《第十一章 三角形》专题复习与单元检测试卷

《第十一章三角形》专题复习（一）三角形的高、中线与面积问题

问题探究思考问题1

见两垂直用面积法【教材第9页习题11.1第8题改编】如图，在△

ABC

中，

AB

＝2，

BC

＝

4，

CE

⊥

AB

于点

E

，△

ABC

的高

AD

为6，

CE

的长为多少？

【变式1】如图，在等腰三角形

ABC

中，

AB

＝

AC

＝4，

P

是

BC

边上任一点，

PD

⊥

AB

，

PE

⊥

AC

，

D

，

E

为垂足.若△

ABC

的

面积为6，问：腰

AB

上的高是多少？

PD

＋

PE

的值能否确定？若

能确定，值是多少？

解：腰

AB

边上的高是3；

PD

＋

PE

的值能确定，且

PD

＋

PE

＝3.

AB

边上的高＝面积×2÷

AB

＝6×2÷4＝3.如图，连接

AP

.

由图，可得

S△

ABC

＝

S△

ABP

＋

S△

ACP

.

∵

PD

⊥

AB

，

PE

⊥

AC

，

AB

＝

AC

＝4，△

ABC

的面积为6，

∴

PD

＋

PE

＝3.【变式2】如图，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，若

AC

边上的高

BD

＝4，

P

为

BC

上一点，

PE

⊥

AC

于点

E

，

PF

⊥

AB

于点

F

，求

PE

＋

PF

的值.解：如图，连接

AP

.

又∵

AB

＝

AC

，∴

BD

＝

PE

＋

PF

.

∵

BD

＝4，∴

PE

＋

PF

＝4.根据变式1和变式2你得到的结论是：

⁠

⁠等腰三角形底边上任意一点到两

腰的距离和等于一腰上的高.

问题2

中线等分三角形的面积王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配

给两个儿子，则图中他所作的线段

AD

应该是△

ABC

的(

B

)A.

角平分线B.

中线C.

高D.

任意一条线B【变式1】在如图1至图3中，△

ABC

的面积为

a

，如图1，延长△

ABC

的边

BC

到点

D

，使

CD

＝

BC

，连接

DA

，若△

ACD

的面积为

S1，则

S1

＝

(用含

a

的代数式表示).

a

【解析】∵

BC

＝

CD

，即

AC

是△

ABD

的中线，∴

S△

ABC

＝

S△

ACD

.

又∵

S△

ABC

＝

a

，∴

S△

ACD

＝

a

，即

S1＝

a

.【变式2】如图2，延长△

ABC

的边

BC

到点

D

，延长边

CA

到点

E

，使

CD

＝

BC

，

AE

＝

CA

，连接

DE

，若△

DEC

的面积为

S2，则

S2＝

.

(用含

a

的代数式表示).2a

【解析】如图，连接

AD

.

∵

EA

＝

AC

，∴

AD

是△

ECD

的中线.∴

S△

EAD

＝

S△

ACD

.

由【变式1】得

S△

ACD

＝

a

，则

S△

EAD

＝

S△

ACD

＝

a

，∴

S2＝2

a

.【变式3】在图2的基础上延长

AB

到点

F

，使

BF

＝

AB

，连接

FD

，

FE

，得到△

DEF

(如图3)，此时，我们称△

ABC

向外扩展了一次，若

阴影部分的面积为

S3，则

S3＝

(用含

a

的代数式表示).【解析】由变式2，得

S2＝2

a

，同理可得

S△

AEF

＝

S△

BFD

＝

S△

DEC

＝2

a

，则

S3＝6

a

.6

a

【变式4】应用：如图4，去年李叔叔在面积为10

m2的△

ABC

空地上栽

种了某种花卉，今年他准备扩大种植规模，把△

ABC

向外进行两次扩

展，扩展的区域面积共为多少平方米？解：扩展1次，

S△

DEF

＝7

S△

ABC

＝7×10＝70(m2).扩展2次，

S△

MGH

＝7

S△

DEF

＝7×70＝490(m2).∴扩展的区城面积共为490－10＝480(m2).

专题进阶小练1.

如图所示，已知

AD

，

AE

分别是△

ABC

的高和中线，

AB

＝6

cm，

AC

＝8

cm，

BC

＝10

cm，∠

CAB

＝90°.试求：(1)

AD

的长；

(2)△

ABE

的面积.

2.

如图所示，在△

ABC

中，

AD

是

BC

边上的中线，

E

是

AD

的中点.若

S△

AEC

＝3

cm2，则

S△

ABC

为多少？解：∵

E

是

AD

的中点，即

CE

是△

ADC

的中线，∴

S△

ADC

＝2

S△

AEC

＝2×3＝6(cm2).∵

AD

是△

ABC

的中线，∴

S△

ABC

＝2

S△

ADC

＝2×6＝

12(cm2).3.

如图，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

AC

上的高

BD

＝4，

AB

＝10，

BE

是△

ABC

的中线，

F

为

BC

上的三等分点.求点

F

到

AC

边的距离.

解：解：如图，连接

CD

.

∵

N

是

AC

的中点，

∴

S△

ADN

＝

S△

CDN

.

同理

S△

ABN

＝

S△

CBN

.

设

S△

ADN

＝

S△

CDN

＝

a

.∵△

ABC

的面积是

m

，

∴

S△

CDM

＝3

S△

BDM

，

S△

ACM

＝3

S△

ABM

.

《第十一章三角形》专题复习（二）“8字形”与“飞镖形”模型类型1

8字形1.

图中有“8字”

ABCD

，“8字”

和“8字”

⁠.ABED

EBCD

2.

如图，

AD

，

BC

相交于点

O

，得到一个“8字”

ABCD

，求证：∠

A

＋∠

B

＝∠

C

＋∠

D

.

证明：∵∠

A

＋∠

B

＋∠

AOB

＝180°，∠

C

＋∠

D

＋∠

COD

＝180°，∠

AOB

＝∠

COD

，∴∠

A

＋∠

B

＝∠

C

＋∠

D

.

类型2

飞镖形4.

如图，则∠

A

＋∠

B

＋∠

C

＋∠

D

＋∠

E

＝

⁠°.180

【解析】

方法1：如图，设

BC

和

DE

交于点

F

，则∠

BFE

＝∠1＋∠

E

＝∠

A

＋∠

B

＋∠

E

.

∵∠

BFE

＝∠

DFC

，∴∠

DFC

＝∠

A

＋∠

B

＋∠

E

.

又∵∠

D

＋∠

C

＋∠

DFC

＝180°，∴∠

A

＋∠

B

＋∠

C

＋∠

D

＋∠

E

＝180°.方法2：如图，根据外角的性质，得∠1＝∠

A

＋∠

B

，∠2＝∠

C

＋∠

D

.

∵∠1＋∠2＋∠

E

＝180°，∴∠

A

＋∠

B

＋∠

C

＋∠

D

＋∠

E

＝180°.5.

如图，则∠

A

＋∠

B

＋∠

C

＋∠

D

＋∠

E

＝

⁠°.6.

如图，则∠

A

＋∠

B

＋∠

C

＋∠

D

＋∠

E

＝

⁠°.180

180

【解析】如图，延长

EA

交

CD

于点

F

，设

EA

和

BC

交于点

G

.

根据外角的性质，得∠

GFC

＝∠

D

＋∠

E

，∠

FGC

＝∠

BAE

＋∠

B

，∵∠

GFC

＋∠

FGC

＋∠

C

＝180°，∴∠

BAE

＋∠

B

＋∠

C

＋∠

D

＋∠

E

＝180°.7.

如图是一个六角星，其中∠

BOD

＝70°，则∠

A

＋∠

B

＋∠

C

＋∠

D

＋∠

E

＋∠

F

＝

⁠°.140

【解析】∵∠

BOD

＝70°，∴∠

AOE

＝∠

BOD

＝70°.∴∠

A

＋∠

C

＋∠

E

＝∠

AOE

＝70°，∠

B

＋∠

D

＋∠

F

＝∠

BOD

＝70°.∴∠

A

＋∠

B

＋∠

C

＋∠

D

＋∠

E

＋∠

F

＝70°＋70°＝140°.8.

如图，你知道∠

BOC

＝∠

B

＋∠

C

＋∠

A

的奥秘吗？请你用学过的

知识予以证明.证明：如图，延长

BO

交

AC

于点

D

.

则∠

BOC

＝∠

BDC

＋∠

C

.

又∵∠

BDC

＝∠

A

＋∠

B

，∴∠

BOC

＝∠

B

＋∠

C

＋∠

A

.

《第十一章三角形》专题复习（三）三角形的角平分线问题探究思考问题1

“两内角”平分线问题在△

ABC

中.

(1)如图1，若

BP

，

CP

分别平分∠

ABC

，∠

ACB

，则∠

P

与∠

A

的数量

关系是什么？请说明理由.

延伸如图3，

P

是△

ABC

内一点，且∠

BPC

＝133°，∠

ABP

，∠

ACP

的10等分线分别交于点

G1，

G2，…，

G9，若∠

BG1

C

＝70°，直

接写出∠

A

的度数.解：∠

A

＝63°.

解得∠

A

＝63°.问题2

“一内角一外角”平分线问题如图，在△

ABC

中，

BD

平分∠

ABC

，

CD

平分△

ABC

的外角∠

ACE

，

BD

，

CD

相交于点

D

.

(1)若∠

A

＝86°，求∠

D

的度数；

(2)若∠

A

＝α，求∠

D

的度数(用含α的式子表示).

问题3

“两外角”平分线问题如图，在△

ABC

中，

BD

，

CD

分别平分△

ABC

的外角∠

CBF

，∠

BCE

，

BD

，

CD

相交于点

D

.

若∠

A

＝70°，则∠

D

＝

⁠°.55

思考如图，

BP

，

CP

分别平分∠

ABC

，∠

ACB

，它们相交于点

P

，你能直接运用∠

BPC

与∠

A

的关系得出∠

D

与∠

A

的关系吗？

请说明理由.

《第十一章三角形》单元检测试卷（一）一、选择题(共10题.每题4分，共40分)1.

已知三角形三条边的长分别是2，3和

a

，则

a

的取值范围是(

D

)A.

2＜

a

＜3B.

0＜

a

＜5C.

a

＞2D.

1＜

a

＜5D2.

用透明三角尺作△

ABC

的边

BC

上的高，下列三角尺的摆放位置正确

的是(

A

)A3.

【教材第16页习题11.2第2题改编】在一个三角形的每个顶点处各取

一个外角，这三个外角中，锐角的个数最多有(

A

)A.

1个B.

2个C.

3个D.

不能确定A4.

如图，在以下三角形中，外角中没有∠

AEB

的三角形是(

B

)A.

△

AED

B.

△

ABE

C.

△

AEF

D.

△

AEC

B5.

下列图形中，是直角三角形的是(

B

)B6.

如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其

折射光线与一束经过光心

O

的光线相交于点

P

，点

F

为焦点.若∠1＝

155°，∠2＝30°，则∠3的度数为(

C

)A.

45°B.

50°C.

55°D.

60°C7.

在△

ABC

中，∠

A

＝50°，∠

B

＝30°，点

D

在

AB

边上，连接

CD

，若△

ACD

为直角三角形，则∠

BCD

的度数为(

D

)A.

60°B.

10°C.

45°D.

10°或60°D8.

如图1，

M

是铁丝

AD

的中点，将该铁丝首尾相接，折成△

ABC

，且

∠

B

＝30°，∠

C

＝100°，如图2，下列说法中，正确的是(

C

)A.

点

M

在

AB

上B.

点

M

在

BC

的中点处C.

点

M

在

BC

上，且距点

B

较近，距点

C

较远D.

点

M

在

BC

上，且距点

C

较近，距点

B

较远C9.

如图，将三角形纸片

ABC

沿

DE

折叠，当点

A

落在四边形

BCED

的外

部时，测量得∠1＝50°，∠2＝152°，则∠

AEC

的度数为(

C

)A.

7°B.

6.5°C.

6°D.

5.5°C10.

如图，△

ABC

的三边长均为整数，且周长为22，

AM

是边

BC

上的

中线，△

ABM

的周长比△

ACM

的周长大2，则

BC

长的可能值有

(

A

)A.

4个B.

5个C.

6个D.

7个A二、填空题(共4题.每题5分，共20分)11.

当人们把空调安装在墙上时，一般都会用如图所示的方法固定，这

种方法运用的数学知识是

⁠.三角形的稳定性12.

若△

ABC

的三边长分别是

a

，

b

，

c

，且(

a

－

b

)2＋｜

b

－

c

｜＝0，

则△

ABC

的形状是

⁠.13.

如图，一块试验田的形状是三角形(设其为△

ABC

)，管理员从

BC

边上的一点

D

出发，沿

D

→

C

→

A

→

B

→

D

的方向走了一圈回到

D

处，

则管理员从出发到回到原处他的身体转过

⁠°.等边三角形360

14.

如图，在△

ABC

中，∠

A

＝

m

°，∠

ABC

和∠

ACD

的平分线交于

点

A1，得∠

A1；∠

A1

BC

和∠

A1

CD

的平分线交于点

A2，得∠

A2；…∠

A2

012

BC

和∠

A2

012

CD

的平分线交于点

A2

013，则∠

A2

013＝

⁠°.

三、解答题(共4题，共40分)15.

(8分)如图，在△

ABC

中，

AD

是中线，

AB

＋

AC

＝14，△

ABD

的周长比△

ACD

的周长大4.(1)求

AB

，

AC

的长；解：(1)∵

AD

是△

ABC

的中线，∴

BD

＝

CD

.

∴△

ABD

的周长－△

ADC

的周长＝(

AB

＋

AD

＋

BD

)－

(

AC

＋

AD

＋

CD

)＝

AB

－

AC

＝4，即

AB

－

AC

＝4.

①又

AB

＋

AC

＝14，②①＋②，得2

AB

＝18，解得

AB

＝9.②－①，得2

AC

＝10，解得

AC

＝5.∴

AB

和

AC

的长分别为9，5.(2)求△

ABC

周长的取值范围.解：(2)∵

AB

＝9，

AC

＝5，∴

AB

－

AC

＜

BC

＜

AB

＋

AC

，即9－5＜

BC

＜9＋5.∴4＜

BC

＜14.∴4＋9＋5＜

AB

＋

BC

＋

AC

＜14＋9＋5.∴18＜△

ABC

的周长＜28.16.

(8分)夕夕同学要证明“任意一个三角形的内

角和一定等于180°”是正确的，她的想法是利用平行线的性质与平角

的定义来证明.下面夕夕已经写出了已知和求证，请你按夕夕的想法完

成证明.如图，已知：△

ABC

.

求证：∠

A

＋∠

B

＋∠

C

＝180°.证明：如图，过点

A

作

DE

∥

BC

.

∵

DE

∥

BC

，∴∠

B

＝∠

DAB

，∠

C

＝∠

EAC

.

∵∠

DAB

＋∠

BAC

＋∠

EAC

＝180°，∴∠

BAC

＋∠

B

＋∠

C

＝180°.17.

(12分)如图，在△

ABC

中，

CD

是

AB

边上的高，∠

A

＝∠

DCB

.

(1)如图1，判断△

ABC

的形状，并说明理由；(1)解：△

ABC

是直角三角形.理由：∵在△

ABC

中，

CD

是高，∴∠

CDA

＝90°.∴∠

A

＋∠

ACD

＝90°.又∵∠

A

＝∠

DCB

，∴∠

DCB

＋∠

ACD

＝90°，即∠

ACB

＝90°.∴△

ABC

是直角三角形.(2)如图2，

AE

是∠

BAC

的平分线，

AE

，

CD

相交于点

F

，若∠

BAC

＝

40°，求证：∠

CFE

＝∠

CEF

.

(2)证明：∵

AE

是∠

BAC

的平分线，∴∠

DAF

＝∠

CAF

.

∵∠

FDA

＝90°，∠

ACE

＝90°，∴∠

DAF

＋∠

AFD

＝90°，∠

CAE

＋∠

CEA

＝90°.∴∠

AFD

＝∠

CEA

.

∵∠

AFD

＝∠

CFE

，∴∠

CFE

＝∠

CEA

，即∠

CFE

＝∠

CEF

.

18.

(12分)已知△

ABC

的面积是60，请完成下列问题：(1)如图1，若

AD

是△

ABC

的边

BC

上的中线，则△

ABD

的面积

.

△

ACD

的面积；(填“＞”“＜”或“＝”)＝

【解析】如图1，过点

A

作

AH

⊥

BC

于点

H

.

∵

AD

是△

ABC

的边

BC

上的中线，∴

BD

＝

CD

.

∴

S△

ABD

＝

S△

ACD

.

20

(3)如图3，

AD

∶

DB

＝1∶3，

CE

∶

AE

＝1∶2，请你计算四边形

ADOE

的面积，并说明理由.解：如图，连接

AO

.

∵

AD

∶

DB

＝1∶3，

∵

CE

∶

AE

＝1∶2，

设

S△

ADO

＝

x

，

S△

CEO

＝

y

，则

S△

BDO

＝3

x

，

S△

AEO

＝2

y

，

《第十一章三角形》单元检测试卷（二）

与三角形有关的线段1.

如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是(

D

)A.

两点之间，线段最短B.

垂线段最短C.

两直线平行，内错角相等D.

三角形具有稳定性D2.

已知六组三条线段的比：①2∶3∶4；②1∶2∶3；③2∶4∶6；④3∶3∶6；⑤6∶6∶10；⑥6∶8∶10.其中可构

成三角形的有(

C

)A.

1组B.

2组C.

3组D.

4组C3.

如图，△

ABC

三边上的中线

AD

，

BE

，

CF

交于点

G

，若

S△

ABC

＝

24，则图中阴影部分的面积是

⁠.8

4.

在△

ABC

中，

AB

＝8，

AC

＝1.

(1)

BC

的取值范围为

⁠.(2)若

BC

是整数，则

BC

的长为

；△

ABC

是

三角形(按边

分类).(3)已知

AD

是△

ABC

的中线，若△

ACD

的周长为10，则三角形

ABD

的

周长为

⁠.7＜

BC

＜9

8

等腰17

思路点拨5.

在△

ABC

中，(1)若△

ABC

为等腰三角形，且周长为16，一边长为6，则另两边长分别

为

⁠；

若腰长为6，则三边长分别为6，4，6，∴另两边长分别为6，4；若

底边长为6，则三边长分别为5，5，6，∴另两边长分别为5，5.6，4或5，5

(2)若∠

B

＝∠

C

＝36°，

D

为边

BC

上一点，连接

AD

，当△

ADC

为等

腰三角形时，∠

ADB

的度数为

⁠；72°或108°

(3)若∠

B

＝80°，∠

C

＝60°，

CE

是△

ABC

的角平分线，

D

是射线

CE

上一点，连接

DB

，当△

BDC

为直角三角形时，∠

DBA

的度数为

⁠；(4)若∠

B

＝∠

C

，

BD

是

AC

边上的高，∠

ABD

＝40°，则∠

C

的度数

为

⁠.20°或10°

65°或25°

[结论]在解决以上问题的过程中都需要“分类讨论”，具体为：(1)因等腰三角形中

不确定，需“分类讨

论”；(2)因等腰三角形中

不确定，需“分类讨论”；(3)因直角三角形中

不确定，需“分类讨论”；(4)“高”的问题因

不确定，需“分类讨论”.已知边为腰长还是底边长已知角为顶角还是底角直角顶点三角形的形状

与三角形有关的角

A.

锐角三角形B.

直角三角形C.

钝角三角形D.

无法确定【解析】设∠

A

＝

x

°，则∠

B

＝2

x

°，∠

C

＝3

x

°.由∠

A

＋∠

B

＋∠

C

＝180°，得

x

＋2

x

＋3

x

＝180，∴

x

＝30，故∠

C

＝30°×3＝90°.∴△

ABC

是直角三角形.B7.

如图，已知

P

是射线

ON

上一动点(不与点

O

重合)，∠

O

＝30°，若△

AOP

为钝角三角形，则∠

A

的取值范围是(

D

)A.

0°＜∠

A

＜60°B.

90°＜∠

A

＜180°C.

0°＜∠

A

＜30°或90°＜∠

A

＜130°D.

0°＜∠

A

＜60°或90°＜∠

A

＜150°D【解析】∠

O

＝30°，若∠

A

为钝角，则90°＜∠

A

＜180°－30°，即90°＜∠

A

＜150°；若∠

A

为锐角，则0°＜∠

APN

＜90°.∵∠

APN

＝∠

O

＋∠

A

，∴∠

A

＋30°＜90°.∴0°＜∠

A

＜60°.综上，∠

A

的取值范围为0°＜∠

A

＜60°或90°＜∠

A

＜150°.8.

如图，在△

ABC

中，∠

A

＝80°，

E

，

F

分别是

AC

，

AB

上的点，点

D

在

BC

的延长线上，连接

DE

，

DF

，其中∠

BFD

＝α，∠

DEC

＝β，则∠

EDF

＝

(用含α，β的代数式表示).80°＋β－α

【解析】∵α是△

AFH

的一个外角，∴α＝∠

A

＋∠

AHF

.

∵∠

A

＝80°，∴∠

AHF

＝α－80°.∵β是△

DEH

的一个外角，∴β＝∠

EDF

＋∠

DHE

.

∵∠

DHE

＝∠

AHF

，∴β＝∠

EDF

＋∠

AHF

.

∴β＝∠

EDF

＋α－80°.∴∠

EDF

＝80°＋β－α.9.

如图，已知∠

MON

＝40°，

OE

平分∠

MON

，

A

，

B

，

C

分别是射

线

OM

，

OE

，

ON

上的动点(点

A

，

B

，

C

不与点

O

重合)，连接

AC

交

射线

OE

于点

D

.

设∠

OAC

＝

x

.(1)如图1，若

AB

∥

ON

，则①∠

ABO

的度数是

.②当∠

BAD

＝

∠

ABD

时，

x

＝

；当∠

BAD

＝∠

BDA

时，

x

＝

⁠.20°

120°

60°

(2)如图2，若

AB

⊥

OM

，则是否存在这样的

x

的值，使得△

ADB

中有

两个相等的角？若存在，求出

x

的值并画出相应的图形；若不存在，请

说明理由.

分以下两种情况：①当点

D

在线段

OB

上时，若∠

BAD

＝∠

ABD

，如图1所示，则

x

＝∠

OAB

－∠

BAD

＝∠

OAB

－∠

ABO

＝90°－70°＝20°；若∠

BAD

＝∠

BDA

，如图2所示，

若∠

ADB

＝∠

ABD

，如图3所示，则

x

＝∠

OAB

－∠

BAD

＝90°－(180°－2∠

ABO

)＝90°－(180°－

2×70°)＝50°；

多边形及其内角和10.

如图，△

HFG

的边

FH

，

FG

分别经过五边形

ABCDE

的两个相邻

的顶点

E

，

D

，点

F

在五边形内.已知∠

HFG

＝70°，∠

A

＋∠

B

＋∠

C

＝280°，则∠1＋∠2＝(

D

)A.

180°B.

170°C.

160°D.

150°D11.

游戏中有数学智慧.找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后

回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，以下选项正确的是

(

A

)A.

每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走B.

每段直路要短C.

每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走D.

每段直路要长第11题图A

第11题图12.

如图，正十边形与正方形共边

AB

，延长正

方形的一边

AC

与正十边形的一边

ED

，两线交于点

F

，设∠

AFD

＝

x

°，则

x

的值为(

B

)A.

15B.

18C.

21D.

24第12题图B【解析】如图，延长

AB

交

DF

于点

H

，

∴∠

AHF

＝∠

HBD

＋∠

HDB

＝72°.∵∠

BAC

＝90°，∴∠

AFD

＝90°－∠

AHF

＝18°，即

x

＝18.第12题图13.

将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，

其俯视图如图1，正六边形的边长为2，且各有一个顶点在直线

l

上.两侧

螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中

间正六边形的一边与直线

l

平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个

顶点.(1)求图1中∠β的度数；解：(1)∵正六边形的每个内角为120°，∴∠β＝360°－120°×2＝120°.(2)求图2中∠α的度数.解：(2)如图.根据中间正六边形的一边与直线

l

平行及多边形外角和，得∠

ACB

＝

180°－120°＝60°，∠

BAC

＝∠α＝90°－60°＝30°.《第十一章三角形》单元检测试卷（三）一、选择题(共12题，每题3分，共36分)1.

木工要做一个三角形木架，现有两根木条的

长度分别为12

cm和5

cm，则第三根木条的长度不能是(

A

)

A.

6

cmB.

9

cmC.

13

cmD.

16

cm2.

如图，一只手握住了一个三角形的一部分，则这个三角形是(

D

)A.

钝角三角形B.

直角三角形C.

锐角三角形D.

以上都有可能AD3.

如图，在△

ABC

中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，

则下列说法中，正确的是(

B

)A.

AD

是△

ABE

的中线B.

AE

是△

ABC

的角平分线C.

AF

是△

ACE

的高线D.

AE

是△

DAF

的中线B4.

把

n

边形变为(

n

＋

x

)边形，内角和增加了180°，则

x

的值为(

A

)A.

1B.

2C.

3D.

4【解析】由题意，得(

n

＋

x

－2)×180°－(

n

－2)×180°＝180°，解得

x

＝1.A5.

如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点

A

，

B

，

C

都在格点上，则△

ABC

的面积为(

C

)B.

3D.

4

C6.

科技馆为某机器人编写了一段程序，如果这个机器人在平地上按照

图中所示的程序行走，那么该机器人所走的总路程为(

C

)A.

6

mB.

8

mC.

12

mD.

不能确定C【解析】由题意知，机器人从点

A

出发再回到点

A

时，走过的路线可围

成一个正多边形，∵每次左转30°，即这个正多边形的每个外角为30°，∴这个正多边形的边数为360°÷30°＝12.∴它第一次回到出发点

A

时，一共走了12×1＝12(m).7.

如图，在四边形

ABCD

中，∠

C

＝110°，与∠

BAD

，∠

ABC

相邻

的外角都是110°，则与∠

ADC

相邻的外角α的度数是(

D

)A.

90°B.

85°C.

80°D.

70°【解析】∵在四边形

ABCD

中，∠

C

＝110°，∴与∠

C

相邻的外角度数为180°－110°＝70°.∴α＝360°－70°－110°－110°＝70°.D8.

一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则

∠1＋∠2的度数是(

B

)A.

90°B.

100°C.

130°D.

180°B【解析】如图可知，∠

BAC

＝180°－90°－∠1＝90°－∠1，∠

ABC

＝180°－60°－∠3＝120°－50°＝70°，∠

ACB

＝180°－60°－

∠2＝120°－∠2.∵在△

ABC

中，∠

BAC

＋∠

ABC

＋∠

ACB

＝180°，∴90°－∠1＋70°＋120°－∠2＝180°.∴∠1＋∠2＝100°.9.

若三角形三个外角的比为3∶4∶5，则这个三角形是(

B

)A.

锐角三角形B.

直角三角形C.

等腰三角形D.

钝角三角形【解析】设三角形的三个外角的度数分别为3

x

，4

x

，5

x

，则3

x

＋4

x

＋5

x

＝360°，解得

x

＝30°.∴3

x

＝90°，4

x

＝120°，5

x

＝150°，相应的内角分别为90°，60°，30°.∴这个三角形是直角三角形.B10.

等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的底角度数是

(

B

)A.

65°B.

65°或25°C.

25°D.

50°B【解析】当该等腰三角形为锐角三角形时，如图1，可求得其顶角为50°，

当该等腰三角形为钝角三角形时，如图2，

可求得顶角的外角为50°，则顶角为180°－50°＝130°，

综上所述，该等腰三角形的底角为65°或25°.11.

如图所示，将正五边形

ABCDE

的点

C

固定，并按顺时针方向旋

转，要使新五边形A'B'CD'E'的顶点D'落在直线

BC

上，则旋转角度为

(

B

)A.

108°B.

72°C.

54°D.

36°第11题图B【解析】∵正五边形的外角＝360°÷5＝72°，∴将正五边形

ABCDE

的点

C

固定，并按顺时针方向旋转，则旋转72°，可使得新五边形

A'B'CD'E'的顶点D'落在直线

BC

上.第11题图12.

如图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”(图1)和“梅花”图案

(图2)(图中的折扇无重叠)，则“梅花”图案中的五角星的五个锐角均为

(

D

)A.

36°B.

42°C.

45°D.

48°第12题图D【解析】如图，连接图中五角星的各个顶点，组成正五边形.∵五边形的内角和＝(5－2)×180°＝540°，

∵扇形中心角度为120°，

∴剩下顶角为108°－2×30°＝48°.第12题图二、填空题(共4题，每题3分，共12分)13.

在以下生活现象中：①自行车的三角形车架；②校门口的自动伸缩

栅栏门；③照相机的三脚架；④长方形门框的斜拉条.利用了三角形的

稳定性的有

(填序号).①③④

14.

如图，在△

ABC

中，∠

ABC

＝50°，∠

ACB

＝78°，

BD

平分∠

ABC

交

AC

于点

D

，则∠

BDC

的度数为

⁠°.77

15.

一块板材如图所示，测得∠

B

＝90°，∠

A

＝20°，∠

C

＝35°，根据需要，∠

ADC

为140°，师傅说板材不符合要求且只能改动∠

A

，则可将∠

A

(填“增加”或“减少”)

⁠°.第15题图减少5

【解析】如图，延长

CD

交

AB

于点

E

.

∵∠

ADC

＝∠

A

＋∠

CEA

，∠

CEA

＝∠

B

＋∠

C

，∴∠

ADC

＝∠

A

＋∠

B

＋∠

C

.

∵∠

B

＝90°，∠

A

＝20°，∠

C

＝35°，∴∠

ADC

＝20°＋90°＋35°＝145°.∵∠

ADC

需为140°，∴可将∠

A

减少5°.第15题图16.

我们定义：在一个三角形中，如果一个角的度数

是另一个角度数的3倍，这样的三角形我们称之为“和谐三角形”.如：

三个内角分别为105°，40°，35°的三角形是“和谐三角形”.概念

理解：如图，∠

MON

＝60°，在射线

OM

上找一点

A

，过点

A

作

AB

⊥

OM

交

ON

于点

B

，则∠

ABO

的度数为

，△

AOB

(填

“是”或“不是”)“和谐三角形”.30°

是第16题图【解析】∵

AB

⊥

OM

，∴∠

OAB

＝90°.∵∠

MON

＝60°，∴∠

ABO

＝180°－90°－60°＝30°.在△

AOB

中，∠

OAB

＝90°，∠

ABO

＝30°，即∠

OAB

＝3∠

ABO

，

∴△

AOB

是“和谐三角形”.第16题图三、解答题(共52分)17.

(6分)已知

n

边形的内角和θ＝(

n

－2)×180°.(1)甲同学说：“θ能取360°”；而乙同学说：“θ也能取630°”.甲、

乙同学的说法对吗？若对，求出边数

n

；若不对，请说明理由；解：(1)∵360°÷180°＝2，630°÷180°＝3.5，∴甲同学的说法对，乙同学的说法不对.∵360°÷180°＋2＝2＋2＝4.∴甲同学说的边数

n

是4.(2)若

n

边形变为(

n

＋

x

)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方

法确定

x

.解：(2)依据题意，得(

n

＋

x

－2)×180°－(

n

－2)×180°＝360°，解

得

x

＝2.∴

x

的值是2.18.

(6分)如图，在△

ABC

中，∠

B

＝∠

C

，

D

，

E

分别是

BC

，

AC

上

的点，连接

DE

，∠1＝∠2，∠

BAD

＝40°，求∠

EDC

的度数.解：∵∠1是△

DEC

的外角，∴∠1＝∠

EDC

＋∠

C

.

∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠

EDC

＋∠

C

.

∵∠

ADC

是△

ABD

的外角，∴∠

ADC

＝∠

B

＋∠

BAD

.

∴∠

B

＋∠

BAD

＝∠2＋∠

EDC

，即∠

B

＋40°＝∠

C

＋2∠

EDC

.

又∵∠

B

＝∠

C

，∴2∠

EDC

＝40°.∴∠

EDC

＝20°.19.

(8分)如图，用钉子把木棒

AB

，

BC

和

CD

分别在端点

B

，

C

处连接

起来，并让木棒

AB

，

CD

可以分别绕端点

B

，

C

转动，用橡皮筋把

AD

连接起来，设橡皮筋

AD

的长是

x

cm.(1)若

AB

＝5

cm，

CD

＝3

cm，

BC

＝11

cm，求

x

的最大值和最小值；解：(1)当

AB

绕点

B

逆时针转到与

BC

共线，

CD

绕点

C

顺时针转到与

BC

共线时，

x

为最大值，即

x

＝

AB

＋

BC

＋

CD

＝5＋11＋3＝19(cm)；当

AB

绕点

B

顺时针转到与

BC

共线，

CD

绕点

C

逆时针转

到与

BC

共线时，

x

为最小值，即

x

＝

BC

－

AB

－

CD

＝

11－5－3＝3(cm).(2)在(1)的条件下要围成一个四边形，你能求出

x

的取值范围吗？解：(2)如果要使

AB

，

BC

，

CD

，

AD

围成一个四边形，

那么

AB

，

BC

，

CD

三根木棒不能共线，∴

x

的取值范围

为3＜

x

＜19.20.

(9分)如图，在四边形

ABCD

中，∠

B

＝∠

D

＝90°，

AE

平分∠

BAD

，

CF

平分∠

BCD

，则

AE

与

CF

有怎样的位置关系？请说明理由.解：

AE

∥

CF

.

∴∠

EAD

＝∠

CFD

.

∴

AE

∥

CF

.

21.

(11分)如图是甲、乙、丙三位同学折纸的示意图.(1)甲折出的

AD

是