2025年中考数学专题复习：面积等量关系（含解析）

面积等量关系一阶方法突破练1.如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A10,B−30,C2.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别为A(-2,0),B(2,4),C(3,0),若过点C的一条直线平分.△ABC的面积，求出这条直线的解析式.3.如图，抛物线y=−x²+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，其顶点为E，抛物线的对称轴与BC交于点M，在抛物线上是否存在一点Q，使得SQMB二阶设问进阶练例如图，抛物线y=−x²+4x+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点E.(1)在x轴上是否存在点F，使得SAOC(2)如图②，在抛物线上是否存在点H，使得SHAE(3)如图③，在线段BC上方的抛物线上，是否存在点M(不与点D重合)，使得SBCD(4)如图④，是否存在过点A的直线l与线段BD相交且把四边形ABDC的面积分为相等的两部分?若存在，求直线l的解析式；若不存在，请说明理由；(5)如图⑤，若点P为线段BC上方抛物线上一动点(不与B，C重合)，过点P作x轴的垂线交BC于点Q.若线段PQ将△PBC分成面积比为1：3的两部分，求点P的坐标.综合强化练1.如图，已知抛物线y=−x²−2x+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；(2)若点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴下方，将△ABD沿BD翻折得到.△A'BD,恰好落在抛物线的对称轴上，求点A'(3)(面积平分问题)点P为抛物线上一点，且直线BP把四边形ABCP分成面积相等的两部分，求点P的坐标.作图区答题区2.如图，已知抛物线y=−x²+bx+c分别与x，y轴交于A，B两点，直线y=x+3经过点A，B，抛物线的顶点为P.(1)求抛物线的解析式；(2)现将抛物线向右平移mm0)个单位，若平移后的抛物线与(3)(面积倍数问题)在直线AB下方的抛物线上是否存在点Q，使得SABQ作图区答题区

3.如图，抛物线y=ax2+bx−20(1)求抛物线的解析式；(2)若点P在直线AC的下方,当PD=2PE时，求点P的坐标；(3)(面积比例问题)若点P在直线AC的上方，是否存在这样的点P，使得对角线PD将四边形PADC分为面积比为1：3的两部分?若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.作图区答题区考向2面积等量关系一阶方法突破练1.解:∵A(1,0),B(-3,0),C(-2,5),∴AB=4,设点P的坐标为(0，m)(设出动点的坐标)，如解图，则SABP由题意可得S∴2|m|=1∴m=−52或∴点P的坐标为0−52或(0,2.解：如解图，取AB的中点D，作直线CD(三角形的任何一条中线都平分该三角形的面积)，∴△ACD与△BCD是等底等高的两个三角形，则直线CD平分△ABC的面积,∵A(-2,0),B(2,4),∴D(0,2),设直线CD的解析式为y=kx+b,将C(3,0),D(0,2)代入,得b=23k+b=0,解得k=−23.解:存在,∵抛物线y=−x²+2x+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,顶点为E,∴B(3,0),C(0,3),E(1,4),∴直线BC的表达式为y=-x+3,∴M(1,2),EM=2,如解图，设抛物线对称轴与x轴交于点G，过点E与BC平行的直线与抛物线的交点为Q(同底等高的两个三角形面积相等)，此时S设直线EQ的表达式为y=-x+m,将E(1,4)代入,得4=-1+m,解得m=5,∴直线EQ的表达式为y=-x+5,∵直线y=-x+5与抛物线y=−x²+2x+3交于点Q，∴联立y=−x+5y=−x2+2x+3,解得∴点Q的坐标为(2,3),∵EG=4,EM=2,∴GM=EM=2,设过点G与BC平行的直线与抛物线的交点为Q₁，Q₂，此时SQMB则设直线GQ₁(Q₂)的表达式为y=-x+n,将G(1,0)代入,得0=-1+n,解得n=1,∴直线GQ₁(Q₂)的表达式为y=-x+1(求出与直线BC平行的直线解析式).∵直线y=-x+1与抛物线y=−x²+2x+3交于点Q₁,Q₂,∴联立y=−x+1解得x∴综上所述，点Q的坐标为(2，3)或3+172−1−二阶设问进阶练例解:(1)存在,∵抛物线y=−x²+4x+5与x轴交于A，B两点，∴A(-1,0),B(5,0),∵△AOC和△CAF等高,且S∴△CAF的底是△AOC底的2倍,∵△AOC的底为AO=1,∴△CAF的底AF=2,∴当点F在A点左侧时,F(-3,0),当点F在A点右侧时,F(1,0).综上所述,点F的坐标为(-3,0)或(1,0);(2)存在,由题意可知,AE=BE,∵抛物线y=−x²+4x+5与y轴交于点C，∴C(0,5),∵S①当y=3时,−x²+4x+5=3,解得x1=2+6,x2②当y=-3|时,−x²+4x+5=−3,解得.x1=2−23,x2综上所述，点H的坐标为(2+63或2−63或(2-23(3)存在,如解图①，过点D作BC的平行线交抛物线于点M,连接BM,CM,则,S∵D(2,9),B(5,0),C(0,5),∴直线BC的解析式为y=-x+5,∴设直线DM的解析式为y=-x+b,将D(2,9)代入解析式得9=-2+b,解得b=11,∴直线DM的解析式为y=-x+11,∵M是直线DM与抛物线的交点，∴令−x+11=−x²+4x+5,解得x₁=2(舍去),x₂=3,∴M(3,8);(4)存在,∵B(5,0),D(2,9),∴直线BD的解析式为y=-3x+15,设直线l的解析式为y=ax+c，且直线l与直线BD的交点为F(m,n),直线AF即为所求,如解图②,由点坐标易得1×5×1使SABF即1∵F(m,5)在y=-3x+15上,∴5=-3m+15,解得m=∴F将A(-1,0),F(103,5)代入γ=ax+c,解得a=15∴直线l的解析式为y=(5)∵线段PQ将△PBC分成面积比为1:3的两部分，∴SPQcS设点P坐标为(xp,yp),①若SPQCSPQB即xPxB此时点P的坐标为5②若SPQCSPQB即xPxB此时点P的坐标为15综上所述，点P的坐标为5413516三阶综合强化练1.解:(1)A(-3,0),B(1,0);(2)由(1)得,A(-3,0),B(1,0),∴AB=4,抛物线的对称轴为直线x=-1,如解图①，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则点H的坐标为(-1,0),∴AH=BH=2,由翻折的性质得A'B=AB=4,∴在Rt△A'BH中,A∵点D在x轴下方,∴∴∴∠ABA'=60°,由翻折的性质得∠ABD=∠∴DH=BH⋅tan∴点D的坐标为−1(3)【思路点拨】观察发现分割后的两个三角形共底，想到利用高相等，进而作垂线构造全等三角形.如解图②,连接AC,BP交于点Q,过点A作AE⊥BP于点E,过点C作CF⊥BP于点F.连接AP,PC,BC.∵BP平分四边形ABCP的面积，∴∴∴AE=CF,且∠EQA=∠FQC,∠AEQ=∠CFQ=90°,∴△AEQ≌△CFQ(AAS),∴AQ=CQ,∴点Q为线段AC的中点,.∴Q又∵B(1,0),∴直线BQ的解析式为y=−∵点P为直线BQ与抛物线的交点，∴令35x+35∴点P的坐标为−2.解：(1)抛物线的解析式为y=−x²−2x+3;(2)由(1)得y=−x²−2x+3=−x+1∴平移后的抛物线解析式为y=−∵平移后的抛物线与△ABP只有一个公共点，∴平移后的抛物线经过点B，把B(0,3)代入,得3=−解得m₁=2,m₂=0(舍去),∴m的值为2;(3)【思路点拨】设出点Q的坐标，可以先计算出△ABP的面积,由SABQ存在.设点Q的坐标为a分两种情况：①如解图①，当Q在对称轴的左侧，过点P作PD⊥x轴于点D,过点Q作QE∥y轴交直线AB于点E,∴E∵−3∴∴xA−解得a₁=−4,a₂=1(舍去),∴Q(-4,-5);②如解图②，当Q在对称轴右侧，连接BQ，过点P作PD⊥x轴于点D,过点Q作QE∥y轴交直线AB于点E,同理可得Q(1,0).综上所述,点Q的坐标为(-4,-5)或(1,0).3.解：(1)抛物线的解析式为y=(2)∵△ABD为等腰直角三角形,如解图①,过点D作DG⊥x轴于点G,则DG=AG=GB,∴点D的坐标为(-2,-3),过点P作PM⊥x轴交于点M,∴△EPM∽△EDG,∴∵PD=2PE,∴PM=1,∴点P的纵坐标为-1,代入二次函数解析式可得49x2又∵点P在直线AC的下方,∴点P的坐标为−4−3(3)存在,设点P的坐标为m∵A(-5,0),D(-2,-3),C(0,-299可得直线AD的解析式为y=-x-5,直线CD的解析式为y=如解图②,③,过点P作PH⊥x轴,交直线AD