九年级（下）期中数学试卷

九年级（下）期中数学试卷

姓名:年级:学号:

题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷人得分

一、选择题（共5题，共25分）

1、如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE,直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、

a,则重叠部分四边形EMCN的面积为（）

2

A.3a2

1

B.42

5

C.3a2

D.%2

【考点】

【答案】D

EQJLCD于点Q,

/.△EPM^AEQN(ASA)

.,.SAEQN=SAEPM,

二.四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，

二.正方形ABCD的边长为a,

」.AC二点a,

•/EC=2AE,

2&

.*.EC=3a,

2

.•.EP=PC=3a,

4

「•正方形PCQE的面积=aXa二,

二.四边形EMCN的面积二a2,

故选：D.

2、如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点A,B

围成的正方体上的距离是（）

A.0

B.1

C.但

D.展

【考点】

【答案】B

【解析】解；AB是正方体的边长，

AB=1,

故选：B.

【考点精析】解答此题的关键在于理解正方形的性质的相关知识，掌握正方形四个角都是直角，四条

边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角

线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45。；正方形的两条对角线把这

个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.

3、关于x的方程m（x+h）2+k=0（m,h,k均为常数，mHO）的解是x1=-3,x2=2,则方程m（x+h-3）

2+k=0的解是（）

A.x1=-6,x2=-1

B.x1=0,x2=5

C.x1=-3,x2=5

D.x1=-6,x2=2

【考点】

【答案】B

【解析】解：解方程m(x+h)2+k0(m,h,k均为常数，m#=0)得x=-h±Mm,

而关于x的方程m(x+h)2+k=0(m,h,k均为常数，m：#0)的解是x1=-3,x2=2,

所以-h-二-3,-h+=2,

方程m(x+h-3)2+k=0的解为x=3-h土,

所以x1=3-3二0,x2=3+2=5.

故选：B.

4、下列实数中是无理数的是()

22

A.T

B.2-2

C.5.15

D.sin45°

【考点】

【答案】D

【解析】解：A、是有理数，故A选项错误；

B、是有理数，故B选项错误；

C、是有理数，故C选项错误；

D、是无限不循环小数，是无理数，故D选项正确；

故选：D.

【考点精析】利用无理数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知在理解无理数时，要抓住“无限不

循环”这个要点，归纳起来有四类：(1)开方开不尽的数；(2)有特定意义的数，如圆周率n,或化简

后含有n的数；(3)有特定结构的数，如0.1010010001…等；(4)某些三角函数，如sin60o等.

5、下列式子从左到右变形是因式分解的是()

A.a2+4a-21=a(a+4)-21

B.a2+4a-21=(a-3)(a+7)

C.(a-3)(a+7)=a2+4a-21

D.a2+4a-21=(a+2)2-25

【考点】

【答案】B

【解析】解；A、a2+4a-方=a(a+4)-21,不是因式分解，故A选项错误；

B、a2+4a-21=(a-3)(a+7),是因式分解，故B选项正确；

C、(a-3)(a+7)=a2+4a-21,不是因式分解，故C选项错误；

D、a2+4a-21=(a+2)2-25,不是因式分解，故D选项错吴；

故选：B.

【考点精析】掌握因式分解的定义和因式分解的应用是解答本题的根本，需要知道因式分解的最后结

果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解:因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再

分解为止；因式分解是整式乘法的逆向变形，可以应用与数字计算、求值、整除性问题、判断三角形的形

状、解方程.

二、填空题（共4题，共20分）

6、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=14,BC=8,点E为边BC上一点，且BE=5,将纸片沿过点E的一条直线

I翻折，使点B落在直线CD上，若I与矩形的边的另一个交点为F,则EF的长为______.

A,---------

【考点】

【答案】54

【解析】解：如图，连接B，F,EB',作FG_LCD于G.设BF'=CG=x,

在RtaEB'C中，VEB,=EB=5,EC=3,

...CB，24-2

JEB'EC=J5^?=4J

在RtZXFGB'中，VBF=FB,=x,FG=BC二8,FG=x-4,

.*.x2=82+（x-4）2,

/.x=10.

.'.BF=10,BE=5,

EFW+哈,

所以答案是5.

【考点精析】关于本题考查的翻折变换（折叠问题），需要了解折叠是一种对称变换，它属于轴对称,

对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等才能

得出正确答案.

7、一列数a1,a2,a3,-an,其中a1=-1,a2=1-ai,a3」一02,,・•，an」一则

a1+a2+a3+***+a2014=.

【考点】

【答案】1005.5

【解析】解：a仁-1,

11

1a

a2=-i=2j

1

a3=1-a2=2,

1

a4=l—%=-1,

由此可以看出三个数字一循环，

V20144-3=671-1,

.,.a1+a2+a3+-+a2014=671X(-1++2)-1=1005.5.

所以答案是：1005.5.

【考点精析】本题主要考查了数与式的规律的相关知识点，需要掌握先从图形上寻找规律，然后验证

规律，应用规律，即数形结合寻找规律才能正确解答此题.

1

BC=8.若NBPC—NBAC,贝IJtanNBPC=.

【答案】3

【解析】解：过点A作AE_LBC于点E,

•/AB=AC=5,

1

.,.BE=2BC=X8=4,ZBAE=ZEAC,

,/ZBPC=ZBAC,

，ZBPC=ZBAE.

在RtZiBAE中，由勾股定理得

^AB2-BE2=柠-42=3,

BE_4

/.tanZBPC=tanZBAE=^1£，一司

所以答案是：.

【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰三角形的性质的相关知识，掌握等腰三角形的两个底角相

等(简称：等边对等角)，以及对锐角三角函数的定义的理解，了解锐角A的正弦、余弦、正切、余切都

叫做NA的锐角三角函数.

9、若)'=2一。则1x+y)y=.

【考点】

1

【答案】4

【解析】解：由)’一2一。得

x=4,y=-2,

1

(x+y)y=(4-2)-2=2-2=22=,

所以答案是：.

【考点精析】根据题目的已知条件，利用代数式求值的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求代

数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入；求代数式的值，有时求不出其字母的值，

需要利用技巧，“整体”代入.

三、解答题(共8题，共40分)

m

10、如图，已知A(-4,0.5),B(-1,2)是一次函数y=ax+b与反比例函数)'=受(m<0)图象的两个

交点，AC_Lx轴于C,BD_Ly轴于D.

(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值?

(2)求一次函数解析式及m的值；

(3)P是线段AB上的一点，连接PC,PD,若4PCA和4PDB面积相等，求点P坐标.

【考点】

【答案】

(1)

解：当-4VxV-1时，一次函数大于反比例函数的值；

(2)

解：把A(-4,0.5),B(-1,2)代入尸kx+b得，

1

-

k2

5

_4k+b=0.5{

-

一k+b=2，解得》2

15

所以一次函数解析式为y=2X4-2.

m

把B(-1,2)代入)'=工，得m=-1X2=-2；

(3)

解：连接PC、PD,如图，设P点坐标为（t,t+）.

•••△PCA和4PDB面积相等，

(t+4)=#1•(2-t-),

解得t=

5

•••P点坐标为(一,彳).

【解析】（1）观察函数图象得到当-4VxV-1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；（2）先利用

待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入可计算出IT的值；（3）设P点坐标为（t,t+）,利

用三角形面积公式可得到・・（t+4）=*1•（2-t-）,解方程得到t=从而可确定P点坐标.

【考点精析】解答此题的关键在于理解一次函数的概念的相关知识，掌握一般地，如果尸kx+b（k,b

是常数，k不等于0）,那么y叫做x的一次函数，以及对一次函数的图象和性质的理解，了解一次函数是

直线，图像经过任象限；正比例函数更简单，经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率

定夹角，b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展,变化规律正相反；k的绝对值越大，

线离横轴就越远.

11、如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标是（-1,0）,并且0A二0C二40B,动点P在过A,B,C三

点的抛物线上.

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的

坐标；若不存在，说明理由；

（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线,垂足为F,连接EF,

当线段EF的长度最短时，写出点P的坐标(不要求写解题过程).

【考点】

【答案】

(1)

解：由B(-1,0)可知0B=1,

,.-0A=0C=40B,

/.0A=0C=4,0B=1,

/.C(0,4),A(4,0).

设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,

16a+4b+c=0

{a-b+c=0

则c=4,

a=—1

{b=3

解得：c=4,

则抛物线的解析式是y=-x2+3x+4；

(2)

解：存在.

①当以C为直角顶点时，

过点C作CP1J_AC,交抛物线于点P1,

过点P1作y轴的垂线，垂足是M,M,如图1.

VZACP1=90°,/.ZMCP1+ZAC0=90°.

VZAC0+Z0AC=90°,

/.ZMCP1=Z0AC.

TOARC,

ZMCP1=Z0AC=45°,

/.ZMCP1=ZMP1C,

.•.MC=MP1,

设P(m,-m2+3m+4),

则m=-m2+3m+4-4,

解得：m1=0(舍去)，m2=2.

*,«m—2,

此时—m2+3m+4=6,

・•.P1P的坐标是(2,6).

②当点A为直角顶点时，

过A作AP2XAC交抛物线于点P2,

过点P2作y轴的垂线，垂足是N,AP交y轴于点F,如图2.

，P2N〃x轴，

由NCA0=45°得N0AP2=45°,

/.ZFP2N=45°,AO=OF.

.*.P2N=NF,

设P2(n,-n2+3n+4),

贝Ij-n+4=-（-n2+3n+4）,

解得：n1=-2,n2=4（舍去），

.'.n=-2,

此时—n2+3n+4=-6,

•••P2的坐标是（-2,-6）.

综上所述：P的坐标是（2,6）或（-2,-6）；

（3）

3+"3

解：当EF最短时，点P的坐标是(2,2)或(2,2).

解题过程如下：

连接0D,由题意可知，四边形OFDE是矩形，则0D二EF.

根据垂线段最短可得：当OD_LAC时，0D(即EF)最短.

由(1)可知，在直角△AOC中，0C=0A=4.

根据等腰三角形的性质可得：D是AC的中点.

又•.•DF〃OC,

/.△AFD^AAOC,

DFAD1

,-,CO=AC=2

.,.DF=0C=2,

点D的纵坐标是2,

•••点P的纵坐标也是2,

解-x2+3x+4二2得，

x1=,x2=,

•••点P的坐标为（,2）或（，2）.

【解析】（1）只需求出A、B、C三点的坐标，然后运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；（2）可分

两种情况（①以C为直角顶点，②以A为直角顶点）讨论，然后根据点P的纵、横坐标之间的关系建立等

量关系，就可求出点P的坐标；（3）连接0D,易得四边形OFDE是矩形，则0D=EF,根据垂线段最短

可得当OD_LAC时，0D（即EF）最短，然后只需求出点D的纵坐标，就可得到点P的纵坐标，就可求出点P

的坐标.

【考点精析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点的相关知识点，需要掌握一元二次方程的解是其

对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标.因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函数中表示图像与x轴

是否有交点.当b2-4ac0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac0

时，图像与x轴没有交点,才能正确解答此题.

12、如图，AB是。0的直径，点F,C是。。上两点，且=CB,连接AC,AF,过点C作CD_LAF交

AF延长线于点D,垂足为D.

A

（1）求证：CD是。。的切线；

（2）若CD=20,求。。的半径.

【考点】

【答案】

（1）证明：连结0C,如图，

.；FC=CB

：.ZFAC=ZBAC,

TOARC,

ZOAC=ZOCA,

NFAC二NOCA,

.,.OC〃AF,

VCDXAF,

.,.OC±CD,

二.CD是。0的切线；

(2)解：连结BC,如图,

TAB为直径，

ZACB=90°,

..AF-

•一»

1

ZB0C=3X180°=60°,

ZBAC=30u,

/.ZDAC=30°,

在RtZXADC中，CD=2点，

/.AC=2CD=4,

£

在RtZkACB中,BC=3AC=X4=4,

/.AB=2BC=8,

••.00的半徉为4.

【解析】(1)连结0C,由二，根据圆周角定理得NFAC二NBAC,而N0AC=N0CA,则NFAC=N0CA,可判断

0C/7AF,由于CD_LAF,所以0C_LCD,然后根据切线的判定定理得到CD是。。的切线；(2)连结BC,由AB

为直径得NACB=90°,由二二得NB3C=60°,则NBAC=30°,所以NDAC=30°,在RtZXADC中，利用含30度

的直角三角形三边的关系得AC=2CD=4,在RtZ\ACB中，利用含30度的直角三角形三边的关系得BC二AC二4,

AB二2BC=8,所以。。的半径为4.

【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形三边关系的相关知识，掌握三角形两边之和大于第三边;

三角形两边之差小于第三边；不符合定理的三条线段，不能组成三角形的三边，以及对切线的判定定理的

理解，了解切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

13、在平面直角坐标系中，0为原点，点A(-2,0),点B(0,2)，点E,点F分别为0A,0B的中点.若

尸'

(1)如图①，当a=90°时，求AE',BF"的长;

(2)如图②，当a=135°时，求证AE'=BF',且AE'J_BF'；

【考点】

【答案】

(1)解：当a=90。时，点1与点F重合，如图①.

•・•点A(-2,0)点B(0,2),

二.0A二0B二2.

•••点E,点F分别为0A,0B的中点，

/.0E=0F=1

•.•止方形0E‘D'F'是止方形OEDF绕点0顺时针旋转90“得到的,

/.0E,=0E=1,OF'=0F=1.

在RtZSAE，0中,

AE，JOA2+OE2=^224-I2=

在RtZSBOF'中，

2

BF，JOB+OF2=^22+i2=^/5

•・•正方形0E'D"是由正方形OEDF绕点。顺时针旋转135°所得,

••.NAOE，=ZBOFZ=135°.

在ZiAOE'和△BOF'中，

AO=BO

(Z.AOE=Z.BOF

OE=OF

3

/.△AOE,^△BOF,(SAS).

/.AF,二RF',且NOAE'=Z0RF,.

VZACB=ZCAO+NAOC=NCBP+NCPB,ZCAO=ZCBP,

ZCPB=ZA0C=90°

;.AE'±BF,.

（Ill）若直线AE'与直线BF'相交于点P,求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即口J）.

解：T/BPA=NBOA=90°,...点P、B、A、。四点共圆，

•・・当点P在劣弧0B上运动时，点P的纵坐标随着NPA0的增大而增大.

TOE'=1,・••点1在以点0为圆心，1为半径的圆。上运动，

・,.当AP与。。相切时，"A0（即NPA0）最大，

此时NAE'0二90。，点（T与点P重合，点P的纵坐标达到最大.

过点P作PH_Lx轴，垂足为H,如图③所示.

VZAE,0=90°,E'0=1,AD=2,

NE'A0=30°,AE'邹.

.-.AP=+1.

•JNAHP=90°,NPAH=30°,

1—+1

.-.PH=2AP=2.

..•点P的纵坐标的最大值为.

【解析】（1）利用勾股定理即可求出AE，,BF，的长.（2）运用全等三角形的判定与性质、三角形的外

角性质就可解决问题.（3）首先找到使点P的纵坐标最大时点P的位置（点P与点X重合时），然后运

用勾股定理及30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识即可求出点P的纵坐标的最大值.

【考点精析】掌握三角形的外角和含30度角的直角三角形是解答本题的根本，需要知道三角形一边与

另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形

的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直

角边等于斜边的一半.

14、考试前，同学们总会采用各种方式缓解考试压力，以最佳状态迎接考试.某校对该校九年级的部分同

学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校将减压方式分为五类，同学们可根据

自己的情况必选且只选其中一类.学校收集整理数据后，绘制了图1和图2两幅不完整的统计图，请根据

统计图中信息解答下列问题：

A:交流谈心

B:体育活动

C：享受美食

D：听音乐

E：其他

(1)这次抽样调查中，一共抽查了多少名学生？

(2)请补全条形统计图；

(3)请计算扇形统计图中“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数；

(4)根据调查结果，估计该校九年级500名学生中采用“听音乐”来减压方式的人数.

【考点】

【答案】

(1)解：一共抽查的学生：3・16%=50人；

(2)解：参加“体育活动”的人数为：50X30%=15,

补全统计图如图所示:

（3）解：“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数为：360°X50=72°；

12

（4）解：该校九年级500名学生中采用“听音乐”来减压方式的人数为：500X丽=120人.

【解析】（1）利用“流谈心”的人数除以所占的百分比计算即可得解；（2）用总人数乘以“体育活动”

所占的百分比计算求出体育活动的人数，然后补全统计图即可；（3）用3600乘以“享受美食”所占的百

分比计算即可得解；（4）用总人数乘以“听音乐”所占的百分比计算即可得解.

【考点精析】关于本题考查的条形统计图，需要了解能清楚地表示出每个项目的具体数目，但是不能

清楚地表示出各个部分在总体中所占的百分比以及事物的变化情况才能得出正确答案.

15、如图，用红、蓝两种颜色随机地对A、B、C三个区域分别进行涂色，每个区域必须涂色并且只能涂一

种颜色，请用列举法（画树状图或列表）求A、C两个区域所涂颜色不相同的概率.

【考点】

【答案】解：画树状图，如图所