2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级同步经典题精练之一元一次不等式与一次函数

第20页（共20页）2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级同步经典题精练之一元一次不等式与一次函数一．选择题（共5小题）1．（2024秋•广陵区期末）如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＜0的解集为（）A．x＜﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞32．（2025•潍坊模拟）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集，某同学绘制了y＝﹣x+2与y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．3．（2024秋•钢城区期末）点（3，m），（4，n）在函数y＝﹣3x﹣1的图象上，则m、n的大小关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m≤n4．（2024秋•宿城区校级期末）如图，一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（）A．x≥4 B．x≤4 C．x≥1 D．x≤15．（2024秋•锡山区期末）如图，已知一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4）．现有下列四个结论：①a＞0；②mn＞0；③方程ax+2＝mx+n的解是x＝﹣2；④若mx+n＜ax+2＜0，则﹣2＜x＜-2A．4 B．3 C．2 D．1二．填空题（共5小题）6．（2024秋•拱墅区期末）已知函数y1＝kx﹣b（k≠0），y2＝ax+2a（a≠0），若函数y1与y2的图象交于x轴上的一点，且函数y1的图象经过第二、三、四象限，则不等式kx﹣b＜0的解集为．7．（2024秋•鼓楼区期末）已知两个一次函数y1，y2与自变量x的部分对应值分别如下表：x…﹣312…y1…﹣134…x…﹣113…y2…73﹣1…当x时，y1＞y2．8．（2024秋•建邺区期末）—次函数y＝kx+b（k≠0）中两个变量x，y的部分对应值如表所示：x…﹣3﹣2﹣101…y…7531﹣1…那么关于x的不等式kx+b≥5的解集是．9．（2024秋•梁溪区校级期末）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣4，2）和(3，5)，则不等式(k+10．（2024秋•肥东县期末）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝kx+b（k≠0）相交于点P（m，5），则关于x的不等式kx+b≥x+1的解集为．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•拱墅区期末）在直角坐标系中，点A（m，0）在函数y1＝ax+2a﹣1（a≠0且a≠12）的（1）若m＝3，求a的值．（2）若2＜m＜3，求a的取值范围．（3）设函数y2=12x，若a＜0，当y1＜y2时，求12．（2024秋•沛县期末）如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），一次函数图象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．（1）求一次函数表达式；（2）求△COP的面积；（3）直接写出不等式kx+b≥﹣3x的解集：．13．（2024秋•鼓楼区期末）已知一次函数y＝mx+m（m为常数，m≠0）的图象经过点（﹣2，3）．（1）求m的值；（2）不等式组0＜mx+m＜3的解集是．14．（2024秋•萧山区期末）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）．（1）若此一次函数的图象经过A（1，2），B（2，5）两点，求k的值．（2）若k+b＜0，点P（2，a）（a＞0）在该一次函数图象上，求证：k＞0．15．（2024秋•南京期末）如图，直线l1的函数表达式为y1＝kx+1，l1交x轴于点A．直线l2的函数表达式为y2＝﹣x+b，l2经过点B（﹣1，5），且分别交x轴、直线l1于点C、D，已知D点坐标为（2，m）．（1）求b、m、k的值；（2）△ACD的面积为．（3）结合函数图象，直接写出不等式（kx+1）（﹣x+b）＜0的解集．

2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级同步经典题精练之一元一次不等式与一次函数参考答案与试题解析题号12345答案DCADB一．选择题（共5小题）1．（2024秋•广陵区期末）如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＜0的解集为（）A．x＜﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3【考点】一次函数与一元一次不等式．【专题】一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；推理能力．【答案】D【分析】看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可．【解答】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），∴不等式（kx+b）（mx+n）＜0的解集为x＜﹣1或x＞3．故选：D．【点评】本题主要考查一次函数的图象，一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．2．（2025•潍坊模拟）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集，某同学绘制了y＝﹣x+2与y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【考点】一次函数与一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集；一次函数的图象．【专题】一次函数及其应用；运算能力．【答案】C【分析】直接根据一次函数的图象即可得出结论．【解答】解：由条件可知关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集是x＜﹣1．在数轴上表示x＜﹣1的解集，只有选项C符合，故选：C．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．3．（2024秋•钢城区期末）点（3，m），（4，n）在函数y＝﹣3x﹣1的图象上，则m、n的大小关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m≤n【考点】一次函数与一元一次不等式．【专题】一次函数及其应用；运算能力．【答案】A【分析】根据一次函数解析式可得其增减性，则可比较m、n的大小．【解答】解：在函数y＝﹣3x﹣1中，k＝﹣3＜0，∴y随x的增大而减小，∵点（3，m）和点（4，n）都在函数y＝﹣3x﹣1的图象上，且3＜4，∴m＞n，故选：A．【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的增减性是解题的关键．4．（2024秋•宿城区校级期末）如图，一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（）A．x≥4 B．x≤4 C．x≥1 D．x≤1【考点】一次函数与一元一次不等式．【答案】D【分析】看两函数交点坐标左边的图象所对应的自变量的取值即可．【解答】解：因为一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4），所以不等式x+3≤ax+b的解集是x≤1，故选：D．【点评】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．5．（2024秋•锡山区期末）如图，已知一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4）．现有下列四个结论：①a＞0；②mn＞0；③方程ax+2＝mx+n的解是x＝﹣2；④若mx+n＜ax+2＜0，则﹣2＜x＜-2A．4 B．3 C．2 D．1【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数与一元一次方程．【专题】一次函数及其应用；推理能力．【答案】B【分析】直接利用一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4）得到x＝﹣2时，ax+2＝mx+n，于是可对③进行判断；先确定一次函数y＝ax+2的解析式为y＝3x+2，再求出一次函数y＝ax+2与x轴的交点坐标为（-23，0），然后结合函数图象，写出在x轴下方，直线y＝ax+2在直线y＝mx+n的上方所对应的自变量的范围，从而可对【解答】解：∵一次函数y＝ax+2的图象经过第一、三象限，∴a＞0，所以①正确；∵一次函数y＝mx+n的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交，∴m＞0，n＜0，∴mn＜0，所以②错误；∵一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4），∴x＝﹣2时，ax+2＝mx+n，所以③正确；把（﹣2，﹣4）代入y＝ax+2得﹣4＝﹣2a+2，解得a＝3，∴一次函数y＝ax+2的解析式为y＝3x+2，当y＝0时，3x+2＝0，解得x=-∴一次函数y＝ax+2与x轴的交点坐标为（-23，∴当x＜-23时，ax+2＜∴当﹣2＜x＜-23时，mx+n＜ax+2＜0，所以故选：B．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系及数形结合思想．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．也考查了一次函数的性质和一次函数与一元一次方程．二．填空题（共5小题）6．（2024秋•拱墅区期末）已知函数y1＝kx﹣b（k≠0），y2＝ax+2a（a≠0），若函数y1与y2的图象交于x轴上的一点，且函数y1的图象经过第二、三、四象限，则不等式kx﹣b＜0的解集为x＞﹣2．【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的性质．【专题】一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用．【答案】x＞﹣2．【分析】根据函数y1的图象经过第二、三、四象限，判断k和b的取值范围，根据函数y1与y2的图象交于x轴上的一点，得到bk的取值，即可得到不等式不等式kx﹣b＜0【解答】解：函数y1的图象经过第二、三、四象限，∴k＜0，b＞0，∵若函数y1与y2的图象交于x轴上的一点，∴kx﹣b＝0，ax+2a＝0，∴x=bk∴不等式kx﹣b＜0，∴x＞b∴x＞﹣2．故答案为：x＞﹣2．【点评】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，判断一次函数图象与x轴的交点坐标是解题的关键．7．（2024秋•鼓楼区期末）已知两个一次函数y1，y2与自变量x的部分对应值分别如下表：x…﹣312…y1…﹣134…x…﹣113…y2…73﹣1…当x＞1时，y1＞y2．【考点】一次函数与一元一次不等式．【专题】一元二次方程及应用；一次函数及其应用；运算能力．【答案】＞1【分析】根据表格中的数据可以求得二个一次函数的解析式，从而可以得到不等式k1x+b1＞k2x+b2的解．【解答】解：∵点（1，3）和点（2，4）在一次函数y1＝k1x+b1的图象上，∴k1+b1即一次函数y1＝x+2，∵点（1，3）和点（3，﹣1）在一次函数y2＝k2x+b2的图象上，∴k2+b即一次函数y2＝﹣2x+5，∴y1＞y2时，x+2＞﹣2x+5，∴x＞1．故答案为：x＞1．【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．8．（2024秋•建邺区期末）—次函数y＝kx+b（k≠0）中两个变量x，y的部分对应值如表所示：x…﹣3﹣2﹣101…y…7531﹣1…那么关于x的不等式kx+b≥5的解集是x≤﹣2．【考点】一次函数与一元一次不等式．【专题】一次函数及其应用；运算能力．【答案】x≤﹣2．【分析】通过一次函数与一元一次不等式的关系可知，kx+b≥5，即为y≥5．即可得到对应的x的取值范围．【解答】解：当x＝﹣2时y＝5，根据表中数据可知函数值y随x的增大而减小，∴不等式kx+b≥5的解等是x≤﹣2．故答案为：x≤﹣2．【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键在于通过不等式与一次函数的增减性得到x的取值范围．9．（2024秋•梁溪区校级期末）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣4，2）和(3，5)，则不等式(k+12【考点】一次函数与一元一次不等式．【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观．【答案】x＜﹣4．【分析】结合函数图象，写出直线y＝kx+b在直线y=-12x【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣4，2）和(3，5)，正比例函数y=-12观察图象，当x＜﹣4时，直线y＝kx+b在直线y=-1∴不等式(k+12)故答案为：x＜﹣4．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．10．（2024秋•肥东县期末）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝kx+b（k≠0）相交于点P（m，5），则关于x的不等式kx+b≥x+1的解集为m≤4．【考点】一次函数与一元一次不等式．【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观．【答案】m≤4．【分析】以两函数图象交点为分界，直线l1在直线l2的上或在下方时，x＞2．【解答】解：将P（m，5）代入y＝x+1，得5＝m+1，解得m＝4．所以点P的坐标为（4，5）．所以关于x的不等式kx+b≥x+1的解集为m≤4．故答案为：m≤4．【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是能从图象中得到正确信息．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•拱墅区期末）在直角坐标系中，点A（m，0）在函数y1＝ax+2a﹣1（a≠0且a≠12）的（1）若m＝3，求a的值．（2）若2＜m＜3，求a的取值范围．（3）设函数y2=12x，若a＜0，当y1＜y2时，求【考点】一次函数与一元一次不等式．【专题】一次函数及其应用；用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观；运算能力．【答案】（1）a=1（2）15（3）x＞﹣2．【分析】（1）代入点A的坐标即可求得；（2）分别求得m＝2和m＝3时的a的值，结合图象即可求得；（3）证得两直线都经过点（﹣2，﹣1），结合一次函数的增减性即可判断．【解答】解：（1）∵点A（m，0）在函数y1＝ax+2a﹣1（a≠0且a≠12）的∴am+2a﹣1＝0，∴a=1若m＝3，则a=1（2）由（1）可知a=1∵2＜m＜3，若m＝2时，a=1若m＝3时，a=1∴15（2）∵y1＝ax+2a﹣1＝a（x+2）﹣1，∴直线y1过点（﹣2，﹣1），如图，∵a＜0，∴当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，∵直线y2=12x也经过点（﹣2，﹣1），且y随∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＞﹣2．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．12．（2024秋•沛县期末）如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），一次函数图象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．（1）求一次函数表达式；（2）求△COP的面积；（3）直接写出不等式kx+b≥﹣3x的解集：x≥﹣1．【考点】一次函数与一元一次不等式；三角形的面积；待定系数法求一次函数解析式．【专题】一次函数及其应用；运算能力．【答案】（1）y＝﹣x+2；（2）3；（3）x≥﹣1．【分析】（1）先把点P（m，3）代入y＝﹣3x中求出点P的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式，即可解答；（2）利用（1）的结论求出点C的坐标，从而求出OC的长，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答；（3）利用（1）的结论可得：﹣x+2≥﹣3x，然后进行计算即可解答．【解答】解：（1）把点P（m，3）代入y＝﹣3x中得：3＝﹣3m，解得：m＝﹣1，∴点P（﹣1，3），把P（﹣1，3），点B（1，1）代入y＝kx+b中得：3=-解得：k=∴y＝﹣x+2；（2）把y＝0代入y＝﹣x+2中得：0＝﹣x+2，解得：x＝2，∴点C（2，0），∵点P（﹣1，3），∴△COP的面积=12OC•yP=12×2（3）由题意得：﹣x+2≥﹣3x，﹣x+3x≥﹣2，2x≥﹣2，x≥﹣1，故答案为：x≥﹣1．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，准确熟练地进行计算是解题的关键．13．（2024秋•鼓楼区期末）已知一次函数y＝mx+m（m为常数，m≠0）的图象经过点（﹣2，3）．（1）求m的值；（2）不等式组0＜mx+m＜3的解集是﹣2＜x＜﹣1．【考点】一次函数与一元一次不等式．【专题】一次函数及其应用；运算能力．【答案】（1）m＝﹣3；（2）﹣2＜x＜﹣1．【分析】（1）把点（﹣2，3）代入一次函数解析式，即可求得m的值；（2）解不等式组-3x-【解答】解：（1）∵把点（﹣2，3）代入一次函数y＝mx+m中，∴得3＝﹣2m+m，∴m＝﹣3；（2）∵不等式组0＜mx+m＜3，∴-3∴﹣2＜x＜﹣1．故答案为：﹣2＜x＜﹣1．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，主要考查学生的计算能力，用了数形结合思想．14．（2024秋•萧山区期末）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）．（1）若此一次函数的图象经过A（1，2），B（2，5）两点，求k的值．（2）若k+b＜0，点P（2，a）（a＞0）在该一次函数图象上，求证：k＞0．【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的性质．【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；运算能力；推理能力．【答案】（1）k＝3；（2）见解答．【分析】（1）将A（1，2），B（2，5）代入y＝kx+b之中即可求出k的值；（2）将点P（2，a）代入y＝kx+b之中得2k+b＝a，根据a＞0得2k+b＞0，再结合k+b＜0得2k+b＞k+b，据此即可得出结论．【解答】（1）解：∵此一次函数的图象经过A（1，2），B（2，5）两点，k+解得k＝3；（2）证明：∵一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点P（2，a）（a＞0），∴2k+b＝a，∵a＞0，∴2k+b＞0，∵k+b＜0，∴2k+b＞k+b，∴k＞0．【点评】此题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法求一次函数表达式的方法与技巧，理解一次函数的性质，一次函数图象上的点满足一次函数的表达式是解决问题的关键．15．（2024秋•南京期末）如图，直线l1的函数表达式为y1＝kx+1，l1交x轴于点A．直线l2的函数表达式为y2＝﹣x+b，l2经过点B（﹣1，5），且分别交x轴、直线l1于点C、D，已知D点坐标为（2，m）．（1）求b、m、k的值；（2）△ACD的面积为6．（3）结合函数图象，直接写出不等式（kx+1）（﹣x+b）＜0的解集．【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的性质．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】（1）b＝4，m＝2，k=1（2）6；（3）x＞4或x＜﹣2．【分析】（1）先把B点坐标代入y2＝﹣x+b值求出b的值，从而得到为y2＝﹣x+4，再求出m的值得到D点坐标，然后把D点坐标代入y1＝kx+1中求出k的值；（2）先利用两解析式求出点A、C的坐标，然后根据三角形面积公式求解；（3）根据函数图象，写出两函数值异号时对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）∵将B（﹣1，5）代入y2＝﹣x+b得1+b＝5，解得b＝4，∴直线l2的函数表达式为y2＝﹣x+4，∵把D（2，m）代入y2＝﹣x+4得m＝﹣2+4＝2，∴点D坐标为（2，2），∵把D（2，2）代入y1＝kx+1得2k+1＝2，解得k=1∴直线l1的函数表达式为y1=12x（2）当y＝0时，﹣x+4＝0，解得x＝4，∴C（4，0），当y＝0时，12x+1＝0解得x＝﹣2，∴A（﹣2，0），△ACD的面积=12×（4+2）×2故答案为：6；（3）∵当x＜﹣2或x＞4，y1•y2＜0，∴不等式（kx+1）（﹣x+b）＜0的解集为x＞4或x＜﹣2．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质．

考点卡片1．在数轴上表示不等式的解集用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．【规律方法】不等式解集的验证方法某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．2．一次函数的图象（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（-bk，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整