江苏省苏锡常镇2024-2025学年高三下学期教学情况调研（一）数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页江苏省苏锡常镇2024-2025学年高三下学期教学情况调研（一）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知i为虚数单位，复数z满足z1+i=2A．2 B．1 C．22 D．2．“1a>1b>A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知平面向量a,b是两个单位向量，a在b上的投影向量为12b，则A．1 B．32 C．2 D．4．已知Sn为等比数列an的前n项和，若a4=4A．5 B．9 C．−9 D．5．已知sinα+β=35，A．−15 B．15 C．26．已知一圆柱内接于半径为1的球，当该圆柱的体积最大时，其高为（

）A．12 B．33 C．237．在空间中，过点A作平面τ的垂线，记垂足B=fτA．设两个不同平面α，β，对任意一点P，M=fαA．α∥β B．α,β的夹角为45° C．α8．我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有1000的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有150A．700 B．800 C．900 D．1000二、多选题9．某中学举行数学史知识竞赛，其中6个小组的比赛成绩分别为：70，85，89，75，96，89，则这组数据的（

）A．极差为26 B．中位数大于平均数 C．方差为472 D．下四分位数为7510．已知函数fx=13xA．直线y=−2B．fxC．fD．若fx在区间a,a+11．已知正方体ABCD−A1B1CA．当x=y,yB．当x=y=z,zC．当x+yD．当x+y+z三、填空题12．请写出一个同时满足以下三个条件的函数fx=①f−x+fx13．已知拋物线C1:x2=4y，C2:x2=−8y14．在一个不透明的袋子中装有4个形状大小相同，颜色互不相同的小球．某人先后两次任意摸取小球（每次至少摸取1个小球），第一次摸取后记下摸到的小球颜色，再将摸到的小球放回袋中；第二次摸取后，也记下摸到的小球颜色．则“两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下”的概率为．四、解答题15．在△ABC中，角A,B(1)求B；(2)若b=13，c=22，D16．在①Sn=n2−已知数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，且对任意正整数(1)求an(2)设bn=an+1Sn⋅17．如图，在四面体ABCD中，AB=BD=2，∠(1)求证：平面ACD⊥(2)已知二面角A−DC−B的大小为30°，当直线BF18．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点A(1)求C的方程；(2)若△APQ的面积为2(3)证明：线段MN19．我们把d=b−a(a<b)称为区间a,b的长度．若函数fx是定义在区间I上的函数，且存在(1)若I=−10,10(2)若gx存在自映射区间a①求m的取值范围；②求证：ab>e2，且答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《江苏省苏锡常镇2024-2025学年高三下学期教学情况调研（一）数学试题》参考答案题号12345678910答案ADBABCDCABDBC题号11答案ACD1．A【分析】根据复数代数形式的除法运算化简z，再计算其模.【详解】因为z1+i所以z=故选：A2．D【分析】依题意由1a>1b>0可得【详解】由1a>1b>0可得所以由1a>1由2a>2所以“1a>1故选：D3．B【分析】根据投影向量定义，结合题意求出a⋅【详解】由题意，a在b上的投影向量为a⋅bb因为a,b是单位向量，即a=则a⋅故选：B.4．A【分析】设等比数列an的公比为q，根据所给条件及等比数列通项公式求出q【详解】设等比数列an的公比为q，显然a由a4=4则q2=4所以S4故选：A5．B【分析】先切化弦，得到sinα【详解】由tanα=2tanβ⇒sin由sinα+β=3由sinαcosβ+cos所以sinα−β故选：B6．C【分析】结合立体图形，由勾股定理得到R2=r【详解】设球半径为R，圆柱的底面半径为r，圆柱的高为h，如图，则有R2=r整理得r2h≤43此时圆柱体积V=πr所以圆柱的体积最大时，h2=4故选：C.7．D【分析】搞清楚题中给出符号的意思，画出草图，可判断平面α,【详解】如图：设fβP=设fαP=因为PM=P所以四边形PE且∠EMF所以α⊥故选：D8．C【分析】根据题意，列出方程，代入计算，即可得到结果.【详解】设一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为x，则楼上食堂用午餐的学生数大约为1500−原本在楼上食堂且留下的学生：占比1−100从楼下食堂转来的学生：楼下食堂人数的1500，即所以x=0.9x所以一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为900.故选：C9．ABD【分析】根据题意，由中位数，平均数以及方差的计算公式代入计算，即可得到结果.【详解】将成绩从小到大排序为：70,极差为96−中位数为85+平均数为16方差为1=1下四分位数位置6×0.25=故选：ABD10．BC【分析】对f(x)【详解】因为fx=13x3−因为f′(x)=x2−2当x<0或x>2时，f′所以f(x)在(−∞所以f(x)在x且f0=f(故fx设切点的坐标为x0,1则x02−直线y=−2因为f0=1=f则a<00故选：BC．11．ACD【分析】以正方体一个顶点及三条棱建立空间直角坐标系，得到点的坐标.A选项由空间向量证明线面平行；B选项由空间向量的夹角公式求得线线角；C选项由空间向量的数量积为0证明线线垂直；D选项由基本不等式求得AP【详解】在正方体ABCD−A1BA0A1∵AP=xA选项：AP=x∴AP⋅BD=又∵BB1⋅BDB选项：设x=y=z=a≠0，则AP则cosα=AP⋅C选项：设x=a，则Pa,1−a,0D选项：AP=x2x2+y2+∴AP故选：ACD.【点睛】方法点睛，本题是立体几何中的动点产生的线线和线面的关系，所以本题建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标关系求得对称结果即可.12．tanx【分析】分析各个条件，写出符合要求的三角函数即可【详解】分析函数的性质，条件①f−x+条件②fx+π=f可考虑三角函数，函数解析式可以为fx故答案为：tanx13．12【分析】根据题意，由抛物线的焦半径公式结合抛物线方程代入计算，即可得到A,【详解】设Ax1,y1，则B可得x12=4y由焦半径公式可得AF1=由AF1=BF2可得所以AF又F10,AB所以四边形AF1F故答案为：1214．32【分析】应用分步乘法原理及分类加法原理结合组合数的运算，最后结合古典概型计算求解.【详解】某人先后两次任意摸取小球，每次至少摸取1个小球，则每次摸球的情况有C4所以先后两次任意摸取小球共有15×两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下的情况有：第一次摸取1个球，第二次摸取4个球，情况共有C4第一次摸取2个球，第二次摸取3个球，情况共有C4第一次摸取3个球，第二次摸取2个球，情况共有C4第一次摸取4个球，第二次摸取1个球，情况共有C4所以两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下的概率为4+故答案为：3222515．(1)B(2)5【分析】（1）根据余弦定理或正弦定理进行边角转化，可求角B.（2）法一：在△ABC中，利用余弦定理，先求边a与cosC，再在法二：利用∠BDC+∠BD法三：在△ABC中，利用余弦定理，先求边a，再利用B【详解】（1）法一：因为2bcosC得：a2+c2−b2法二：因为2b2sinBcos2sinBcos因为sinC>0，所以cosB=（2）在△ABC得：a=法一：cosC在△CBD中，由余弦定理得：B法二：因为∠BDC所以BD所以BD2+法三：因为BD=1BD⃗216．(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）条件①不符合题意.如果选条件②，则可根据an+1=Sn+1−Sn及条件②，得到Sn+1−（2）由已知条件，可求得bn的通项公式，从而得到Tn的表达式，即可证明【详解】（1）对于条件①，当n=1时，如选②：a1Sn+1则Sn则Sn=S当n≥2时，当n=1时，所以an的通项公式为a如选③：因为2Sn=当n=1时，2a当n≥2时，即an−an−则an所以an的通项公式为a（2）因为bnTn因为f(x)所以Tn=1−1(n+1所以3417．(1)证明见解析(2)3【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质，面面垂直的判定推理得证.（2）由（1）可得∠ADB=30【详解】（1）由∠ADC又AD∩BD=D,而BE⊂平面ABD，于是DC⊥BE，由又AD∩CD=D,AD,C所以平面ADC⊥（2）由（1）知，二面角A−CD−B由BE⊥平面ACD，得∠B在Rt△BED中，BD而(sin∠BFE由BE⊥平面ACD，AC⊂平面AC则AC⊥平面BEF，又EF在Rt△AEF中，所以四面体ABEF18．(1)x(2)x(3)证明见解析【分析】（1）由顶点到渐近线距离建立方程解得a,（2）设直线方程，联立方程组得到一元二次方程，设交点坐标，由韦达定理得到根与系数的关系，由三角形面积建立方程得到k的值，从而得到直线方程；（3）设M,N坐标，然后得到直线AM方程，联立方程组得到一元二次方程，由韦达定理得到P点坐标，同理求得Q点坐标.从而得到P【详解】（1）因为C的一条渐近线方程为bxA到渐近线的距离为d=a过B2,1解得：a=所以C的方程为x2（2）显然直线l的斜率存在，设l的方程为y=①②联立得：14则有14−k设Px则x1+x把⑤⑥代入：x2所以S△得：k+14满足③④式，则直线l的方程为x+（3）设M0,m,N联立①⑦得：1−则Δ=4则xP同理：xQ而PB=2又P,B,则2−得：m+所以MN的中点为定点0【点睛】技巧点睛，三角形在直角坐标的面积可以用铅锤高乘水平宽来表示，例如本题中S△APQ=19．(1)5(2)①e,【分析】（1）根据题意，由自映射区间定义结合古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果；（2）①由自映射区间定义，结合函数的单调性，将问题转化为函数至少存在两个零点问题，然后结合导数，代入计算，即可得到结果；②构造函数，利用导数研究函数的单调性，即可证明不等式.【详解】（1）因为f′x=1−若fx存在自映射区间a,b即方程fx=x则x的解集为−3π,−2若d=所以区间的长度d>π的概率为（2）①因为m>0,若gx存在自映射区间a,b即hx因为h′x=x∈m,