2025年中考数学专题复习：二次函数求整点个数专项练习（含解析）

二次函数求整点个数专项练习方法突破练1.在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.求直线y=−x+4与坐标轴围成的区域内(不包括边界)整点的个数.2.在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知抛物线y=x²+2x,当−8≤x≤8时，求抛物线上整点的个数.3.在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知抛物线y=x²−2,将该抛物线与x轴围成的区域(含边界)记作W，求区域W内整点的个数.4.在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，把直线y=x与抛物线y=x²−x−3围成的封闭区域(不包含边界)记作W，求区域W内整点的个数.5.在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.把双曲线y=2x与抛物线设问进阶练例在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x²−4x+3.我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.(1)将该抛物线与直线y=x+1l所围成的封闭区域(不含边界)记为W₁,求W₁内整点的个数；(2)将抛物线沿x轴翻折得到新的抛物线y₁，将原抛物线与新y₁,抛物线围成的封闭区域(包含边界)记为W₂,求W₂内整点的个数；(3)创新题·抛物线平移求整点将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到一个新抛物线y₂.将y₂.新抛物线y₂与双曲线y₂y=3x,直线y=3x≤1)围成的封闭区域(不含边界)记为W₃,综合强化练1.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A−1(1)求抛物线的解析式及点B的坐标；(2)设点M(x,y)为抛物线上一点,当−3≤x≤8时,m≤y≤n,求代数式n-m的值；n−m(3)(三种图象围成的区域)我们把横、纵坐标都是整数的点记为整点，抛物线与直线y=x的上方部分和反比例函数y=1作图区答题区2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线(C₁的解析式为y=x(1)求抛物线(C₁与x轴围成的封闭区域(包含边界)内整点的个数；(2)(两条抛物线围成的区域)若抛物线C₁关于原点对称的抛物线为(C₂.①求抛物线(C₂的函数表达式；②直线y=−1分别与C₁,C₂围成两个封闭的区域W和G，求封闭区域W和G(不含边界)内整点个数的比.作图区答题区一阶方法突破练1.解:令x=0,得y=4,令y=0,得x=4,∴直线y=-x+4与坐标轴围成的区域内(不包括边界)整点的个数,即为0<x<4的范围内,直线y=-x+4下方的整点个数，易知当x=1时，y=3，∴横坐标为1的整点(不包括边界)有2个，同理横坐标为2的整点(不包括边界)有1个，横坐标为3的整点(不包括边界)没有，∴直线与坐标轴围成的区域内(不包括边界)共有3个整点.2.解：∵横、纵坐标都是整数的点叫做整点，∴当x=1时,y=3,当x=2时,y=8,…,即当x取整数时，y都为整数，∴当-8≤x≤8时，抛物线上的整点有8-(-8)+1=17个.3.解：∵抛物线的解析式为y=x²−2,令γ=0,解得x₁=2如解图，当−2在区域W内部有(0，-1)一个整点；在抛物线上有(-1,-1),(0,-2),(1,-1)三个整点.∴区域W内(含边界)整点的个数为7个.4.解:联立y=xy=x2−x−3,解得x(0,-1),(1,0),(1,-1),(1,-2),(2,0),(2,1)共7个整点,∴区域W内(不包含边界)整点的个数为7个.5.解：如解图，画出双曲线y=2x与抛物线二阶设问进阶练例解：(1)画出抛物线y=x²−4x+3与直线y=x+1如解图①所示，此时,W₁内(不含边界)的整点有(1,1),(2,0),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,4)共8个;(2)抛物线y=x²−4x+3沿x轴翻折得到新的抛物线y₁=−x²+4x−3,画出抛物线y与抛物线y₁如解图②所示，两抛物线交点为(1,0),(3,0),此时,W₂内(包含边界)的整点有(1,0),(2,-1),(2,0),(2,1),(3,0)共5个;(3)抛物线y=x²−4x+3向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到新抛物线y₂=x−1²−3,画出新抛物线y₂与双曲线此时,W₃内(不含边界)的整点为(-1,2),(0,2),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,-2),(1,-1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,1),(2,0),(2,-1)共13个.三阶综合强化练1.解:(1)∵抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A(-1,0),B两点,且经过点C(1,4),∴将A，C两点的坐标代入，得a−b+3=0a+b+3=4,解得∴抛物线的解析式为y=−x²+2x+3,令y=0,解得x=-1或x=3,∴点B的坐标为(3,0);(2)由(1)知抛物线的解析式为y=−x²+2x+3,∴抛物线的对称轴为直线x=1,-1<0,∵点M(x,y)为抛物线上一点,当-3≤x≤8时,m≤y≤n,∴当x=1时,y取得最大值,∴n=4,∵|8-1|>|1-(-3)|,∴当x=8时,y取得最小值,∴m=-45,∴n-m=49;(3)如解图，画出抛物线y=−x²+2x+3与直线y=x，反比例函数y=1∴抛物线与直线y=x的上方部分和反比例函数y=12.解:(1)如解图①,画出函数y=x(2)①∵抛物线C₂与抛物线C₁关于原点对称,∴抛物线C₂的函数表达式为y=−②如解图②,画出抛物线C₁,C₂及直线y=-1,由解图可知区域W