3.2.1 双曲线的标准方程（同步课件含动画演示）

第3章圆锥曲线3.2.1双曲线的标准方程高教社数学拓展模块一（修订版）（上册）目录ONTENTSC情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业广州塔是目前世界上已经建成的最高的塔桅建筑，广州塔的两侧轮廓线是什么曲线？有什么特点？可以看出，广州塔两侧的轮廓线是关于塔中轴对称的两条曲线，它们分别从塔的腰部向上下两个方向延伸，人们称这样的曲线为双曲线．那么，如何画出双曲线呢？情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业我们通过一个实验来完成．

（1）取一条拉链，把它拉开分成两条，将其中一条剪短．把长的一条的端点固定在点F1处，短的一条的端点固定在点F2处；（2）将笔尖放在拉链锁扣M

处，随着拉链的拉开或闭合，笔尖

就画出一条曲线(图中右边的曲线)；（3）再把拉链短的一条的端点固定在点F1处，长的一条的端点固定在点F2处．类似地，笔尖可面出另一条曲线(图中左边的曲线)．情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业

一般地，把平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数(小于|F1F2

|

)的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为双曲线的焦距．拉链是不可伸缩的，笔尖(即点M)在移动过程中，与两个点F1、F2

的距离之差的绝对值始终保特不变．情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业

我们利用椭圆的对称性建立了平面直角坐标系，并推导了椭圆的标准方程．对于双曲线，如何建立适当的坐标系求它的方程呢？情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业

以经过双曲线两焦点F1、F2的直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业设M(x，y)为双曲线上的任一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c，0)、(c，0)．

又设双曲线上的点M与焦点F1

、F2的距离之差的绝对值为2a(a>0)，即|MF1|-|MF2|=2a，则有|MF1|-|MF2|=±2a.

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两边再平方，整理得a4+c²x²=a²x²+a²c²+a²y²，由双曲线定义可知，2c>2a>0，即c>a>0，因此c²-a²>0．令c²-a²=b²得(b>0)，则上式可化为b²x²-a²y²=a²b²

．

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情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业例1.根据条件，求双曲线的标准方程．

（1）焦点在x轴上，焦距为14，双曲线上的一点到两个焦点的距离之差为6；（2）焦点为F1(0，-6)和F2(0，6)，双曲线上一点M的坐标为(2，-5)．

情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业例1.根据条件，求双曲线的标准方程．

（1）焦点在x轴上，焦距为14，双曲线上的一点到两个焦点的距离之差为6；（2）焦点为F1(0，-6)和F2(0，6)，双曲线上一点M的坐标为(2，-5)．

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解:（1）因为含x项的系数为正数，所以双曲线的焦点在x轴上，并且a²=32，b²=4．于是有c²=a²+b²=32+4=36，从而可得c=6，2c=12．所以，双曲线的交点坐标分别为(-6，0)、(6，0)，焦距为12．情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业

情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业温馨提示

要判断双曲线的焦点在哪个坐标轴上，可将双曲线的方程化为标准方程．然后，观察标准方程中含x项与含y项的符号，哪项的符号为正，焦点就在哪个坐标轴上．情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布