广西崇左市广西大学附属中学2024-2025学年高二下学期插班生开学考试 数学A卷（含解析）

2025年崇左市广西大学附属中学高二年级下学期插班生考试数学A卷形式：闭卷；考试时间：60分钟；分值：100分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（每题只有一个正确答案，共7小题，每题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）1.在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.【详解】解：因为点，则其关于平面对称的点为.故选：A2.若直线与直线垂直，则（）A.8 B.8 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据两直线垂直条件列出方程求解.【详解】因为直线与直线垂直，所以，解得，故选：A3.已知数列满足：，则（）A.3 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据递推关系，代值计算即可.【详解】由，，则，解得，由，解得.故选：A.4.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的焦点为求解.【详解】因为抛物线，所以，所以焦点坐标为故选：B5.若数列的前n项和，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据递推公式和首项可求出结果.【详解】因为，，所以，则，，则.故选：C6.如图，四棱锥的底面为平行四边形，为上一点，且，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空间向量基本定理可得出关于、、的表达式.【详解】因为四边形为平行四边形，则，由题意可知，，即，所以，，故.故选：A.7.椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】[方法一]：设而不求设，则则由得：，由，得，所以，即，所以椭圆的离心率，故选A.[方法二]：第三定义设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：故，由椭圆第三定义得：，故所以椭圆的离心率，故选A.二、多选题（本题共2小题，共12分，在所给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，两个答案对一个得3分，三个答案对一个得2分，有选错的得0分）8.已知双曲线，则（）A.双曲线的离心率为B.双曲线的虚轴长为C.双曲线的焦点坐标为D.双曲线的渐近线方程为【答案】ACD【解析】【分析】根据双曲线方程求解出a，b，c，由双曲线的性质逐一判断.【详解】双曲线，则，双曲线的离心率，故A正确；双曲线的虚轴长为，故B错误；双曲线的焦点坐标为，故C正确；双曲线的渐近线方程为，故D正确.故选：ACD9.已知圆直线，则以下几个命题正确的有（）A.直线恒过定点B.圆C被轴截得的弦长为C.直线与圆恒相交D.直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为【答案】AC【解析】【分析】根据直线方程求出定点坐标即可判断选项A；求出圆和轴的交点坐标，即可判断选项B；利用定点和圆的位置关系即可判断选项C；当弦长最短时，直线与直线垂直，从而判断选项D.【详解】选项A中，直线方程整理得，由，解得，∴直线过定点，故A正确；选项B中，在圆方程中令，得，解得，∴轴上的弦长为，故B错误；选项C中，，∴在圆内，直线与圆一定相交，故C正确；选项D中，直线被圆截得弦最短时，直线且，∴，则直线方程为，即，故D错误.故选：AC.三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分.）10.双曲线上一点到它的一个焦点的距离为7，则点到另一个焦点的距离等于__.【答案】15【解析】【分析】先利用双曲线方程求，，，设，运用双曲线的定义，求得，得到结果.【详解】解：双曲线的，，，设左右焦点为，，则由双曲线的定义，得，可设，则有或（舍去）.故答案为：15.11.已知圆：与圆：，若两圆相交于A，B两点，则______【答案】【解析】【分析】根据两圆相交时公共弦所在直线方程的求法和弦长公式求解.【详解】圆的方程为，即①，又圆：②，②－①可得两圆公共弦所在的直线方程为圆的圆心到直线的距离，所以．故答案为:.四、解答题（本题共3小题，共43分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）12.（1）已知等比数列满足，，求数列的通项公式；（2）已知等差数列满足，前7项和为求的通项公式.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出公比，即可求出通项公式；（2）根据求和公式及下标和性质求出，即可求出公差，从而得解.【详解】（1）设等比数列的公比为，则，解得，.（2）设等差数列的公差为，由，解得，因为，所以，所以.13.已知点到定点的距离与到定直线的距离之比为，（1）求点的轨迹方程；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，根据题意列方程，两边平方化简即可.（2）先在焦点三角形中借助余弦定理求出，然后再利用面积公式求出面积.【小问1详解】设点，点到直线的距离为，依题意有，即，而，所以，两边平方化简整理得，所以点的轨迹方程为.【小问2详解】由（1）得，，，，又，所以在中，，即，所以.14.如图，在中，是边上的高，以为折痕，将折至的位置，使得.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明出线面垂直，得到，进而证明出平面；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角余弦值，进而求出正弦值.【小问1详解】证明：∵是边上的高，∴，∵，平面，平面，∵平面，,又