2025年中考数学专题复习：菱形问题（含解析）

菱形问题一阶方法突破练1.在如图所示的正方形网格中，有格点A，B，确定两组格点C，D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，请通过作图找出符合要求的点C，D.2.如图,在平面直角坐标系中,点A(-4,0),B(0,3),点M为x轴上一动点，点N为平面内一动点.若以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形，请求出所有符合条件的点N的坐标.3.如图，抛物线y=−x²+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.若点D是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点E，使得以点A，C，D，E为顶点的四边形是菱形，求点E的坐标.二阶设问进阶练例如图，抛物线y=−2(1)若抛物线上存在一点P，点H是平面内任意一点，使得四边形BPOH是菱形,求点P的坐标;(2)若点D为y轴上一点，K为平面内任意一点，当以B，C，D，K为顶点的四边形是以BC为边的菱形时，求点D的坐标；(3)若点M为抛物线对称轴上一动点，在平面内是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形?·若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如图④，连接AB，交抛物线对称轴于点F，点G为x轴上一动点，在平面内是否存在点Q，使得以A，F，G，Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.(5)如图⑤，将原抛物线向右平移1个单位得到新抛物线，点P是新抛物线的顶点，点K是平面内一点，点H为x轴上一点.是否存在点K，使得以点C，P，H，K为顶点的四边形是菱形?若存在，请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由.三阶综合强化练1.如图，已知抛物线y=x²−2x−3与x轴交于A，D两点，与y轴交于点C，点B为抛物线的顶点.(1)求抛物线的对称轴及点B的坐标；(2)若抛物线上存在一点E，使得SEAD(3)(任意一点+抛物线上的动点)若平面直角坐标系内存在动点P，抛物线上是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.作图区答题区2.如图，抛物线y=ax²+bx+6a≠0(1)求抛物线的解析式；(2)若在线段BC上存在一点M,使得.∠BMO=45°,，求点M的坐标；(3)(y轴上的动点+对称轴上的动点)点P是y轴上一动点，点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.作图区答题区3.如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+ca≠0与x轴交于A，B两点(点B在点A右侧),AB=4,与y轴交于点C，直线y=−(1)求抛物线的解析式；(2)如图②,点P为BC上方抛物线上一点,过点P作.PE‖x轴交直线BC于点E，作PF‖y轴交直线BC于点F,求△PEF周长的最大值；(3)(x轴上的动点+任意一点)在(2)的条件下，若点S是x轴上的动点，点Q为平面内一点，是否存在点S，Q，使得以S，Q，E，F为顶点的四边形是菱形?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.作图区答题区一阶方法突破练1.解：格点C，D的位置如解图所示(答案不唯一).2.解:∵A(-4,0),B(0,3),∴AB=5.①当AB为菱形的边时，a.若AB与AM为邻边,如解图①,以点A为圆心,AB长为半径画圆，交x轴于点M，∵BN∥AM,且BN=AM=AB=5,∴N₁(-5,3),N₂(5,3);b.若AB与BM为邻边,如解图②,以点B为圆心,AB长为半径画圆，交x轴于点M，此时ON₃=OB=3,∴N₃(0,-3);②当AB为菱形的对角线时，如解图③，作AB的垂直平分线交x轴于点M，∵BN₄∥AM₄,设N₄(n,3),∴BM₄=AM₄=BN₄=−n,∴OM₄=4+n,在Rt△BOM₄中,由勾股定理得,n²−4+n²=9,解得综上所述,点N的坐标为(-5,3)或(5,3)或(0,-3)或−3.解:∵抛物线y=−x²+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C,∴A(-1,0),B(3,0),C(0,3),分三种情况讨论：①如解图①，当AD为菱形的对角线时，则AD与CE互相垂直平分，∴E(0,-3);②如解图②③，当CD为菱形的对角线时，则CE=AD=AC=10,∴E103③如解图④,当AC为菱形的对角线时，则CE=AD=CD,设D(d,0),由CD²=AD²,得d²+3²=d+1∴CE=AD=CD=5,∴E(-5,3).综上所述,点E的坐标为(0,-3)或(103或−二阶设问进阶练例解:(1)∵抛物线与x轴交于B,C两点,∴B(-6,0),C(-1,0),∵四边形BPOH是菱形，∴线段OB的垂直平分线与抛物线的交点即为点P.∵OB=6,∴点P的横坐标为-3.将x=-3代入抛物线解析式得y=4.∴点P的坐标为(-3,4);(2)由(1)可知,B(-6,0),C(-1,0),∴BC=5,∵BC为菱形的一边,∴BC=CD.设D(0,n),.∴CD²=1²+n²,则1²+n²=5²,解得n=±2∴点D的坐标为(0,26)或(0,-26);(3)存在.∵抛物线的解析式为y=−2∵−∴设点M的坐标为−①当AB为菱形对角线时，如解图①，连接AB，取AB的中点H，过点H作AB的垂线与抛物线对称轴交于点M₁，过点A作BM₁的平行线，过点B作AM₁的平行线，两平行线交于点N₁，∵A(0,-4),B(-6,0),∴H(-3,-2).AB所在直线的解析式为y=−设M₁N₁所在直线的解析式为y=3将H(-3,-2)代入得d∴M₁N₁所在直线的解析式为y=将x=−72代入，得∵H为M₁N₁的中点,∴N②当AB为菱形的边时，∵A(0,-4),B(-6,0),∴AB²=6²+4²=52.a.如解图②,当AM=AB时,则.AM²=AB²,即−722+m−∴根据平移性质可得N2−b.如解图③,当BM=AB时,则.BM²=AB²,即−72−−62∴根据平移性质可得N45综上所述，点N的坐标为−52−54或(−192,1592)或(4)存在.由(3)得AB所在直线的解析式为y=−2∴F−∵点G在x轴上,∴设点G的坐标为(g,0).①如解图④，当AF为菱形对角线时，设线段AF的中点为I，则I设G₁Q₁所在直线的解析式为y=32x+d2,∴G₁Q₁所在直线的解析式为y=32x−∵点I−∴②当AF为菱形的边时，∵Aa.如解图⑤,当AG=AF时,则AG²=AF²,即g2+−4∴∴根据平移性质可得Q2−b.如解图⑥,当FG=AF时,则FG²=AF²,即−解得g=−∴∴根据平移性质得Q综上所述，点Q的坐标为−13136−173或−61+21673(5)存在.原抛物线向右平移1个单位后，新抛物线的对称轴为直线x=−分以下情况讨论：①如解图⑦,当CH是菱形的对角线时，由菱形的性质得点P与点K₁关于x轴对称，∴②如解图⑦，当CK为菱形的对角线时，由菱形的性质得，CH=PK=CP=7066③如解图⑧，当CP为菱形的对角线时，由菱形性质得，PC垂直且平分HK，∵C∴PC中点的坐标为−∴直线PC的解析式为y=−∴设直线KH的解析式为y=925x+d3,∴直线KH的解析式为y=∵PK∥HC,∴点K的纵坐标为256,代入直线KH,得x=109综上所述，点K的坐标为−52−256或7066−5三阶综合强化练1.解:(1)B(1,-4);(2)【思路点拨】由题意知,△EAD与△CAD有公共底AD，若想使两三角形面积相等，则高相等即可，设出点E的坐标，由高相等，列方程求解即可.如解图①，设E∵点C为抛物线与y轴的交点,∴C(0,-3),∵△EAD与△CAD有共同的底边AD,且S∴点E到x轴的距离等于点C到x轴的距离，∴|x²−2x−3|=3,解得x∴∴点E的坐标为(2,-3)或(0,-3)或(7+13或(3)【思路点拨】因为AC为菱形的对角线，由菱形对角线互相垂直且平分的性质，可知菱形对角线过点O，可求出菱形另一条对角线所在的直线解析式，将其与抛物线解析式联立求解即可.存在，如解图②，∵四边形是以AC为对角线的菱形，由菱形对角线互相垂直平分的性质，作AC的垂直平分线交抛物线于点Q₁，Q₂，令x²−2x−3=0,得x₁=−1,x₂=3,∴A(3,0),∴OA=OC=3,∴AC的垂直平分线过点O，设AC的中点为点F，∴F3联立y=解得x=13+12∴2.解：(1)抛物线的解析式为y=−2x²+4x+6;(2)【思路点拨】可作MN⊥y轴,OH⊥OM交CB的延长线于点H,作HK⊥y轴,构造△OMN≌△HOK,得到对应边相等，求得点M的坐标.由(1)得,点C(0,6),∵直线BC经过点B(3,0),C(0,6),∴直线BC的解析式为y=-2x+6,设点M的坐标为(m,-2m+6)(0<m<3),如解图①,过点M作MN⊥y轴于点N,过点O作OH⊥OM交CB的延长线于点H,过点H作HK⊥y轴于点K,则∠MNO=∠MOH=∠HKO=90°,∵∠OMB=45°,∴OM=OH.易知∠MON=∠OHK,∴△OMN≌△HOK(AAS),∴MN=OK,ON=HK.∴H(-2m+6,-m),∴-2(-2m+6)+6=-m,解得m=∴点M的坐标为6(3)存在.易知,点D的坐标为(1,8),∵以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形，∴分两种情况讨论：①当CD为菱形的边时，如解图②，∵C(0,6),D(1,8),.∴CD=∴DQ=CD=∴点Q的坐标为(18−5或②当CD为菱形对角线时，如解图③，设点Q(1,m),P(0,n),∵C(0,6),D(1,8),∴m+n=6+8=14,∴n=14-m,∴P(0,14-m),∴PC=14-m-6=8-m,∵CQ=∴8−m=12+∴点Q的坐标为1综上所述，点Q的坐标为(18−5或18+3.解：(1)抛物线的解析式为y=−(2)【思路点拨】设出点P的坐标，由平行线的性质得到点E的横坐标，通过函数解析式得到点E，F的坐标，表示出PE，PF的长，由勾股定理得到EF的长，进而表示出三角形的周长，利用二次函数的性质即可求得△PEF周长的最大值.设点P的坐标为(m,−∵PE∥x轴,PF∥y轴,∴−23m∴E∴PE=m−PF=−∴EF=====∵0<m<3,∴EF=∴=−∴−∴当m=32时,C△PEF存在最大值,最大值为【一题多解】设点P的坐标为m−23m2+43m+2(0<m<3),∵PF∥y轴,∴Fm−∵−5+133<0,.当(3)存在.由(2)知,m=∴E分以下三种情况：①线段EF为菱形的边,且EF与ES为邻边,如解图①，以点E为圆心，EF长为半径作圆，交x轴于点S₁,S₂,连接ES₁,ES₂,过点S₁,S₂作EF的平行线,过点F作ES₁，ES₂的平行线，两平行线分别交于点Q₁，Q设点S坐标为(s,0),∴ES=解得s∴∵四边形EFQS为菱形，点F可由点E向右平移94个单位长度，再向下平移3∴点Q可由点S向右平移94个单位长度，再向下平移3∴②线段EF为菱形的边，且EF与FS为邻边，如解图②，以点F为圆心，FE长为半径作圆，交x轴于点S₃，S₄,连接FS₃,FS₄,过点S₃,S₄作EF的平行线,过点E作FS₃,FS₄的平行线,两平行线分别交于点Q₃,Q₄,∴EF=F同①可得S∵四边形EFSQ为菱形，点E可由点F向左平移94个单位长度，再向上平移3∴点Q可由点S向左平移94个单位长度，再向上平移3∴③线段EF为菱形的对角线，如解图③