2024-2025学年下学期初中数学华东师大新版九年级同步经典题精练之圆的认识

第24页（共24页）2024-2025学年下学期初中数学华东师大新版九年级同步经典题精练之圆的认识一．选择题（共5小题）1．（2024秋•清江浦区期末）如图，∠APB的边交⊙O于A、B、C、D，AB、BC、CD、DA的度数分别为α、β、γ、θ，若要确定∠APB的大小，则需要确定的弧的度数是（）A．α、β B．β、γ C．γ、θ D．α、γ2．（2024秋•东莞市期末）如图，⊙O中，直径AB=25，AC＝2，CD平分∠ACB交圆于点D，则A．5 B．22 C．32 D．43．（2024秋•仪征市期末）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC＝3，CD＝2，则圆心O到弦AB的距离是（）A．62 B．9-2 C．7 D．25﹣34．（2024秋•济南期末）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠C＝110°，则∠A的度数为（）A．55° B．60° C．70° D．80°5．（2024秋•包河区校级期末）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若∠BOD＝40°，则∠BAC的度数为（）A．20° B．50° C．40° D．25°二．填空题（共5小题）6．（2024秋•清江浦区期末）如图，在⊙O内接四边形ABCD中，若∠D＝50°，则∠B＝°．7．（2024秋•红花岗区校级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ACD＝15°，∠BAC＝∠CAD＝45°，AB+AD＝2，则⊙O的半径为：．8．（2024秋•崇川区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AB＝AD．点E在BA的延长线上，若∠EAD＝40°，则∠B的度数为．9．（2024秋•金湾区期末）如图，在⊙O中，圆心O到弦AB的距离OC为1，AB＝4，则⊙O的半径OA长为．10．（2024秋•大足区期末）如图，在⊙O中，∠BCD＝120°，半径OF∥AD交AB于点E，若OF＝27，AE＝2EO，则∠BAD＝°；AB＝．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•增城区期末）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB＝CD．求证：BD=12．（2024秋•包河区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为ABD的中点，连接CD，CA，AD，延长AC，DB相交于点E．（1）求证：AB＝BE；（2）若CE=45，BD＝6，求直径13．（2024秋•合川区期末）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．（1）若CD＝5，EF=32，求（2）求证：AC＝BD．14．（2024秋•番禺区期末）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D＝28°，求∠OAB的度数．15．（2024秋•四会市期末）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB＝300m，C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝45m，求这段公路的半径．

2024-2025学年下学期初中数学华东师大新版九年级同步经典题精练之圆的认识参考答案与试题解析题号12345答案DCCCA一．选择题（共5小题）1．（2024秋•清江浦区期末）如图，∠APB的边交⊙O于A、B、C、D，AB、BC、CD、DA的度数分别为α、β、γ、θ，若要确定∠APB的大小，则需要确定的弧的度数是（）A．α、β B．β、γ C．γ、θ D．α、γ【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【答案】D【分析】连接BD，根据已知易得：∠ADB=12α，∠DBC=【解答】解：连接BD，∵AB、CD的度数分别为α、γ，∴∠ADB=12α，∠DBC=∵∠ADB是△DBP的一个外角，∴∠APB＝∠ADB﹣∠DBC=12α-故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．2．（2024秋•东莞市期末）如图，⊙O中，直径AB=25，AC＝2，CD平分∠ACB交圆于点D，则A．5 B．22 C．32 D．4【考点】圆周角定理；角平分线的定义；勾股定理；等腰直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】过B作BH⊥CD于H，连接AD，由圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝90°，由勾股定理求出BC=AB2-AC2=4，判定△BCH是等腰直角三角形，求出CH＝BH=22BC＝22，判定△ABD是等腰直角三角形，求出【解答】解：过B作BH⊥CD于H，连接AD，∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵AB=25，AC＝∴BC=AB∵CD平分∠ACB，∴∠BCH=12∠ACB＝∴△BCH是等腰直角三角形，∴CH＝BH=22BC＝2∵∠BAD＝∠BCH＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴BD=22AB∴DH=B∴CD＝CH+DH＝32．故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形，角平分线定义，关键是勾股定理求出DH的长．3．（2024秋•仪征市期末）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC＝3，CD＝2，则圆心O到弦AB的距离是（）A．62 B．9-2 C．7 D．25﹣3【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】计算题．【答案】C【分析】过圆心O作弦的垂线，垂足为G，得到Rt△OBG和Rt△OCG，在这两个三角形中用勾股定理计算可以求出OG的值，也就是圆心到弦的距离．【解答】解：如图：过O作OG⊥AB于G，根据垂径定理有：AG＝BG，设AC＝2a，则CB＝4a，CG＝a，GB＝3a，在Rt△OCG中，OC2＝OG2+CG2＝OG2+a2①在Rt△OBG中，OB2＝OG2+GB2＝OG2+9a2②又OC＝3，OB＝5，代入①②中，解方程得：a2＝2，OG2＝7．所以圆心到弦的距离是7．故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理，过圆心作圆的垂线，得到直角三角形，运用勾股定理计算可以求出圆心到弦的距离．4．（2024秋•济南期末）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠C＝110°，则∠A的度数为（）A．55° B．60° C．70° D．80°【考点】圆内接四边形的性质．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】C【分析】根据圆内接四边形的对角互补，列式计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∵∠C＝110°，∴∠A＝180°﹣∠C＝180°﹣110°＝70°，∴∠A的度数为70°，故选：C．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．5．（2024秋•包河区校级期末）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若∠BOD＝40°，则∠BAC的度数为（）A．20° B．50° C．40° D．25°【考点】圆周角定理；垂径定理．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【答案】A【分析】连接OC，利用垂径定理可知BD=BC，故可得出∠BOD＝∠BOC＝【解答】解：连接OC，∵线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．∴BD=∵∠BOD＝40°，∴∠BOD＝∠BOC＝40°∴∠BAC=12∠BOD＝故选：A．【点评】本题考查的是垂径定理及圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．二．填空题（共5小题）6．（2024秋•清江浦区期末）如图，在⊙O内接四边形ABCD中，若∠D＝50°，则∠B＝130°．【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】130．【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．【解答】解：∵四边形ABC为圆内接四边形，∴∠D+∠B＝180°，∵∠D＝50°，∴∠B＝180°﹣50°＝130°，故答案为：130．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形对角互补是解题的关键．7．（2024秋•红花岗区校级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ACD＝15°，∠BAC＝∠CAD＝45°，AB+AD＝2，则⊙O的半径为：63【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【答案】63【分析】连接BD，依题意得AB是⊙O的直径，过点O作OE⊥BD交AB于点E，则OE是BD的垂直平分线，则∠EDB＝∠ABD＝15°，进而得∠AED＝30°，设AD＝a，则DE＝BE＝2a，AE=3a，AB=2a+3a，再根据AB+AD＝2得a=3-33，则AB=3+【解答】解：连接BD，如图1所示：∵∠ACD＝15°，∠BAC＝∠CAD＝45°，∴∠ABD＝∠ACD＝15°，∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，∴AB是⊙O的直径，∴OB＝OD，过点O作OE⊥BD交AB于点E，连接DE，如图2所示：∴OE是BD的垂直平分线，∴BE＝DE，∴∠EDB＝∠ABD＝15°，∴∠AED＝∠EDB+∠ABD＝30°，在Rt△AED中，设AD＝a，∴DE＝BE＝2AD＝2a，由勾股定理得：AE=D∴AB＝BE+AE=2a∴AB+AD＝2，∴2a∴a=∴AB=2a在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=A∴OB=12BD∴⊙O的半径为63故答案为：63【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理，灵活运用含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理进行计算还是解决问题的关键．8．（2024秋•崇川区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AB＝AD．点E在BA的延长线上，若∠EAD＝40°，则∠B的度数为70°．【考点】圆内接四边形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】70°．【分析】连接OA、OD，根据圆内接四边形的性质求出∠BCD，根据圆周角定理求出∠BOD，进而求出∠BOA，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【解答】解：如图，连接OA、OD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BAD+∠EAD＝180°，∠EAD＝40°，∴∠BCD＝∠EAD＝40°，∴∠BOD＝2∠BCD＝80°，∵AB＝AD，∴AB=∴∠BOA＝∠DOA＝40°，∵OA＝OB，∴∠B=12×（180°﹣40故答案为：70°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．9．（2024秋•金湾区期末）如图，在⊙O中，圆心O到弦AB的距离OC为1，AB＝4，则⊙O的半径OA长为5．【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】5．【分析】先根据垂径定理得到AC＝Bc＝2，然后根据勾股定理计算出OA的长即可．【解答】解：∵OC为圆心O到弦AB的距离，∴OC⊥AB，∴AC＝BC=12AB＝在Rt△AOC中，∵OC＝1，AC＝2，∴OA=1故答案为：5．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．10．（2024秋•大足区期末）如图，在⊙O中，∠BCD＝120°，半径OF∥AD交AB于点E，若OF＝27，AE＝2EO，则∠BAD＝60°；AB＝107．【考点】圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．【答案】60；107．【分析】作OF⊥AB，连接OA，利用圆内接四边形对角互补求出∠BAD，利用平行线得到∠OFE＝60°，根据解特殊直角三角形得到三边关系，设EF＝x，则AF＝5x，OF=3x，利用勾股定理求出x值继而得到AB【解答】解：如图，作OF⊥AB，连接OA，∵四边形ABCD是圆内接四边形，且∠BCD＝120°，∴∠BAD＝180°﹣120°＝60°，∵OF∥AD，∴∠DAB＝∠OFE＝60°，∴EO＝2EF，OF=3EF∵AE＝2EO，∴AE＝4EF，设EF＝x，则AF＝5x，OF=3x在Rt△AFO中，AO＝OF＝27，由勾股定理得：x2+（3x）2＝（27）2，解得x=7∴AF＝57，∴AB＝2AF＝107．故答案为：60；107．【点评】本题考查了圆周角定理及垂径定理，熟练掌握以上知识点是关键．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•增城区期末）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB＝CD．求证：BD=【考点】圆心角、弧、弦的关系．【专题】推理能力．【答案】证明见解析过程．【分析】根据圆心角、弧及弦之间的关系即可解决问题．【解答】证明：∵AB＝CD，∴AB=∴AB+∴BD=【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，熟知圆心角、弧及弦之间的关系是解题的关键．12．（2024秋•包河区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为ABD的中点，连接CD，CA，AD，延长AC，DB相交于点E．（1）求证：AB＝BE；（2）若CE=45，BD＝6，求直径【考点】圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【答案】（1）见解析；（2）10．【分析】（1）延长CO交⊙O于点F，连接BC，先根据圆周角定理得出∠ADB＝90°，再由点C为ABD的中点可知CF⊥AD，故可得出OC∥BE，再由AO＝CO得出∠ACO＝∠CAO，故∠CAO＝∠E，进而得出结论；（2）设⊙O的半径为R，则AB＝BE＝2R，由OA＝OB，OC∥BE可知OC是△ABE的中位线，再利用勾股定理求解即可．【解答】（1）证明：如图，延长CO交⊙O于点F，连接BC．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即DE⊥AD．∵点C为ABD的中点，∴CF⊥AD，∴OC∥BE，∴∠ACO＝∠E．∵AO＝CO，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠CAO＝∠E，∴AB＝BE；（2）解：设⊙O的半径为R，则AB＝BE＝2R，∵BD＝6．∴DE＝BD+BE＝2R+6．由（1）知，DE⊥AD，CF⊥AD，∴OC∥BE，∵OA＝OB，∴OC是△ABE的中位线，∴AC=∴AE=8在Rt△ABD中，由勾股定理得AD2＝AB2﹣BD2在Rt△AED中，由勾股定理得AD2＝AE2﹣DE2∴AB2﹣BD2＝AE2﹣DE2，即(2R解得R1＝5种R2＝﹣8不合题意，舍去），∴AB＝2R＝2×5＝10．【点评】本题考查的是圆周角定理，垂径定理及勾股定理，等腰三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．13．（2024秋•合川区期末）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．（1）若CD＝5，EF=32，求（2）求证：AC＝BD．【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】（1）176（2）见解析．【分析】（1）由垂径定理得CF=DF=12CD=52，设CO＝r，由勾股定理得（2）由等腰三角形的性质得AF＝BF，即可得证．【解答】（1）解：由题意可得：CF=设CO＝r，则OF=∵CF2+OF2＝OC2，∴(r∴r=∴⊙O的半径为176（2）证明：∵OA＝OB，OF⊥AB，∴AF＝BF，由（1）得CF＝DF，∴AF﹣CF＝BF﹣DF，∴AC＝BD．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键．14．（2024秋•番禺区期末）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D＝28°，求∠OAB的度数．【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【答案】34°．【分析】先利用圆周角定理可得：∠COB＝2∠D＝56°，然后利用垂径定理可得：AC=BC，从而可得∠AOC＝∠COB＝56°，进而可得∠AOB＝【解答】解：∵∠D＝28°，∴∠COB＝2∠D＝56°，∵OC⊥AB，∴AC=∴∠AOC＝∠COB＝56°，∴∠AOB＝∠AOC+∠COB＝112°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA=180°-∠AOB【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．15．（2024秋•四会市期末）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB＝300m，C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝45m，求这段公路的半径．【考点】垂径定理的应用．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】由OC⊥AB，根据垂径定理得，AD＝BD=12AB，又OD＝r﹣CD，所以，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得，AO2＝AD2+OD【解答】解：如图，设半径为r，则OD＝r﹣CD＝r﹣45，∵OC⊥AB，∴AD＝BD=12∴在Rt△AOD中，AO2＝AD2+OD2，即r2＝（12×300）2+（r﹣45）2＝22500+r2﹣90r90r＝24525，解得，r＝272.5m．答：这段弯路的半径是272.5m．【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题．

考点卡片1．角平分线的定义（1）角平分线的定义从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．（2）性质：若OC是∠AOB的平分线则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．2．三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．3．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．4．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．5．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．6．等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：27．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧