第1章绪论2010教材课程

非线性系统NonlinearSystemsAnalysis北京理工大学自动化学院非线性系统NonlinearSystemsAnalysis学时：36学分：2开课教师：姚小兰联系电话：68912467－601EMAIL:yaoxiaolan@讲义：《非线性控制理论基础》第一章绪论3学时第二章相平面分析3学时第三章稳定性理论基础6学时第四章非线性系统的线性化方法6学时非线性控制理论应用（讨论）3学时第五章变结构控制6学时第六章混沌与分岔3学时第七章自适应控制2学时第八章非线性系统的H∞控制1学时非线性控制理论应用（讨论）3学时根据实际情况，各章所用学时会稍微有所调整。主要内容及学时安排[1]高为炳.非线性控制系统导论（第2版），科学出版社，1991.TP273/127

[2]冯纯伯,费树岷.非线性控制系统分析与设计（第2版），电子工业出版社，1998.TP273/163

[3]J．-J．E．斯洛廷李卫平著．应用非线性控制．国防工业出版社，1992.蔡自兴罗公亮桂卫华等译TP273/553

[4]贺昱曜,闫茂德．菲线性控制理论及应用．西安电子科技大学出版社，2007.TP273/619[5]刘小河.非线性系统分析与控制引论.清华大学出版社,2008.TP271/109

[6]H.K.Khalil.NonlinearSystems.MacmillanPublishingCompany,1992.TP271/X44=3

参考书目一、控制理论所研究的控制系统的问题：简单地讲就是系统的输入、输出问题。1、给定输入时系统的输出怎样变化？

这属于系统分析问题。2、怎样使系统的输出按照希望的方式运动？

该问题称为系统的综合问题。

第一章绪论二、控制系统的分类对于一个实际的控制系统，不论是进行分析还是进行设计，首先一项任务就是要求出受控对象的物理模型和数学模型。如：光、电、磁、力、热等的传导，及刚体、弹性体、液体和气体的运动。描述这些物理运动规律的基本定律，大部分都可以用微分方程、积分方程、代数方程和差微分方程等型式来描述。

第一章绪论描述系统的数学模型不仅应该是从本质上完全反映了一个实际系统的性质和特点，而且还从根本上确定了解决系统工程问题的途径和方法。因此按描述系统的数学模型在数学上的分类，来对控制系统进行分类是合理的。按着这种分类方法，首先将控制系统分为线性与非线性两大类，见下图1第一章绪论第一章绪论三、研究非线性控制理论的原因

严格来说，理想的线性系统是不存在的，总会有一些非线性因素。非线性控制理论研究的是非线性控制系统的分析与设计问题。非线性系统的形式和种类繁多，在构成控制系统的环节中，有一个或一个以上的环节具有非线性特性时，这种控制系统就属于非线性控制系统。主要原因包括：

第一章绪论1、实际控制问题所面临的被控对象通常是非线性的当工作点、工作环境和工作范围发生变化时，线性模型通常难以准确地描述实际系统的真实运动状态。2、一些典型非线性环节（如：饱和非线性、死区非线性和间隙非线性等）是难以用线性模型表述的

而这些典型非线性环节又是常见和不可回避的。

第一章绪论3、即使在线性模型可以较好描述实际对象运动状态的情况下，对性能指标有较高要求（如最优控制等）时，也会导致非线性控制律的产生。

这必然使整个控制系统（含控制器）是非线性的。

4、设计的简便性问题

好的非线性控制设计可能要比线性控制设计简单又直观。变阻尼控制和“bang-bang”控制便是典型的例子。

第一章绪论四、控制系统中的典型非线性特性

1、饱和非线性特性

右下图是饱和非线性的静特性。图中x(t)为非线性环节的输入信号，y(t)为非线性环节的输出信号。其数学表达式为式中，K为线性区的斜率，为线性区的宽度，signe(t)为开关函数。

第一章绪论

饱和非线性可以由磁饱和、放大器输出饱和、功率限制等引起。一般情况下，系统因存在饱和特性的元件，当输入信号超过线性区时，系统的开环增益会有大幅度地减小，从而导致系统过渡过程时间的增加和稳态误差的加大。但在某些自动控制系统中饱和特性能够起到抑制系统振荡的作用。因为在暂态过程中，当偏差信号增大进入饱和区时，系统的开环放大系数下降，从而抑制了系统振荡。第一章绪论

2、不灵敏区(死区)非线性特性

死区非线性特性如下图：其数学表达式为：式中，为死区宽度，K为死区的斜率。第一章绪论具有不灵敏区的饱和特性死区特性常见于测量、放大或传动藕合部件的间隙中。该特性的存在对系统产生的影响有：（1）降低了系统的稳态准确度，使稳态误差不可能小于死区值。（2）对系统暂态性能影响的利弊与系统的结构和参数有关，如某些系统，由于死区特性的存在，可以抑制系统的振荡；而对另一些系统，死区又能导致系统产生自振荡。（3）死区能滤去从输入引入的小幅值干扰信号，提高系统抗干扰能力。一些场合，为提高系统的抗干扰能力，有时要故意引入或增大死区。（4）由于死区存在有时会引起系统在输出端的滞后。

第一章绪论

3、回环（间隙）非线性特性回环特性又称为环（间隙）特性。该特性如下图所示。其数学表达式为：式中，b为间隙宽度，K为输出特性的斜率，为常数。第一章绪论机械传动中的齿轮间隙是典型的回环特性。回环特性的存在，会使系统稳态误差增大，相位滞后增大，系统暂态特性变坏，甚至使系统不稳定或产生自振荡，因此应消除或减弱它的影响。第一章绪论

4、继电器型非线性特性下图给出了几种型式的继电器特性

第一章绪论兼有死区和回环的继电器特性是理想继电器特性回环继电器特性死区继电器特性一般继电器总有一定的吸合电压值，所以特性必然出现死区和回环，实际的非线性继电特性如图a所示）

继电器型非线性特性数学表达式为：a为吸合电压值，m为释放电压值，b为继电器的饱和输出。

第一章绪论

5、变放大系数非线性特性

该特性如右图所示。其数学表达式为：式中K1、K2为输出特性的斜率，a为切换点。该特性表示，当输入信号幅值不同时，元件的放大系数也不同。从而使系统在大误差时具有较大的放大系数，系统的响应迅速；而在小误差时，系统具有较小的放大系数，从而系统的响应缓而稳。具有该非线性的系统，其动态品质较好。

第一章绪论y

(t)e(t)0

五、非线性系统的特性非线性控制系统可以分为固有非线性和外加非线性两种。

固有非线性主要指被控对象的自有非线性，一般具有不良的作用。外加非线性指人为引入的非线性，一般反映在控制器上，用来改善系统的性能或降低系统的成本。

第一章绪论

从模型结构来讲，根据非线性控制系统所含非线性的不同，系统可以分为如下四种情况：第一章绪论对象控制器系统类型1）线性线性线性系统2）线性非线性非线性系统3）非线性线性4）非线性非线性同线性系统相比较，非线性系统有许多独特的性质。1、不满足叠加性原理不满足叠加性是非线性系统与线性系统的根本区别。

由于不满足叠加性，Laplace变换及在线性定常系统分析与设计中得到成功应用的传递函数方法在非线性系统分析与设计中不再能够使用。

由于线性系统的运动特征与输入的幅值、系统的初始状态无关，故通常是在典型输入函数和零初始条件下进行研究的。然而，在非线性系统中，由于叠加原理不成立，不能应用上述方法。

第一章绪论2、对正弦输入信号的响应

在线性系统中，当输入是正弦信号时，系统的稳态输出是相同频率的正弦信号。系统的稳态输出和输入仅在幅值和相角上不相同。利用这一特性，可以引入频率特性的概念来描述系统的动态特性。

非线性系统对正弦输入信号的响应比较复杂，其稳态输出除了包含与输入频率相同的信号外，还可能有与输入频率成数倍的高次谐波分量(倍频振荡与分频振荡)、跳跃谐振和多值响应、频率捕捉现象。因此，频率法不能适用于非线性系统。第一章绪论3、稳定性问题

线性控制系统只能有一个平衡点或无穷多的平衡点。但非线性系统可以有一个、二个、多个、以至无穷多个平衡点。

线性系统若稳定，则它无论受到多大的扰动，扰动消失后系统一定会回到惟一的平衡点（原点）。而非线性系统的平衡点可能不止一个，因此不存在系统是否稳定的笼统概念，一个非线性系统在某些平衡状态可能是稳定的，在另外一些平衡状态却可能是不稳定的。第一章绪论非线性系统与线性定常系统明显不同，其稳定性是针对各个平衡点而言的。通常不能说系统的稳定性如何，而应说那个平衡点是稳定的或不稳定的。在线性系统中，系统的稳定性只与系统的结构和参数有关，而与外作用及初始条件无关。非线性系统的稳定性除了与系统的结构和参数有关外，还与外作用及初始条件有关。第一章绪论4、极限环(Limitcycles)（自激振荡）

非线性系统能在没有外部激励时产生具有固定振幅和固定周期的振荡。这种震荡叫做极限环或自激振荡。线性系统只有两种基本的暂态响应模式：收敛和发散。当系统处于稳定的临界状态时，才会产生等幅振荡。然而，线性系统的等幅振荡是暂时性的，只要系统中的参数稍有微小的变化，系统就有临界稳定状态趋于发散或收敛。

第一章绪论但在非线性控制系统中，即使没有外加的输入信号，系统自身也可产生一个有一定频率和幅值的稳定振荡，称为自激振荡（自持振荡）。自激振荡是非线性控制系统的特有运动模式，它的振幅和频率由系统本身的特性所决定。极限环的振幅和周期是和初始条件和输入无关的。也不易受系统参数变化的影响。这同临界稳定线性定常系统的振荡明显不同。

第一章绪论六、非线性控制系统的分析研究方法由于非线性控制系统与线性控制系统有很大的差异，因此，不能直接用线性理论去分析它，否则会导致错误的结论。对非线性控制系统的分析，还没有一种象线性控制系统那么普遍的分析、设计方法。目前分析非线性控制系统的常用方法如下：第一章绪论精确求解方法求解非线性微分方程非常困难，即使能求得解析解，其解的形式大多数也是一种级数型式。所以在工程实际中很少能够采用这种精确的求解方法。模拟仿真、实验方法通过模拟仿真、实验等手段，测试系统的各种性能指标。但费用昂贵，方案不易改变，有些模拟由于受到各种客观条件限制，而难以实现。因此，建立一种判断系统稳定性的准则，要比求出解析解简单。这也是我们研究非线性系统所关心的主要问题。第一章绪论1、线性化方法采用线性化模型来近似分析非线性系统。这种近似一般只限于在工作点附近的小信号情况下才是正确的。这种线性化近似，只是对具有若非线性（或称非本质非线性）的系统。常用线性化方法，有正切近似法和最小二乘法。分段线性化方法：对一些物理系统的非线性特性比较显著，甚至在工作点附件的小范围内也是非线性的，并且不能用一条简单的直线来代表整个非线性系统特性的系统，可采用分段线性化方法。对于系统的非线性更加复杂和显著的，可采用下面方法。第一章绪论2、相平面法是一种基于时域的分析方法，是一种用图解法求解一、二阶非线性常微分方程的方法。根据绘制出的相轨迹图，去研究非线性系统的稳定性和动态性能。这种方法只适用于一、二阶系统和由阶跃或斜坡输入信号激励的情况。第一章绪论3、描述函数法又称为谐波线性化法是一种基于频率域的分析方法，是一种工程近似方法。在一定的条件下，用非线性元件输出的基波信号代替在正弦作用下的非正弦输出，使非线性元件近似于一个线性元件，从而可以应用乃奎斯特稳定判据对系统的稳定性进行判别。这种方法主要用于研究非线性系统的稳定性和自振荡问题。如系统产生自振荡，如何求出其振荡的频率和幅值，以及寻求消除自振荡的方法等。但不能直接给出有关暂态响应方面的可靠信息。

第一章绪论4、李雅普诺夫法是一种对线性系统和非线性系统都适用的方法。根据非线性系统动态方程的特征，用相关的方法求出李雅普诺夫函数V(x)，然后根据V(x)和的性质去判别非线性系统的稳定性。5、波波夫法…..等第一章绪论第一章绪论七、时间安排

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