2024-2025学年云南省文山州广南十中高三（上）期末数学模拟试卷含解析

第1页（共1页）2024-2025学年云南省文山州广南十中高三（上）期末数学模拟试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B={x|x-2x+1≤0}，则AA．{﹣1，0} B．{﹣1，0，1} C．{0，1} D．{0，1，2}2．（5分）函数f(x)=1-A．[﹣1，1] B．[﹣1，0）∪（0，1] C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）3．（5分）圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣6x+8＝0的位置关系为（）A．外离 B．相交 C．外切 D．内含4．（5分）学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩（单位：分）分别是65，60，75，78，86，84，90，94，则这8名学生成绩的75%分位数是（）A．88分 B．86分 C．85分 D．90分5．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M（2，2）在抛物线上，则|MF|＝（）A．32 B．52 C．36．（5分）把一个高9cm的圆锥形容器装满水，倒进一个与它底面积相等、高度相等的圆柱形容器中，此时水的高度是（）A．4.5cm B．3cm C．27cm D．1cm7．（5分）阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为62π，且在A．x28+yC．x212+8．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为底面ABCD上一点，则PB→A．-12 B．0 C．-二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。（多选）9．（6分）若两直线l1：（a﹣1）x﹣3y﹣2＝0与l2：x﹣（a+1）y+2＝0平行，则实数a的值可以为（）A．3 B．2 C．﹣2 D．1（多选）10．（6分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P，Q分别是棱BC，C1D1的中点，则（）A．B1P⊥BQ B．AP→是平面BB1Q的一个法向量C．C1PD．点Q到平面AB1C的距离为2（多选）11．（6分）如图，造型为“∞”的曲线C称为双纽线，其对称中心为坐标原点O，且曲线C上的点满足：到点F1（﹣2，0）和F2（2，0）的距离之积为定值a．若点P（m，n）在曲线C上，则下列结论正确的是（）A．|m|≤22B．|PO|≤22C．△PF1F2面积的最大值为2 D．△PF1F2周长的最小值为8三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知sin(π2+α)=2sin(π-α)，则13．（5分）若直线3x+y-3=0与圆O：x2+y2＝1相交于A，B两点，则∠AOB14．（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与双曲线C的两支分别交于A，B两点．若AB→四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤15．（13分）已知直线l：（2a+3）x+（1﹣a）y+7+3a＝0，a∈R．（1）求l恒过的定点A的坐标；（2）若l经过点B（0，1），求直线l的方程．16．（15分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（b﹣c）sinC＝（b+a）（sinB﹣sinA）．（1）求角A的大小；（2）若a＝4，D为BC的中点，△ABC的面积为332，求17．（15分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，规定比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）求甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中恰有2人获得优秀奖的概率．18．（17分）如图，底面四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AD＝ED＝2，PA＝3．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）求二面角B﹣PC﹣E的正弦值．19．（17分）定义：一般地，当λ＞0且λ≠1时，我们把方程x2a2+y2b2=λ（a＞b＞0）表示的椭圆Cλ称为椭圆C：x2a2+y（1）求证：椭圆C与椭圆Cλ的离心率相等；（2）若直线l1，l2与椭圆C均有且只有一个公共点，且l1，l2的斜率之积为-14，求证：l1，l2的交点在椭圆C的相似椭圆C（3）若P为椭圆C34上异于左、右顶点M，N的任意一点，直线PM与椭圆C交于A，B两点，直线PN与椭圆C交于D，E两点，求|AB|+|

2024-2025学年云南省文山州广南十中高三（上）期末数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案DBCABBDA二．多选题（共3小题）题号91011答案BCBCABC一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B={x|x-2x+1≤0}，则AA．{﹣1，0} B．{﹣1，0，1} C．{0，1} D．{0，1，2}【分析】先求出集合B，由此利用交集的定义能求出A∩B．【解答】解：由x-2x+1≤0，得﹣1＜x≤2，即B＝{x|﹣1＜又A＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝{0，1，2}．故选：D．2．（5分）函数f(x)=1-A．[﹣1，1] B．[﹣1，0）∪（0，1] C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【分析】列出使函数有意义的不等式组，即可求解．【解答】解：函数f(x)=1-则1-x2≥0x≠0，解得﹣1≤故函数f（x）的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]．故选：B．3．（5分）圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣6x+8＝0的位置关系为（）A．外离 B．相交 C．外切 D．内含【分析】由已知可得两圆的圆心和半径，再根据两圆位置关系的判断直接求解．【解答】解：圆C1：x2+y2＝4的圆心C1（0，0），半径r1＝2，圆C2：x2+y2﹣6x+8＝0，即（x﹣3）2+y2＝1的圆心C2（3，0），半径r2＝1，所以|C1C2|＝3，所以|C1C2|＝|r1+r2|．所以两圆相切．故选：C．4．（5分）学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩（单位：分）分别是65，60，75，78，86，84，90，94，则这8名学生成绩的75%分位数是（）A．88分 B．86分 C．85分 D．90分【分析】先对这8名学生的成绩按从小到大排列，然后用百分位数的定义求解即可．【解答】解：8名学生的成绩从小到大排列为：60，65，75，78，84，86，90，94，因为8×75%＝6，所以75%分位数为第6个数和第7个数的平均数，即12故选：A．5．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M（2，2）在抛物线上，则|MF|＝（）A．32 B．52 C．3【分析】利用点M（2，2）在抛物线上求得p，再利用抛物线的焦半径公式即可得解．【解答】解：将点M（2，2）代入抛物线方程，得22＝2p×2，则p＝1，所以|MF|=2+p故选：B．6．（5分）把一个高9cm的圆锥形容器装满水，倒进一个与它底面积相等、高度相等的圆柱形容器中，此时水的高度是（）A．4.5cm B．3cm C．27cm D．1cm【分析】根据题意建立方程，即可求解．【解答】解：设圆锥和圆柱的底面积为S，圆柱中水的高度为h，则13S×9=Sh，解得所以圆柱中水的高度是3cm．故选：B．7．（5分）阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为62π，且在A．x28+yC．x212+【分析】根据已知条件，结合椭圆的性质，列出方程组，即可求解．【解答】解：某椭圆面积为62π，且在则πab=62π①，2a＝3×2c又a2＝b2+c2③，联立①②③可得，a=3b=2故此椭圆的标准方程为x2故选：D．8．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为底面ABCD上一点，则PB→A．-12 B．0 C．-【分析】由空间向量的坐标可得所求的数量积的表达式，进而可得它的最小值．【解答】解：设点P（x，y，0），x∈[0，1]，y∈[0，1]，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（1，0，0），D1（0，1，1），所以PB→=（1﹣x，﹣y，0），PD1→所以PB→•PD1→=-x（1﹣x）﹣y（1﹣y）＝x2﹣x+y2﹣y＝（x-12）2当x＝y=1所以PB→•PD1故选：A．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。（多选）9．（6分）若两直线l1：（a﹣1）x﹣3y﹣2＝0与l2：x﹣（a+1）y+2＝0平行，则实数a的值可以为（）A．3 B．2 C．﹣2 D．1【分析】由两直线平行的充要条件列方程求解即可，注意检验是否重合．【解答】解：若两直线l1：（a﹣1）x﹣3y﹣2＝0与l2：x﹣（a+1）y+2＝0平行，则﹣（a+1）（a﹣1）﹣（﹣3）×1＝0，解得4﹣a2＝0，∴a＝±2，经检验符合题意．故选：BC．（多选）10．（6分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P，Q分别是棱BC，C1D1的中点，则（）A．B1P⊥BQ B．AP→是平面BB1Q的一个法向量C．C1PD．点Q到平面AB1C的距离为2【分析】根据题意，建立坐标系，求出各个点的坐标，由此分析选项，由空间向量数量积的计算公式分析A，由平面法向量的定义分析B，由空间向量基本定理分析C，由点到平面的距离分析D，综合可得答案．【解答】解：根据题意，如图：建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），D1（0，0，2），P（1，2，0），Q（0，1，2），依次分析选项：对于A，B1P→=（﹣1，0，﹣2），BQ→=（﹣2，﹣1，2），B1P→•BQ对于B，AP→=（﹣1，2，0），BB有AP→•BB1→=0，AP→•B1Q→对于C，C1P→=（1，0，﹣2），有B1D1→=2（C对于D，设平面AB1C的的一个法向量为m→，其坐标为（x，y，zAB1→有AB1→⋅m→=2y+2z=0AC→QB故点Q到平面AB1C的距离d＝|QB1→⋅m→|故选：BC．（多选）11．（6分）如图，造型为“∞”的曲线C称为双纽线，其对称中心为坐标原点O，且曲线C上的点满足：到点F1（﹣2，0）和F2（2，0）的距离之积为定值a．若点P（m，n）在曲线C上，则下列结论正确的是（）A．|m|≤22B．|PO|≤22C．△PF1F2面积的最大值为2 D．△PF1F2周长的最小值为8【分析】根据给定条件，求出曲线C的方程，结合曲线过原点求出a，再结合基本不等式及二次函数逐项求解判断．【解答】解：因为曲线C上的点满足：到点F1（﹣2，0）和F2（2，0）的距离之积为定值a．所以|PF1|•|PF2|＝a，所以(m+2)2根据曲线C过原点O，得a＝4，4=(m+2)当且仅当n＝0时取等号，解得-22≤m≤22，所以|m|≤2[（m+2）2+n2]•[（m﹣2）2+n2]＝16，所以（m2+n2+4）2﹣16m2＝16，所以n2所以|PO|=m2+令m2+1=t，根据|m|≤2那么n2＝4t﹣t2﹣3＝﹣（t﹣2）2+1≤1，当且仅当t＝2时，n2有最大值1，S△PF1|PF1|+|PF2|≥2|PF1所以在三角形PF1F2中，|PF1|≠|PF2|，其周长|PF1|+|PF2|+|F1F2|＞4+4＝8，所以选项D错误．故选：ABC．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知sin(π2+α)=2sin(π-α)，则tan(α-π【分析】由已知结合诱导公式及同角基本关系进行化简可求tanα，然后结合两角差的正切公式即可求解．【解答】解：因为sin(π所以cosα＝2sinα，即tanα=1则tan(α-π故答案为：-113．（5分）若直线3x+y-3=0与圆O：x2+y2＝1相交于A，B两点，则∠AOB＝【分析】根据题意求得|AB|＝1，可得△AOB为等边三角形，即可得结果．【解答】解：圆O：x2+y2＝1的圆心为O（0，0），半径r＝1，则圆心O（0，0）到直线3x+y-3=0可知|AB|=2r2-d2故答案为：π314．（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与双曲线C的两支分别交于A，B两点．若AB→=3BF【分析】画出图形，结合已知条件，求解三角形的边长，通过余弦定理，转化求解离心率即可．【解答】解：双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点FAB→=3BF→1，且|AF|AF1|﹣|AF2|＝2a，|BF2|﹣|BF1|＝2a，|AF1|﹣|BF1|＝4a，所以|AB|＝4a，可得|BF1|=43a，|AF2|＝|BF2|=在△BF1F2中，4c2=169a2+1009a2﹣2•43a•103a可得9c2＝41a2，所以e=41故答案为：413四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤15．（13分）已知直线l：（2a+3）x+（1﹣a）y+7+3a＝0，a∈R．（1）求l恒过的定点A的坐标；（2）若l经过点B（0，1），求直线l的方程．【分析】（1）整理直线方程，得到关于实数x，y的方程组，求解方程组即可；（2）根据直线过点，将点代入直线方程，求出a，得到直线方程．【解答】解：（1）由l：（2a+3）x+（1﹣a）y+7+3a＝0，a∈R可得a（2x﹣y+3）+3x+y+7＝0，由2x-y+3=03x+y+7=0解得x=-2y=-1，所以直线l恒过点（2）若l经过点B（0，1），直线l：（2a+3）x+（1﹣a）y+7+3a＝0，a∈R，所以1﹣a+7+3a＝0，解得a＝﹣4，所以直线l的方程为x﹣y+1＝0．16．（15分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（b﹣c）sinC＝（b+a）（sinB﹣sinA）．（1）求角A的大小；（2）若a＝4，D为BC的中点，△ABC的面积为332，求【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合余弦定理即可求解，（2）根据面积公式可得bc＝6，结合（1）的结论可得b2+c2＝22，进而根据向量的模长即可求解．【解答】解：（1）∵（b﹣c）sinC＝（b+a）（sinB﹣sinA），由正弦定理可得（b﹣c）c＝（b+a）（b﹣a），可得b2﹣a2＝bc﹣c2，即b2+c2﹣a2＝bc，所以cosA=b因为A∈（0，π），所以A=π（2）因为A=π3，a＝4，△ABC的面积为所以bc＝6，由（1）知b2+c2﹣a2＝bc，可得b2+c2＝22，因为2AD→=解得|AD→|2=717．（15分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，规定比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）求甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中恰有2人获得优秀奖的概率．【分析】（1）根据古典概型概率的计算公式直接计算概率；（2）由（1）知，甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率，根据古典概型概率的计算公式，分别计算出乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率，再计算出甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中恰有2人获得优秀奖的概率．【解答】解：（1）已知只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，规定比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将得优秀奖，设事件A为“甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”，因为比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将得优秀奖，甲以往的10次比赛成绩中达到9.50m以上（含9.50m）的有9.80，9.70，9.55，9.54，共4次，所以甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为P(A)=4（2）由（1）知，甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为P(A)=2设事件B为：“乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，乙以往的6次比赛成绩中达到9.50m以上（含9.50m）的有9.78，9.56，9.51，共3次，故P(B)=3事件C为：“丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，丙以往的4次比赛成绩中达到9.50m以上（含9.50m）的有9.85，9.65，共2次，故P(C)=2则甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中恰有2人获得优秀奖的概率为：P=P(ABC=218．（17分）如图，底面四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AD＝ED＝2，PA＝3．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）求二面角B﹣PC﹣E的正弦值．【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面BPC和平面PCE的法向量，再由向量的夹角公式计算即可．【解答】解：（1）证明：因为底面四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因为PA⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，因为AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC；（2）因为PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，所以以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由题可得B（2，0，0），P（0，0，3），C（2，2，0），E（0，2，2），所以BP→=(-2，0，3)，PC→设平面BPC的法向量为n1则BP→⋅n1→=-2x+3z=0PC→⋅设平面PCE的法向量为n2则PC→⋅n2→=2a+2b-3c=0CE→⋅设二面角B﹣PC﹣E