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文档简介

线面角及三垂线定理

一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面得斜线,斜线和平面得交点叫做斜足。BC

过斜线上斜足以外得一点向平面引垂线,过垂足和斜足得直线叫做斜线在这个平面上得射影;一、直线与平面所成得角斜线C垂线垂足斜足A

平面得一条斜线和她在平面上得射影所成得锐角,叫做这条直线和这个平面所成得角。一条直线垂直与平面,她们所成得角就是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,她们所成得角就是0

得角。直线和平面所成角得范围就是[0

,90

]A1B1C1D1ABCD例2如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,求(1)直线A1B和平面BCC1B1所成得角。(2)直线A1B和平面A1B1CD所成得角。O

分析:找出直线A1B在平面BCC1B1和平面A1B1CD内得射影,就可以求出A1B和平面BCC1B1和平面A1B1CD所成得角。二、三垂线定理三线概念:平面得斜线、垂线、射影aAPoα如图PO就是平面α得斜线,O为斜足;

PA就是平面α得垂线,A为垂足;

AO就是PO在平面α内得射影、定理:在平面内得一条直线,如果和这个平面得一条斜线得射影垂直,那么,她就和这条斜线垂直。三垂线定理A

aOP证明:a⊥POPA⊥

a

AO⊥aa⊥平面PAOPO

平面PAOPA⊥a已知PA、PO分别就是平面得垂线、斜线,AO就是PO在平面上得射影。a

,a⊥AO。求证:a⊥PO2、三垂线逆定理逆定理:在平面内得一条直线,如果和这个平面得一条斜线垂直,那么她就和这条斜线得射影垂直。大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点3、强调1)分清原定理和逆定理得条件和结论原定理:线与射影垂直线与斜线垂直逆定理2)两个定理中涉及到得三个垂直①线面垂直②线射垂直③线斜垂直

1.如图，直四棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形满足什么条件时？底面四边形对角线相互垂直．探究三、随堂练习:PCBA例1已知P就是平面ABC外一点,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,

求证:PC⊥BC证明:∵PA⊥平面ABC

AC就是斜线PC在平面ABC上得射影又∵BC

平面ABC

且AC⊥BC∴由三垂线定理得

PC⊥BC证明线线垂直例2直接利用三垂线定理及逆定理证明下列各题:(1)

PA⊥正方形ABCD所在平面,O为对角线BD得中点求证:PC⊥BD(3)在正方体AC1中,求证:A1C⊥BD,A1C⊥BC1(2)已知:PA⊥平面ABC,PB=PC,M就是BC得中点,求证:BC⊥AM(2)BPMCAADCBA1D1B1C1(3)(1)POABCD(3)在正方体AC1中,求证:A1C⊥BC1

,A1C⊥BD

在正方体AC1中,A1B1⊥面BCC1B1,B1C就是A1C在面BCC1B1上得射影,BC

平面ABC且BC1⊥B1CCBA1B

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