陕西省西安市西光中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

西安市西光中学2024—2025学年度第二学期月考考试高一年级数学试题（考试时间：120分钟试卷满分150分）一、单选题（每小题5分，共40分）1.已知复数（i为虚数单位）的共轭复数为，则（）A. B. C. D.2.在中，，，，则（）A. B. C. D.3.在长方形中，已知，，，则的值是（）A. B.22 C.13 D.4.已知是圆O的直径，点A是圆O上异于B、C的点，且，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.5.中，分别是所对的边，若，则此三角形是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形6.复数的虚部为（）A B. C.1 D.i7.如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°（B、D、E在同一水平面上），山顶C的仰角为60°，，则两山顶A，C之间的距离为（）A. B. C. D.8.如图，中，，，.在所在的平面内，有一个边长为1的正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题（每小题6分，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．共18分）9.设点O是平行四边形ABCD对角线的交点，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.与共线10.已知单位向量共面，则下列说法中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则11.已知向量，，则下列命题正确是（）A.若，则B.若在上的投影向量的模为，则向量与的夹角为C.存在，使得D.的最大值为三、填空题（每小题5分，共15分）12.已知复数，其中i为虚数单位，若z，在夏平面上对应点分别为M，N，则线段MN长度为________．13.已知与为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是____________．14.已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，若的边BC的中点为D，则中线AD的长度的取值范围为________四、解答题（共77分）15.计算下列各题．（1）；（2）.16.已知向量.（1）若，求实数；（2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围.17.在中，的对边分别为，已知.（1）求；（2）已知点在线段上，且，求长.18.在路边安装路灯，灯柱与地面垂直(满足)，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽.设灯柱高，.（1）当时，求四边形面积；（2）求灯柱的高(用表示)；（3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值.19.如图，在中，，，点为和的交点，设，．（1）设，求，的值；（2）若，，，求；（3）若在上，，且，求的取值范围．

西安市西光中学2024—2025学年度第二学期月考考试高一年级数学试题（考试时间：120分钟试卷满分150分）一、单选题（每小题5分，共40分）1.已知复数（i为虚数单位）的共轭复数为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先得到，从而利用复数乘法法则计算出答案.【详解】由题意得：，故.故选：C2.在中，，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理可得，即可利用余弦定理求解.【详解】由正弦定理可得因为，所以，，由余弦定理可得．故选：C3.在长方形中，已知，，，则的值是（）A. B.22 C.13 D.【答案】C【解析】【分析】将目标向量用基底表达，利用数量积的运算律即可求得结果.【详解】因为，，故.故选：C.4.已知是圆O的直径，点A是圆O上异于B、C的点，且，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作于，得出向量在向量上的投影向量为，然后由直角三角形的性质求得，从而可得结论．【详解】如图，由题意，又，所以，是三角形内角，因此，所以，作于，则，即，所以向量在向量上投影向量为，故选：A．5.中，分别是所对的边，若，则此三角形是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】由正弦定理化边为角，后由二倍角公式变形，再结合正弦函数性质可得．【详解】因，所以由正弦定理可得，即，是的内角，所以或，所以或，即是等腰三角形或直角三角形，故选：D．6.复数的虚部为（）A. B. C.1 D.i【答案】C【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的乘方化简复数，从而得到其虚部.【详解】因，又，，，所以，所以，所以的虚部为.故选：C.7.如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°（B、D、E在同一水平面上），山顶C的仰角为60°，，则两山顶A，C之间的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，在和中分别求出AE，CE，再利用余弦定理计算作答.【详解】在中，，，则，在中，，，则，在，由余弦定理得：，即，解得，所以两山顶A，C之间的距离为．故选：B8.如图，中，，，.在所在的平面内，有一个边长为1的正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由余弦定理求得，由正方形的边长为，求得，利用向量的数量积的公式，化简得到，结合，即可求解.【详解】在中，，，，由余弦定理得，所以，又由正方形的边长为，可得，则，正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），可得，所以，即的取值范围是.故选：A.二、多选题（每小题6分，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．共18分）9.设点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.与共线【答案】AD【解析】【分析】根据给定条件，利用共线向量、相等向量的意义逐项判断作答.【详解】因点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则O是AC中点，即有，A正确；平行四边形对角线长不一定相等，则与不一定相等，B不正确；点A，O，B不共线，C不正确；平行四边形ABCD中，，即有与共线，D正确.故选：AD10.已知单位向量共面，则下列说法中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BD【解析】【分析】根据题意，结合向量的运算法则，以及向量的夹角公式，逐项判定，即可求解.【详解】由，可得，即，可得，所以，所以A不正确，B正确；因为向量为单位向量，可得，又由，可得，则，即，可得，所以，因为，所以，所以C错误；由，可得，则，可得，所以，因为，所以，所以D正确.故选：BD.11.已知向量，，则下列命题正确的是（）A.若，则B.若在上的投影向量的模为，则向量与的夹角为C.存在，使得D.的最大值为【答案】AD【解析】【分析】若，可求得,即，从而可得的值，故A正确；若在上的投影模为，且，则或，故B不正确；对化简运算即可计算得当向量与的夹角为时，结合角的范围可判断C；可得的最大值为，故D正确.【详解】若，则，则，可知，再由，解得，故A正确；若在上的投影向量的模为，且，则或，故B不正确；若，若，则，即，此时，但，所以不成立，C错误；，因为，则当时，的最大值为，故D正确，故选:AD.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算和应用，考查数量积的运算律，意在考查学生对这些知识的理解与掌握水平，属于较难题.三、填空题（每小题5分，共15分）12.已知复数，其中i为虚数单位，若z，在夏平面上对应的点分别为M，N，则线段MN长度为________．【答案】【解析】【分析】根据复数的几何意义，写出点，再根据两点间距离公式，即可求解.【详解】，则，，则，所以线段的长度.故答案为：13.已知与为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】根据数量积大于0可得，当时，，即可求解锐角时的范围.【详解】与为互相垂直的单位向量，，，，与的夹角为锐角，，，，，当时，则，故，与的夹角为锐角时，则的取值范围是故答案为：14.已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，若的边BC的中点为D，则中线AD的长度的取值范围为________【答案】【解析】【分析】先求得角A的值，再利用向量得AD表达式,结合余弦定理以及正弦定理求得范围，即得结果，解法二利用数形结合去求中线AD的长度的取值范围【详解】因为，所以，所以所以，又，所以解法一：因为锐角，所以解法二：锐角的外接圆中，弦BC对应劣弧所对圆周角为，点A在弦BC对应的优弧上如图，当为时，不妨设，此时，当顶点A在处时，为等边三角形，AD过圆心.则．所以AD的长度的取值范围为．故答案为：四、解答题（共77分）15.计算下列各题．（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据复数乘法和乘方运算即可得；（2）将三个复数依次相乘再进行加减运算可得.【小问1详解】【小问2详解】16已知向量.（1）若，求实数；（2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根据向量坐标运算得，结合，求得实数；（2）根据向量与所成角为锐角，，解得.结合时，可得实数的范围.【小问1详解】，，解得【小问2详解】由（1）知，，向量与所成角为锐角，，解得.又当时，，可得实数的范围为.17.在中，的对边分别为，已知.（1）求；（2）已知点在线段上，且，求长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理角化边即可得解.（2）由（1）的结论，利用余弦定理、正弦定理求解即得.【小问1详解】在中，由及余弦定理，得，即，而，所以.【小问2详解】由（1）知，由余弦定理得，为三角形内角，则，而，于是，在中，由正弦定理得，所以.18.在路边安装路灯，灯柱与地面垂直(满足)，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽.设灯柱高，.（1）当时，求四边形的面积；（2）求灯柱的高(用表示)；（3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）；.【解析】【分析】（1）计算，，得为正三角形，分别求出和的面积，相加即可得出结论；（2）计算，根据正弦定理得到，，得到答案；（3）根据正弦定理得到，，根据计算得到答案.【详解】（1），，，又，，又，所以为正三角形，则，在中，因为，所以，故四边形的面积；（2）因为，，所以，又因为灯柱与地面垂直，即，所以，因为，所以，在中，因为，所以，在中，因为，所以.（3）在中，因为，所以，则，因为，所以，所以当时，.【点睛】本题主要考查解三角形在实际生活中的应用.属于中档题.19.如图，在中，，，点为和的交点，设，．（1）设，求，的值；（2）若，，，求；（3）若在上，，且，求的取值范围．【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）设，，根据向量的线性运算法则可得，，从而构造关于和的方程组，可得，得解；（2）先利用三