的解法，如配方法、公式法、因式分解法。高中在此基础上会进一步拓展应用，例如利用判别式判断根的情况，利用韦达定理求根与系数的关系。例3：已知方程\(x^{2}+3x4=0\)，求它的两根之和与两根之积。解：设方程的两根为\(x_1\)，\(x_2\)，由韦达定理可得\(x_1+x_2=3\)，\(x_1x_2=4\)。2.不等式初中学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法。高中会增加一元二次不等式的解法，并且会将不等式与函数、方程等知识综合起来考查。解一元二次不等式\(ax^{2}+bx+c\gt0\)（\(a\neq0\)），首先要考虑二次函数\(y=ax^{2}+bx+c\)的图象，通过判别式\(\Delta=b^{2}4ac\)判断根的情况，再结合函数图象确定不等式的解集。例4：解不等式\(x^{2}2x3\gt0\)。解：令\(y=x^{2}2x3\)，对于方程\(x^{2}2x3=0\)，\(\Delta=(2)^{2}4\times1\times(3)=16\gt0\)，其两根为\(x_1=1\)，\(x_2=3\)。因为二次函数\(y=x^{2}2x3\)的图象开口向上，所以不等式的解集为\(x\lt1\)或\(x\gt3\)。

（三）函数1.函数概念的深化初中对函数的定义是：在一个变化过程中，有两个变量\(x\)与\(y\)，如果给定一个\(x\)值，相应地就确定了一个\(y\)值，那么就称\(y\)是\(x\)的函数。高中对函数概念的理解更加深入，强调两个非空数集之间的一种特殊对应关系。设\(A\)、\(B\)是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系\(f\)，使对于集合\(A\)中的任意一个数\(x\)，在集合\(B\)中都有唯一确定的数\(y\)和它对应，那么就称\(f:A\rightarrowB\)为从集合\(A\)到集合\(B\)的一个函数，记作\(y=f(x)\)，\(x\inA\)。2.函数性质初中学习了函数的一些简单性质，如增减性。高中在此基础上，会进一步研究函数的奇偶性、周期性等性质。例5：判断函数\(f(x)=x^{3}\)的奇偶性。解：\(f(x)=(x)^{3}=x^{3}=f(x)\)，所以函数\(f(x)=x^{3}\)是奇函数。

三、思维衔接（一）从具体到抽象1.初中数学知识较为具体，例如几何图形多是直观的、实际的。2.高中数学则更加抽象，比如函数概念、空间向量等。同学们要逐渐适应这种抽象思维的转变。3.以函数为例，初中函数图象是通过列表、描点、连线得到的具体图形，而高中更注重从函数的定义、性质等抽象层面去理解和研究函数。

（二）从单一到综合1.初中数学题目大多知识点相对单一。2.高中数学常常会综合多个知识点进行考查，例如在解析几何中，会将直线方程、圆的方程以及圆锥曲线方程等知识综合起来。同学们需要培养综合运用知识的能力。3.例6：已知圆\(C\)：\((x1)^{2}+y^{2}=1\)，直线\(l\)：\(y=kx\)，若直线\(l\)与圆\(C\)相切，求\(k\)的值。解：因为直线\(l\)与圆\(C\)相切，所以圆心\((1,0)\)到直线\(l\)的距离等于半径\(1\)。根据点到直线的距离公式\(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\)（这里直线\(l\)：\(kxy=0\)，\(A=k\)，\(B=1\)，\(C=0\)，\(x_0=1\)，\(y_0=0\)），可得\(\frac{|k\times10|}{\sqrt{k^{2}+(1)^{2}}}=1\)，即\(|k|=\sqrt{k^{2}+1}\)，两边平方得\(k^{2}=k^{2}+1\)，此方程无解。但我们忽略了直线斜率不存在的情况，当\(k\)不存在时，直线\(x=0\)与圆相切，所以\(k\)的值不存在（这里是对直线与圆相切问题综合直线方程、点到直线距离公式以及直线斜率存在性等知识的考查）。

（三）逻辑推理能力的提升1.初中数学的逻辑推理相对简单，多是一步一步的推导。2.高中数学的逻辑推理更加严谨和复杂，例如在证明题中，需要运用更多的定理和条件进行层层推导。3.例7：证明：如果\(a\gtb\gt0\)，\(c\gtd\gt0\)，那么\(ac\gtbd\)。证明：因为\(a\gtb\gt0\)，\(c\gt0\)，根据不等式的性质，两边同乘正数\(c\)，不等号方向不变，所以\(ac\gtbc\)。又因为\(c\gtd\gt0\)，\(b\gt0\)，同理两边同乘正数\(b\)，不等号方向不变，所以\(bc\gtbd\)。由\(ac\gtbc\)且\(bc\gtbd\)，根据不等式的传递性，可得\(ac\gtbd\)。

四、学习方法衔接（一）做好预习1.高中数学知识容量大、难度高，预习就显得尤为重要。2.在预习时，要通读教材，了解基本概念、公式和定理，标记出不理解的地方，以便在课堂上重点关注。3.例如，在预习函数单调性这一内容时，先看教材中对单调性的定义，尝试理解如何通过函数值的变化判断函数的单调性，对定义中的关键词如"任意"等进行标注，带着问题去听课。

（二）认真听讲1.高中课堂节奏快，老师讲解的内容多。2.同学们要集中注意力，跟随老师的思路，不仅要听懂知识，还要理解老师的解题方法和思维过程。3.积极参与课堂互动，有疑问及时提出，认真做好课堂笔记，记录重点知识、典型例题和解题技巧。

（三）及时复习1.高中数学知识遗忘速度快，需要及时复习。2.复习时要回顾课堂所学内容，整理笔记，对知识点进行总结归纳，形成知识体系。3.针对重点和难点知识，通过做练习题进行巩固，加深理解。

（四）多做练习1.高中数学需要通过大量的练习来提高解题能力和思维能力。2.选择适合自己水平的练习册，按照章节和知识点进行有针对性的练习。3.在做题过程中，要注重总结解题方法和规律，学会举一反三。

（五）建立错题本1.整理错题是高中数学学习的重要方法。2.将做错的题目抄在错题本上，分析错误原因，写出正确的解法和思路。3.定期复习错题本，避免再次犯错，通过对错题的反思，不断提升自己的学习能力。

五、练习巩固（一）选择题1.以下数中，无理数是（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\sqrt{9}\)C.\(\pi\)D.\(0\)2.函数\(y=2x+1\)是（）A.正比例函数B.一次函数C.反比例函数D.二次函数3.不等式\(2x1\lt3\)的解集是（）A.\(x\lt1\)B.\(x\lt2\)C.\(x\gt1\)D.\(x\gt2\)

（二）填空题1.计算\((2a^{2}b)^{3}=\)______。2.方程\(x^{2}5x+6=0\)的两根为______。3.已知函数\(f(x)\)是奇函数，\(f(1)=2\)，则\(f(1)=\)______。

（三）解答题1.化简\(\frac{x^{2}1}{x^{2}2x+1}\div\frac{x+1}{x1}\)。2.解不等式组\(\begin{cases}2x1\gtx+1\\x+8\lt4x1\end{cases}\)。3.已知二次函数\(y=x^{2}4x+3\)，求它的对称轴、顶点坐标以及与\(x\)轴的交点坐标。

六、总结初高中数学衔接