吉林省长春市吉大附中实验学校2025年高考数学一模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页吉林省长春市吉大附中实验学校2025年高考数学一模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={高，考，必，胜}，B={吉，大，必，胜}，则A∪B=(

)A.{吉，大，高，考} B.{必，胜}

C.{金，榜，题，名} D.{吉，大，高，考，必，胜}2.已知a=(12,3)，b=(−2,A.0 B.−2 C.2 D.−43.(x−3y)5展开式中第3项的系数是(

)A.90 B.−90 C.−270 D.2704.在△ABC中，已知AB=2，AC=3，BC=4，则△ABC的面积是(

)A.334 B.54 5.某人通过手机APP记录锻炼情况，得到11月份每天的锻炼时间(单位：ℎ)如下表：锻炼时间小于0.5[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)不小于2天数261084据表中数据，下列结论一定正确的是(

)A.30天锻炼时间的中位数不超过1.2ℎ B.30天锻炼时间的平均数不低于1.1ℎ

C.30天锻炼时间的极差不超过2.5ℎ D.30天锻炼时间的众数不低于1.5ℎ6.关于方程x2+xy+2y2A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于y=x对称 D.关于原点中心对称7.已知函数f(x)=x(x−a)2的极大值为116，则a=A.−32 B.−23 C.8.记函数f(x)=sin2x，x∈[0,π2]的图象为曲线段C，直线y=m与C交于A，B两点，直线y=6m与C交于D，E两点.若|AB|=2|DE|，则m=A.12 B.14 C.18二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在复数范围内，方程z2+z+2=0的两个根分别为z1，z2A.z1z2=−i B.z1+10.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的体积为6，点P为线段AA.三棱锥P−C1CD

B.三棱锥P−B1D1D11.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，D是C的准线与x轴的交点，则下列说法正确的是(

)A.若|BF|=4|AF|，则直线l的斜率为±43B.|AF|+4|BF|≥18

C.0°<∠AOB<90°(O为坐标原点)D.当|AF|三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a>0，b>0，且2a+b=1，则ab的最大值为______．13.已知x1，x2是函数f(x)=cos3x−cos2x，x∈(0,π)的两个零点，则|x114.为激励高三学子的学习热情，数学老师开发了一款小游戏程序，同学们表现优秀时可参与一次.游戏规则如下：

第一步，在图①所示的棋盘内，学生点击摇奖，程序会随机放上7枚黑棋；

第二步，学生自行选择空格放上2枚白棋；

最终，每当有4枚棋子在同一行、列或对角线上时，称为连成一条线.若未连成线，则获安慰奖；连成一、二、三条线，分别获三、二、一等奖，图②就是一种获一等奖的情况.现在小明和小红都可参与一次游戏.小明点击摇奖后，出现了图③的情况，若他随机地放上白棋，则他获二等奖的概率是______；已知小红放上白棋时总能保证奖励最大化，则在“点击摇奖后，7枚黑棋中恰有4枚在第一列”的条件下，她获一等奖的概率是______．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}是由正数组成的等比数列，且a5=256，a3+a4=20a2．

(1)求数列{an}16.(本小题15分)

已知函数f(x)=cosxex(e是自然对数的底数)．

(1)求函数f(x)在[0,π]上的单调增区间；

(2)若g(x)为f(x)的导函数，函数ℎ(x)=f(x)−(x−π217.(本小题15分)

如图，四棱锥P−ABCD的底面为菱形，∠DAB=60°，PB=PC=3．

(1)证明：PD⊥AD；

(2)若AD=2，PD=1，求二面角A−PD−C的正弦值．18.(本小题17分)

有一项高辐射的危险任务需要工作人员去完成，每次只进入一人，且每人只进入一次，在规定安全时间内未完成任务则撤出，换下一个人进入，但最多派三人执行任务.现在一共有A、B、C三个人可参加这项任务，他们各自能完成任务的概率分别为p1，p2，p3，且p1，p2，p3互不相等，他们三个人能否完成任务的事件相互独立．

(1)p1=0.1，p2=0.2，p3=0.3，如果按照A、B、C的顺序先后进入；

①求任务能被完成的概率；

②求所需派出人员数目X的分布列和数学期望；

19.(本小题17分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为233，且C经过点P(2,1)．

(1)求C的方程；

(2)过曲线C上任意一点S作曲线C的切线l，设l与C的两条渐近线分别交于点Q，R，试讨论△OQR的面积是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由；

(3)将横、纵坐标均为正整数的点称为“格点”，记C上的所有格点为P1参考答案1.D

2.A

3.A

4.D

5.B

6.D

7.D

8.C

9.BCD

10.ACD

11.ABD

12.18

13.2π514.19

2715.解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，

由a3+a4=20a2，得a1q2+a1q3=20a1q，

∵{an}是由正数组成的等比数列，则a1>0，q>0，

则q2+q−20=0，解得q=4或q=−5(舍)16.解：(1)由函数f(x)=cosxex，可得f′(x)=−sinx−cosxex=−sin(x+π4)ex，

令f′(x)≥0，又[0,π]，

解得3π4≤x≤π，

所以f(x)的单调递增区间[34π ,π]；

(2)由函数ℎ(x)=f(x)−(x−π2)g(x)，

可得ℎ′(x)=f′(x)−g(x)−(x−π2)g′(x)=(π2−x)2sinxex，

因为17.解：(1)证明：设BC中点为E，连接BD，DE，PE，

∵底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°

∴△BCD为等边三角形，故DE⊥BC，

∵PB=PC，∴PE⊥BC，

又PE∩DE=E，PE，DE⊂平面PDE，

∴BC⊥平面PDE，

∵PD⊂平面PDE，∴BC⊥PD，

∵BC/​/AD，∴PD⊥AD．

(2)过P作PF⊥DE于点F，由(1)得PF⊂平面PDE，∴PF⊥BC，

∵DE∩BC=E，DE，BC⊂平面BCD，∴PF⊥平面BCD，

∵PB=PC=3，AD=2，∴DE=3PE=2，

∵PD=1，∴PE⊥PD，∴PF=PD⋅PEDE=63DF=PD2−PF2=33，

∵DA⊥DE，以DA，DE分别为x轴，y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则A(2,0,0)，P(0,33,63)，C(−1,3,0)，

DP=(0,33,6318.解：(1)①设按照A、B、C的顺序先后进入任务被完成为事件E，

则P(E)=p1+(1−p1)p2+(1−p1)(1−p2)p3=0.496；

②由题意可知，XX123P0.10.180.72所以E(X)=1×0.1+2×0.18+3×0.72=2.62；

(2)若按照某一指定顺序派人，A、B、C三人各自能完成任务的概率依次为q1，q2，q3，

其中q1，q2，q3是p1，p2，p3的一个排列，

结合(1)②知E(X)=1×q1+2×(1−q1)q2+3(1−q1)(1−q2)=(2−q2)(1−q1)+1，

因为1>p1>p2>p3，

所以要使X最小，前两人应从A和B19.解：(1)由题意得e=ca=a2+b2a=2334a2−1b2=1，解得a=1b=33，所以C的方程为x2−3y2=1．

(2)①当直线经过双曲线的顶点时直线AB的斜率不存在，此时直线方程为x=±1，

渐近线方程为y=±33x，当x=±1时，y=±33，两渐近线夹角为π3，

则此时|QR|=233，点O到直线AB的距离为1，所以此时SΔQOR=12×233×1=33，

②当直线QR的斜率存在时，设直线QR为y=kx+m，由y=kx+mx2−3y2=1，

得(1−3k2)x2−6kmx−(3m2+1)=0，因为直线与双曲线相切，

所以1−3k2≠0，且Δ=36k2m2+4(1−k2)(3m2+1)=0，整理得k≠±3